МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

Практикум

Электронный учебный материал

Минск ◊ БНТУ ◊ 2015

УДК 519.17(075.8)

Авторы:

А. В. Грекова, В. И. Каскевич, А. В. Метельский, Е. А. Федосик, Н. И. Чепелев

Рецензенты:

А. Н. Исаченко, доцент БГУ, к. ф.-м. н., В. В. Павлов, доцент БНТУ, к.ф.-м.н.

Пособие разработано в соответствии с учебной программой курса «Специальные главы математики» для специальностей «Программное обеспечение информационных технологий» и «Информационные системы и технологии» ФИТР БНТУ. Приведены задачи по четырем базовым разделам математики: теории множеств, теории графов, теории чисел и основным алгебраическим структурам. Предлагаемый материал ставит своей целью помочь студентам овладеть твердыми знаниями математических основ, которые позволили бы им успешно ориентироваться в специальной литературе по данной тематике и на основании этого перейти к серьезным приложениям.

Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017)292-77-52 факс (017)292-91-37

E-mail: mathematics1@bntu.by http://www.bntu.by/fitr-vm1.html

Регистрационный № БНТУ/ФИТР48-19.2015

© БНТУ, 2015 © Грекова А.В., Каскевич В.И.,

Метельский А.В., Федосик Е.А., Чепелев Н. И., 2015

© Балашова Е. Б., компьютерный набор, верстка, 2015

2

3

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Занятие 1. Операции над множествами. Алгебра множеств.

Декартово произведение множеств Аудиторные задания

уравнения g(x) = 0 . С помощью операций над множествами представьте множество решений уравнения:

а) ( (A UB)IC ) I ((A UB) IC) = ; б) (A I X ) U(B I X ) =(A U X ) I(B U X ) .

4

1.8 Докажите, что для любых множеств A, B и C а) если A = B UC , то A \ B C ;

б) если B A, то (A \ B) U B = A ;

в) A \ B = A A I B = .

1.9 Разностная сумма множеств (или сумма по модулю 2) определяется следую-

щим равенством: A B = (A I B) U(A I B) . Найдите формулы, которые могут служить другими эквивалентными определениями этой операции. Докажите следующие свойства:

а) A B = B C ;

б) (A B) C = A (B C) ;

в) A A= .

1.10 В потоке учится 100 студентов. 28 из них изучают английский язык, 30 – немецкий, 42 – французский. При этом известно также, что 8 студентов изучают параллельно английский и немецкий языки, 10 – английский и французский, 5 – немецкий и французский, а 3 студента изучают все три названных языка. Определите, сколько студентов

а) изучают только английский язык; б) изучают только немецкий язык; в) изучают только французский язык;

г) не изучают ни одного из названных языков.

5

б) A U B =U A B B A ;

в) A I B = A B B A .

1.14 Докажите тождествo:

(A I B I X ) U(A I B IC I X IY ) U(A I X I A) = A I B I X .

1.15 Докажите, что для любых множеств A, B и C

а) A U B = B IC A B C ;

б) ( A I B) UC = A I(B UC) C A .

1.16 Докажите следующие свойства:

а) A = A ;

б) A I(B C) = (A I B) (A IC) ; в) A B = A = B .

Ответы: 1.1 а) да; б) нет; в) да; г) да.

1.2 а) A I B ={0,4}; A U B ={− 2,−1,0,1,2,3,4,6}; A \ B ={−1,2,3}; B \ A ={−2,1,6};

1.3а) F UG ; б) F IG ; в) F \ G .

1.4а)

A×B = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}; B × A = {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)};

B2 = {(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)};

A3 = {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,1,2)};

A×B × A = {(1,2,1), (1,3,1),(1,4,1),(2,2,1),(2,3,1),(2,4,1),(1,2,2),(1,3,2),(1,4,2),(2,2,2),(2,3,2),(2,4,2)}

б)

A×B = {([1,2],2),([1,2],3),([1,2],4)}; B × A = {(2,[1,2]),(3,[1,2]),(4,[1,2])};

A3 −куб: 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 2;

A×B × A = {([1,2],2,[1,2]),([1,2],3,[1,2]),([1,2],4,[1,2])};

в)

A×B − прямоугольник: 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 4; B × A − прямоугольник: 2 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2;

B2 −квадрат: 2 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 4; A3 = −куб:1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 2;

A×B × A −прямоугольныйпараллелепипед:1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 4, 1 ≤ z ≤ 2.

1.5а) A = B ; б) B A; в) A IB ≠ .

1.6а) да; б) нет; в) нет.

1.10а) 7; б) 14; в) 24; г) 29.

1.11а) нет; б) да.

