Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Спецмодуль Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

696.71 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Факультет информационных технологий и робототехники

Кафедра «Высшая математика № 1»

СПЕЦМОДУЛЬ «МАТЕМАТИКА»

ПРАКТИКУМ для студентов инженерно-технических специальностей

Минск, 2019

УДК 517.958(075.8)

ББК 22.311я7

М 29

Составитель:

В.С. Марцинкевич

Рецензенты:

А.В.Метельский – доктор физ.-матем.наук, профессор З.Н.Примичева – кандидат физ.-матем.наук, доцент

Рекомендовано учебно-методическим объединением в области автомати-

зации технологических процессов, производств и управления.

Спецмодуль «Математика»: практикум для студентов инженерно-

технических специальностей составлен в соответствии с программой курса «Ма-

тематика» для инженерных специальностей. В нем даны задания для аудиторной

и домашней работы по разделу математики «Прикладные методы уравнений в

частных производных». Для всех заданий даны ответы и указания по решению.

Излагаемый материал разбит по занятиям, каждое из которых посвящено отдель-

ной теме.

Практикум будет полезен при организации практических занятий, а также

может использоваться для самостоятельной работы студентов.

Белорусский национальный технический университет Пр-т Независимости 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017)292-80-75

E-mail: matematics1@bntu.by

Регистрационный № БНТУ/ФИТР48-06.2019

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАНЯТИЕ 1 ..................................................................................................................	4
Ряды Фурье для четных и нечетных функций..........................................................	4
ЗАНЯТИЕ 2 ..................................................................................................................	6
Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными
производными второго порядка.................................................................................	6
ЗАНЯТИЕ 3 ..................................................................................................................	9
Нахождение общего решения уравнений с частными производными второго
порядка .........................................................................................................................	9
ЗАНЯТИЕ 4 ................................................................................................................	11
Решение задачи Коши для гиперболических уравнений второго порядка .........	11
ЗАНЯТИЕ 5 ................................................................................................................	13
Решение задачи Коши для параболических уравнений второго порядка ...........	13
ЗАНЯТИЕ 6 ................................................................................................................	14
Задача Штурма-Лиувилля ........................................................................................	14
ЗАНЯТИЕ 7 ................................................................................................................	16
Метод разделения переменных для гиперболических уравнений	второго
порядка .......................................................................................................................	16
ЗАНЯТИЕ 8 ................................................................................................................	20
Метод разделения переменных для параболических уравнений	второго
порядка .......................................................................................................................	20
ЗАНЯТИЕ 9 ................................................................................................................	22
Метод разделения переменных для эллиптических уравнений	второго
порядка .......................................................................................................................	22

Занятие 1

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Аудиторные задания

1.1. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) на интервале ( , ) :

		x, x 0;					x
						f (x) sin
а)	f (x)			x .	б)			;

	2x, 0					2
в)	f (x)	x	;		г) f (x) x.

1.2. Разложить в ряд Фурье функцию

а) по косинусам, если f (x) 1,0,

б) по синусам, если f (x) cos x ;

в) по косинусам, если f (x) 0,

1.3. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x) на интервале (0, ) :

0 x 1;

1 x .

2x, 0 x 12 ; 12 x .

f (x) на интервале (l,l) :

		1 x 0;	x	1
	1,		б) f (x) e , l
а)	f (x)	0 x 1.			.

	x,			2

1.4. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) на интервале (0,l) :


а) по косинусам, если		f (x) 1 x,		l 1;
б) по косинусам, если		f (x) x x2,		l 1;
в) по синусам, если	f (x) 1 x,		l 2;
г) по синусам, если	f (x) 1 x2,		l 2 .

Домашние задания

1.5. Разложить в ряд Фурье функцию

		x 0;
а)	5x,	x 0;
а)	f (x)
	x,	0 x .
в)	f (x) e x 2 .

