Специальные главы математики
.pdf
Занятие 8. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости. Планарные графы. Формула Эйлера Аудиторные задания
8.1 Задача о кёнигсбергских мостах.
На схеме (рисунок 58) изображено расположение семи мостов на реке Прегель в городе Кёнигсберге в 30-х годах XVIII века. Исторически первая задача теории графов была сформулирована Эйлером: можно ли совершить прогулку, пройдя по каждому мосту ровно один раз?
Рисунок 58
8.2Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист
а) не с него начал и не на нем закончил? б) с него начал, но не на нем закончил? в) с него начал и на нем закончил?
8.3Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям (рисунок 59) так, чтобы при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?
Рисунок 59 8.4 Можно ли нарисовать граф, изображенный: а) на рисунке 60; б) на рисунке
61, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро один раз?
а) 
б) 
Рисунок 60 Рисунок 61 8.5 а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли не ломая проволоки, изго-
товить каркас куба с ребрами 10 см?
б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы все же изготовить требуемый каркас?
31
8.6 Можно ли нарисовать фигуру (рисунок 62), именуемую саблями (знаком) Магомета, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий?
Рисунок 62
8.7Является ли граф, имеющий 5 вершин, каждая из которых соединена ребром
слюбой другой, планарным?
8.8Является ли граф, имеющий 10 вершин, степень каждой из которых равна 5, планарным?
8.9В стране Озерная 7 озер, соединенных между собой 10 каналами, причем от любого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?
8.10Является ли двудольный граф K3,3 планарным?
Домашние задания
8.11Можно ли начертить, не отрывая карандаша от бумаги (одним росчерком) а) квадрат с диагоналями?
б) шестиугольник со всеми диагоналями?
8.12Является ли эйлеровым граф (рисунок 63)? Если да, указать эйлеров цикл.
Рисунок 63 8.13 Можно ли составить решетку, изображенную на рисунке 64: а) из 5 ломаных длины 8?
б) из 8 ломаных длины 5?
Рисунок 64
8.14Можно ли построить три дома, вырыть три колодца и соединить тропинками каждый дом с каждым колодцем так, чтобы тропинки не пересекались?
8.15Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосхо-
дит 5.
32
8.16 В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?
Указание: соотношение ребер Р и граней Г 3(Г–1)+4=2Р.
Ответы: 8.1 нельзя; 8.2 а) 6; б) 7; в) 6; 8.3 нельзя; 8.4 а) можно; б) нельзя; 8.5 а) нельзя; б) не менее трех; 8.6 можно; 8.7 нет; 8.8 нет; 8.9 4; 8.10 нет; 8.11 а) нельзя; б) нельзя;
8.12 да, (1,2,3,4,5,6,4,2,6,1); 8.13 а) нельзя; б) можно; 8.14 нельзя; 8.16 42.
Занятие 9. Раскраски графов. Хроматическое число графа Аудиторные задания
Раскраска вершин графа. Правильно раскрасить вершины графов и указать хро-
матические числа графов χ(G):
9.1 |
а) |
б) |
|
Рисунок 65 |
Рисунок 66 |
в) Чему равно хроматическое число простой цепи Pn? |
||
9.2 |
а) |
б) |
|
Рисунок 67 |
Рисунок 68 |
в) Чему равно хроматическое число простого цикла Cn? |
||
9.3 |
а) |
б) |
|
Рисунок 69 |
Рисунок 70 |
в) Чему равно хроматическое число полного графа Kn? |
||
9.4 |
а) |
б) |
|
Рисунок 71 |
Рисунок 72 |
в) Чему равно хроматическое число звездного графа K1,n? |
||
9.5 |
а) |
б) |
|
Рисунок 73 |
Рисунок 74 |
33
в) Чему равно хроматическое число двудольного графа Kn,m?