6

1.12 а) A I B ={0,1}; A U B ={− 2,[0,3],4,6}; A \ B ={(0,1)U(1,3]}; B \ A ={− 2,4,6};

2.1Пусть R – множество действительных чисел и заданы следующие отобра-

среди заданных и найденных отображений равные?

2.2Пусть X ={x1, x2 , ... xm} , Y ={y1, y2, ... yn}. Найдите число всех отображений X →Y . При каких n и m существует

а) инъективное отображение X →Y ; б) сюръективное отображение X →Y ; в) биективное отображение X →Y ?

2.3Пусть X – конечное множество. Докажите, что отображение f : X → X

сюръективно тогда и только тогда, когда оно инъективно.

2.4 Какие из следующих отображений являются инъективными, сюръективными, биективными:

а) f : R →R, f (x) = 3x −2 ;

б) f : N →N, f (x) = 3x −2 , (здесь N – множество натуральных чисел);

в) f : R →R, f (x) =| x | ;

г) f : R →R , f (x) =x2 ;

д) f : R →R , f (x) =x3 ;

е) f : R+ →R , f (x) = ln x (здесь R+ – множество положительных действитель-

ных чисел);

ж) f : R →R , f (x) = 2x +1;

з) f : R →R+, f (x) = 3x

Какие из перечисленных отображений обратимы? Для них найдите обратные отображения.

7

2.5 Пусть f : X →Y – произвольное отображение. Докажите, что для лю-

бых A X и B X :

а) если A B , то f (A) f (B) ;

б) f (A U B) = f (A) U f (B) ;

рального n. Докажите, что f – биекция.

2.7На множестве X ={1, 2, 3, ..., 20} задано бинарное отношение σ. Найдите

область определения и множество значений этого отношения. Является ли оно функциональным, рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, связным, если для любых a,b X по определению aσ b означает:

а) a −b = 8 ; б) a +b =18 ; в) a b = 24 ; г) a2 = b .

2.8 На множестве натуральных чисел N задано бинарное отношение p. Найдите область определения и множество значений этого отношения. Является ли оно функциональным, рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным,

транзитивным, связным, если для любых n m, N по определению npm означает:

а) m = 3n −1;

б) | n −m | = 8 ;

в) n ≤ 2m ;

г) НОД(n, m) = 1.

2.9 Какими свойствами (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) обладают следующие отношения:

а) «|| » на множестве прямых в пространстве;

б) « » на множестве прямых в пространстве; в) «~» (подобие) на множестве фигур на плоскости;

г) « » на множестве подмножеств универсального множества. 2.10 Какие из следующих отношений являются функциональными:

8

рефлексивности, симметричности и транзитивности равносильны соответственно:

а) e σ; б) σ−1 = σ; в) σ2 = σ .

2.15 Докажите, что для любого бинарного отношения p на множестве X отноше-

ния p ∩ p−1 и p p−1 являются симметричными.

2.16 Докажите, что бинарное отношение σ тогда и только тогда является отношением эквивалентности, когда

а) e σ; б) σ−1 σ; в) σ2 σ.

2.17 Пусть p и σ – отношения частичного порядка на множестве X. Докажите или опровергните, что p ∩σ и p σ также являются отношениями

а) эквивалентности; б) частичного порядка.

Домашние задания

2.18 Какие из следующих отображений являются инъективными, сюръективными, биективными:

а) f : R →R , f (x) = cos x ;

9

Какие из перечисленных отображений обратимы? Для них найдите обратные отображения.

2.19Найти в условиях задачи 2.7:

а) a2 < b ;

б) a : b (a делится на b);

2.20Найти в условиях задачи 2.9:

а) «:» (делится на) на множестве Z целых чисел;

б) «>» на множестве R действительных чисел.

2.21 Какие из следующих отношений являются функциональными:

а) p5 ={(x, y) [ −1, 0]×[ −1, 0] | x2 + y2 =1}; б) σ1 ={(x, y) N×N | x − y = 5};

в) σ2 ={(x, y) N×N | y − x = 5} .

2.22 Пусть p и σ – отношения на множествах X и Y. Докажите, что

а) p σ p−1 σ−1 ;

б) (p)−1 = ρ−1 .

2.23 Докажите, что если p – рефлексивное и транзитивное отношение на множе-

стве X, то p ∩ p−1 и p p−1 являются отношением эквивалентности.

2.24 Докажите, что бинарное отношение σ тогда и только тогда является отно-

Занятие 3. Комбинаторика и мощности множеств Аудиторные задания

3.1Сколько существует способов расположить n предметов по кругу?

3.2Сколько существует способов рассадить за круглым столом n мужчин и n женщин, чтобы мужчины и женщины чередовались?

3.3Сколько существует способов выбрать из n депутатов комиссию, состоящую из m человек и ее председателя?

3.4В студенческой группе 30 человек. Сколько существует способов разбить ее

10