1.6. Разложить в ряд Фурье функцию

f (

б)

f (

x) на интервале ( , ) :

3,	x 0;

f (x)	0 x .
1,	0 x .

x) на интервале (0, ) :

		x,	0 x 1;
а) по косинусам, если	1
	f (x)		1 x .
	0,

б) по синусам, если f (x) cosx ;

1,	0 x ;
		2
в) по синусам, если f (x)		2
в) по синусам, если f (x)
0,		x .
0,		x .
	2

1.7. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) на интервале (l,l) :

		3 x 0,
а)	0,	3 x 0,	l 3	;
а)	f (x)	0 x 3,	l 3	;
	x,	0 x 3,
б) f (x) ex ,		l 1;		в) f (x)	x	,	l 2.
б) f (x) ex ,		l 1;		в) f (x)	x	,	l 2.

1.8. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) на интервале (0,l) :

а) по косинусам, если

f (x) x,

l 3;

б) по синусам, если f (x) 2 3x,

l 2;

в) по косинусам, если

f (x)

l 3 .

Ответы:

cos(2n 1)x

( 1)n 1 sin nx

1.1. а)

;

n 1

2n 1

n 1

б)

г)

1.2.а)

в)

1.3.а)

б)

в)

1.4.а)

( 1)n 1

nsin nx

;

в)

cos(2n 1)x

;

n 1

4n2 1

n 0

(2n 1)2

( 1)n 1

sin nx .

n 1

( 1)n cos1 1 sin nx ;

sin n

cosnx

;

б) 2

n 1

n 11 (n )

sin n 4

cosnx .

n 1 n

cos( (2n 1)x)

1 sin(nx)

;

(2n 1)2

2 n 1

n 1

1 2

cos(2nx) nsin(2nx)

2sh

( 1)n

;

n 1

1 (2n)

sin((2n 1) x) .

n 1

2n 1

cos(2n 1) x

3( 1)n 1

;

б)

cosn x ;

2 n 0

(2n 1)2

2 n 1

в)

г)

1.5.а)

б)

в)

1.6.а)

						2				1 3( 1)n											n x
4.3.																		sin							;
4.3.																		sin							;
					n 1										n						2
2						1					2
2						1					2				( 1)n 1 ( 1)n sin n x .
													2		( 1)n 1 ( 1)n sin n x .
													2
n 1 n (n)
		3					12							cos(2n 1)x													( 1)n 1 sin nx
																								4				;
		2														2n			1					4			n	;
		2								n 1						2n			1							n 1	n
						8						sin(2n 1) x
	1																					;
	1																					;
						n 0									2n 1
2																( 1)				n
2																( 1)

			sh						1														(2cosnx 4nsin x) .
			sh						1								2						(2cosnx 4nsin x) .
																4n	2		1
					2									n 1		4n			1
														n 1
1				1								sin n / 2							2
1				1								sin n / 2
						4														cosnx						.
						4														cosnx						.
				2				n 1							n
				2				n 1							n

Занятие 2

Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка

Аудиторные задания

2.1. Привести к каноническому виду следующие дифференциальные уравне-

ния:

2.1.1.

21 2u

2 u 3 u 5u x2

;

x y

2.1.2.

u xy ;

x y

2.1.3.

3u x y2 ;

x y

2.1.4.

3u 0 ;

x y

2.1.5.

3u x2 ;

x y

2.1.6.

u 3

u u 0 ;

x y

2.1.7.

2u 2

2u 3 u

2 u

5u 0 ;

x y

2.1.8.

2 2u

8 2u

5u 0 ;

x y

2.1.9.

2u 6

9 2u 4 u 3 u 7u 0 ;

x y

2.1.10. 2u

4 2u

3u 0 .

x y

Домашние задания

2.2. Привести к каноническому виду следующие дифференциальные уравне-

ния:

2.2.1.

2u 6

8 2u u

5 u 2u 0 ;

x y

2.2.2.

2u 0

;

x y

2.2.3.

2u 0

;

x y

2.2.4.

2 u

6 u

;

x y

2.2.5.

u 2

u 0 ;

x y

2.2.6.

2cos x

(3 sin 2 x) 2u

;

x y

2.2.7.

2 2u

2xy

2 2u

0 ;

x y

2.2.8.

0 ;

2.2.9. (1 x

)

(1 y

)

0 ;

2.2.10. sin

2sin x

0 .

x y

Ответы:
	2u	10 u		11 u	5	u	1	2	, где y 3x и
2.1.1.
2.1.1.		112
		112	112		112		112	10

y 7x .