9.6 |
а) |
б) |
|
Рисунок 75 |
Рисунок 76 |
в) Чему равно хроматическое число колеса Wn? |
|
|
9.7 |
Какой граф: а) 1-хроматический? б) 2-хроматический (бихроматический)? |
|
9.8 |
а) |
б) |
|
Рисунок 77 |
Рисунок 78 |
|
в) |
г) |
|
Рисунок 79 |
Рисунок 80 |
д) Влияют ли на правильную раскраску вершин и хроматическое число кратные ребра, петли, ориентация ребер, веса вершин и ребер?
9.9
Рисунок 81 9.10 Указать правильную раскраску вершин и найти хроматическое число графа
Петерсена:
Рисунок 82 9.11 Изобразить схематично географическую карту Республики Беларусь и гра-
ничащих государств. Указать правильную раскраску географической карты. Какое минимальное число красок для этого необходимо?
34
Раскраска ребер графа. Указать правильную раскраску ребер графов и их ребер-
но-хроматические числа χe (G):
9.12Из задачи 9.1 а), б) , в).
9.13Из задачи 9.2 а), б) , в).
9.14Из задачи 9.3 а), б).
9.15Из задачи 9.4 а), б) , в).
9.16Из задачи 9.5 а), б).
9.17Из задачи 9.6 а), б).
Домашние задания
Правильно раскрасить вершины графов и указать хроматическое число графов
χ(G):
|
9.18 |
а) |
|
|
б) |
|
в) |
|
|
|
|
Рисунок 83 |
Рисунок 84 |
Рисунок 85 |
|||||
|
|
г) |
|
|
д) |
|
е) |
|
|
|
|
Рисунок 86 |
Рисунок 87 |
|
Рисунок 88 |
||||
|
|
ж) |
|
|
з) |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 89 |
Рисунок 90 |
|
|
|
|
||
|
9.19 |
Указать правильную раскраску ребер графов и их реберно-хроматические |
|||||||
числа χe (G) |
из задачи 9.18 а) – з). |
|
|
|
|
|
|||
Ответы: 9.1 а) 2; б) 2; в) χ(Pn )= 2 ; 9.2 а) 3; б) 2; в) |
χ(Cn )= 2, n = 2k, |
|
; 9.3 а) 4; б) 5; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3, n = 2k +1 |
|
|
в) |
χ(Kn )= n ; 9.4 а) 2; б) 2; в) χ(K1,2 )= 2 ; 9.5 а) 2; б) 2; в) χ(Kn,m )= 2 ; 9.6 а) 3; б) 4; |
||||||||
в) |
χ(Wn )= 3, n = 2k, |
|
; 9.7 а) пустой; б) двудольный и непустой; 9.8 а) 3; б) 3; в) 3; |
||||||
|
4, n = 2k +1 |
|
|
|
|
|
|
||
г) |
4; д) нет; 9.9 4; |
9.10 3; 9.11 |
4; 9.12 а) 2; б) |
2; в) |
χe (Pn )= 2 ; |
9.13 а) 3; б) 2; |
|||
35
в) |
χ |
|
(C |
|
)= 2, n = 2k, |
; 9.14 а) 3; б) 5; 9.15 а) 5; б) 6; в) χ |
|
(K |
)= n ; |
|
|
e |
|
n |
3, n = 2k +1 |
|
e |
1,n |
|
9.17 а) 4; б) 5; 9.18 а) 3; б) 4; в) 3; г) 2; д) 2; е) 2; ж) 3; з) 3; 9.19 а) 3; б) 4;
е) 3; ж) 4; з) 3.
Занятие 10. Сети и потоки в сетях Аудиторные задания
Дана сеть (см. соответствующий рисунок). Найти:
а) время выполнения проекта;
б) критический путь;
в) резервы времени.
10.1
9.16 а) 3; б) 4;
в) 4; г) 4; д) 4;
Рисунок 91
10.2
Рисунок 92
10.3
Рисунок 93
36
10.4
Рисунок 94
Домашние задания
10.5
Рисунок 95
10.6
|
|
Рисунок 96 |
|
|
|
|
|
|
Ответы: 10.1 а) 32; |
б) (0,2,3,5); |
в) |
τ(1)= 2, τ(4)= 4 ; 10.2 |
а) |
44; |
б) |
(1,3,4,7); |
|
в) |
τ(2)=18, τ(5)= 5, τ(6)= 9 ; 10.3 |
а) |
56; б) (1,2,3,6,7,8); |
в) |
τ(5)= 2, τ(4)=10 ; |
|||
10.4 а) 39; б) (1,3,4,8); |
в) τ(2)=18, τ(5)= 6, τ(6)= 6, τ(7)= 6 ; 10.5 а) 31; |
б) |
(1,2,3,6); |
|||||
в) |
τ(4)= 4, τ(5)= 2 ; 10.6 а) 28; б) (0,1,4,5,6); в) τ(2)=1, τ(3)= 2 . |
|
|
|
|
|||
37
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Занятие 11. Делимость в кольце целых чисел
Аудиторные задания
11.1 С помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель целых
чисел:
а) 84 и 35; б) 174 и 38; в) 216 и 66; г) 324 и 126.
11.2 а) Найти первые семь простых чисел Мерсенна M p = 2 p −1, соответст-
вующих значениям p = 2,3,5,7,13,17,19 ;
б) Чему равно восьмое простое число Мерсенна? Кто и когда его нашел? в) Кто и когда нашел девятое простое число Мерсенна?
г) Какое наибольшее простое число Мерсенна известно на конец XX века?
11.3а) Найти первые пять простых чисел Ферма (m=0,1,2,3,4) Fm = 22m +1;
б) Найти F5. Является ли это число простым? в) Известны ли другие простые числа Ферма?
11.4Запишите приближенную формулу функции π(x), выражающую число простых чисел от 2 до x.
11.5Найти канонические разложения целых чисел:
а) 27720; |
б) 3003; |
в) 8925; |
г) 13566. |
11.6 При помощи канонических разложений найти НОД(a, b), НОК(a, b):
а) a=525, b=385; |
б) a=231, b=455; |
в) a=198, b=462. |
Домашние задания
11.7 С помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель целых
чисел:
а) 210 и 561; |
б) 2310 и 312; |
в) 2145 и 945 |
|||
11.8 |
Найти канонические разложения целых чисел: |
||||
а) 4788; |
б) 15015; |
в) 215441; |
|
г) 33263. |
|
11.9 |
При помощи канонических разложений найти НОД(a, b), НОК(a, b): |
||||
а) a=462, b=418; |
б) a=11305, b=24955; |
в) a=330, b=1463. |
|||
Ответы: 11.1 а) 7; б) 2; в) 6; г) 18;
11.2 а) 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287; б) M31=2147483647; Л.Эйлер, 1750 г.;
в) M61=2305843009213693951; Русский математик-самоучка, сельский священник Пермской губернии И. М. Первушин, 1883 г.; г) 26972593 – 1;
38
11.3 а) F0=3; F1=5; F2=17; F3=257; F4=65537; б) нет, F5=429467297=641 6700417; в) нет;
11.4 |
π(x)≈ |
x |
; |
11.5 а) 23 32 5 7 11; б) |
3 7 11 13; в) |
3 52 7 17; г) |
2 3 7 17 19; |
|
ln x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
11.6 |
а) НОД=35, |
НОК=5775; б) НОД=7, |
НОК=15015; |
в) НОД=6, |
НОК=1386; |
|||
11.7 |
а) 3; б) 6; в) 15; 11.8 а) 22 32 7 19; б) 3 5 7 11 13; в) 17 19 23 29; г) 29 31 37; |
|||||||
11.9 |
а) НОД=22, НОК=8778; б) НОД=35, НОК=8060465; в) НОД=11, НОК=43890. |
|||||||
Занятие 12. Сравнения и их применение. Функция Эйлера Аудиторные задания
12.1 Дано a ≡ b(mod m). Записать еще не менее пяти чисел, сравнимых с a по
тому же модулю m:
а) 33 ≡ 3(mod5); |
б) 17 ≡11(mod3). |
|
|
12.2 |
Дано 23 ≡ 2(mod 7), 16 ≡ 9(mod 7). Найти их: |
|
|
а) сумму; б) разность; |
в) произведение; г) возвести в квадрат каждое срав- |
||
нение. Результаты проверить по определению a ≡ b(mod m). |
|
||
12.3 |
Упростить: |
|
|
а) 77 ≡ 33(mod 22); |
б) 143 ≡ 26(mod117); |
в) 35 ≡ 21(mod14). |
|
12.4 |
Найти остаток от деления |
|
|
а) 3929 на 31; |
б) 2319 на 19. |
|
|
12.5 |
Следствие из малой теоремы Ферма гласит: если am−1 ≠1(mod m) для неко- |
||
торого натурального a, 1 < a < m −1, то число m – составное. Пользуясь этим следстви-
ем, при a=2 показать, что числа 19, 23 – простые, а 20, 22 – составные.