2.1.2.

u , где y x и y .

2.1.3.

u 2 , где y x и x .

, где y 3x и y x .

2.1.4.

2.1.5.

12 , где y (1

3) / 2 x и

y (1 3 / 2)x .

		2u																		u							u
		2u																		u							u
2.1.6.				8u					(27								17)					) (27				17)		68 , где
2.1.6.				8u					(27								17)					) (27				17)		68 , где


	3	17													3			17
y				x,			y														x .
y				x,			y														x .
	8	8													8			8
	8	8													8			8
2.1.7.		2u		5u				u				, где y x и y .
2.1.7.				5u								, где y x и y .

		2u								u
2.1.8.				5u 2												8 , где y , y 2x .
2.1.8.				5u 2												8 , где y , y 2x .

		2u									u						u
2.1.9.				74 9										3							9 , где y 3x и y .
2.1.9.				74 9										3							9 , где y 3x и y .

			2u						9				u					u				4 , где y 2x и y .
2.1.10.						34											9
2.1.10.						34											9

		2u			2u										7			u					u			7 , где y 3x 2				и
		2u			2u													u					u
2.2.1.												4u										7										7x 2 .

		2u			2u														u						u					3,
		2u			2u														u						u
2.2.2.													6u 9								3			5		5, где y 4x							5x 3.
2.2.2.													6u 9								3			5		5, где y 4x							5x 3.

		2u			2u													u						u		2 , где y 4x			3 ,
		2u			2u										9			u		3 2				u
2.2.3.												6u																			2x 3 .
2.2.3.												6u																			2x 3 .

2.2.4.		2u			1 u			0 , где x y и 3x y .

					2
					2

2.2.5.		2u		2u					u		0			, где 2x y и x .
2.2.5.		2		2							0			, где 2x y и x .
		2		2
		2u								u				u		0 , где 2x sin x y .
2.2.6.
2.2.6.
					32
2.2.7.		2u		2u						1				u			1	u		0 , где x2 y2 , x2 .
2.2.7.		2		2																0 , где x2 y2 , x2 .
		2		2												22
2.2.8.		2u		2u					1				u		0	, где x,								2	y3/ 2	( y 0) .
		2		2					3										3
	2u			2u										ln x								, ln				y		.
2.2.9.	2u			2u			0 , где												1 x2								1 y2
2.2.9.							0 , где												1 x2								1 y2
		2		2
		2		2
2.2.10.			2u			25						u			0 , где			y tg			x		, y .
2.2.10.			2		2			2							0 , где			y tg					, y .
			2		2			2											2

Занятие 3

Нахождение общего решения уравнений с частными производными второго порядка

Аудиторные задания

3.1. Найти общее решение гиперболического уравнения:

а)

0 ;

б)

0 ;

x y

в)

0 ;

г)

12 2u

0 .

x y

3.2. Найти общее решение параболического уравнения:

а)

0 ;

x y

б)

;

x y

в)

;

x y

г)

2 u 6 u 0 .

x y

3.3. Найти общее решение эллиптического уравнения:

а)

0 ;

б)

0 ;

x y

в)

0 ;

г)

10 2u

0 .

x y

Домашние задания

3.4. Найти общее решение гиперболического уравнения:

а)

0 ;

б)

0 ;

x y

в)

0 ;

г)

21 2u

0 .

x y

3.5. Найти общее решение параболического уравнения:

а)

б)

в)

г)

2ux22ux22ux22ux2

9 2u 2

0 ;

x y

0 ;

x y

3 u

12 u 0

;

x y

4 u

0 .

x y

3.6. Найти общее решение эллиптического уравнения:

а)

26 2u

;

б)

2u 0 ;

x y

б)

2u 0 ;

в)

18 2u

0 .

x y

Ответы:

3.1.а) u(x, y) C1( y 5x) C2 ( y x) ; б) u(x, y) C1( y 5x) C2( y 3x) ; в) u(x, y) C1( y x) C2 ( y 3x) ; г) u(x, y) C1( y 2x) C2 ( y 6x) .

3.2.а) u(x, y) C1( y x) C2 ( y x)e y ;

б) u(x, y) C1( y 2x) C2 ( y 2x)e y / 2 ;

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]