12.6 Нечетное натуральное число называется псевдопростым по основанию 2, 1<2<m–1, если 2m−1 ≡1(mod m). Пользуясь результатами задачи 12.5, показать, что числа
19, 23 также псевдопрстые по основанию 2. |
|
||
12.7 Найти значения функции Эйлера: |
|
||
а) ϕ(59); |
б) ϕ(67); |
в) ϕ(6561); |
г) ϕ(2048); |
д) ϕ(187); |
е) ϕ(437); |
ж) ϕ(1575); |
з) ϕ(1764). |
|
Домашние задания |
12.8 Дано 27 ≡ 2(mod5), 19 ≡ 4(mod5). Найти их: |
|
а) сумму; |
б) разность; в) произведение; г) возвести в квадрат каждое |
сравнение. Результаты проверить по определению a ≡ b(mod m).
39
12.9 Упростить:
а) 125 ≡ 20(mod15); б) 26 ≡ 6(mod 4); в) 102 ≡ 51(mod34).
12.10Найти остаток от деления 2821 на 17.
12.11Найти значения функции Эйлера:
|
а) ϕ(47); |
б) ϕ(53); |
в) ϕ(15625); |
г) ϕ(2401); |
|
||
|
д) ϕ(143); |
е) ϕ(299); |
ж) ϕ(14553); |
з) ϕ(44100). |
|
||
Ответы: 12.1 |
а) например, |
33 ≡ 8(mod5)≡13(mod5)≡18(mod5)≡ 23(mod5)≡ |
|||||
≡ 28(mod5)≡ −2(mod5); |
|
|
|
|
|
||
б) |
например, 17 ≡14(mod3)≡ 20(mod3)≡ 23(mod3)≡ 26(mod3)≡ 29(mod3)≡ −1(mod3); |
||||||
12.2 |
а) |
39 ≡11(mod 7); |
б) |
7 ≡ −7(mod 7); |
в) |
368 ≡18(mod 7); |
|
г) 529 ≡ 4(mod 7); 256 ≡ 81(mod 7); |
|
|
|
|
|
||
12.3 |
а) 7 ≡ 3(mod 2); б) 11 ≡ 2(mod9); в) 5 ≡ 3(mod 2); 12.4 а) 4; б) 4; |
|
|||||
12.7 |
а) 58; б) 66; в) 4374; г) 1024; д) 160; е) 396; ж) 720; з) 504; |
|
|
||||
12.8 |
а) |
46 ≡ 6(mod5); |
б) |
8 ≡ −2(mod 5); |
в) |
513 ≡8(mod5); |
|
г) 729 ≡ 4(mod5); 361 ≡16(mod5);
12.9 а) 25 ≡ 4(mod3); б) 13 ≡ 3(mod 2); в) 6 ≡ 3(mod 2); 12.10 10;
12.11 а) 46; б) 52; в) 12500; г) 2058; д) 120; е) 264; ж) 7560; з) 10080.
40