ласти математики, развитие которой не было бы в той или иной степени связано с идеями Галуа. Поэтому конечные поля часто называют полями Галуа, а также на письме обозначают через GF (q) – поле Галуа из q элементов. Будем

использовать и более краткое обозначение этого поля – F (q). Из предыдущих

результатов данного раздела следует

Теорема 2.35. Любое конечное поле GF (q) элементов имеет конечную характеристику p > 0 , является конечным расширением поля Z / pZ , содержит q = pk элементов, при этом k – степень расширения [GF (q): Z / pZ ].

Из теоремы Лагранжа о конечных группах следует, что все элементы мультипликативной группы GF (q)* удовлетворяют уравнению xq−1 −1 = 0 .

Теорема 2.36 (о существовании и единственности конечного поля).

Для каждого простого числа p и для любого n ≥1 натурального существует конечное поле из q = pn элементов. Это поле единственно с точностью до изоморфизма состоит из корней уравнения xq − x = 0 и только из них.

Теорема 2.37. Пусть F (pn ) и F (pk ) – конечные поля, расширения поля Z / pZ = F (p), причем 1 < k < n . Поле F (pk )является подполем F (pn )тогда и только тогда, когда k делит n. Для каждого натурального делителя d числа n существует и единственное подполе F (pn )из pd элементов.

Теорема 2.38. Мультипликативная группа конечного поля – циклическая.

Замечание 1. Данная теорема является обобщением теоремы 2.6 о цикличности мультипликативной группы ( Z / pZ )*.

Замечание 2. Имеет место следующее обобщение теоремы 2.38: любая конечная подгруппа мультипликативной группы P* каждого поля P является циклической.

Замечание 3. Мультипликативные группы бесконечных полей не цикличны.

Литература

1.Гусак, А.А. В мире чисел / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Гусак. – Минск: Народная асвета, 1987.

2.Липницкий, В.А. Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа / В.А. Липницкий. – Минск: БГУИР, 2005.

3.Айерхэнд, К. Классическое введение в современную теорию чисел / К. Айерхэнд, М. Роузен. – М.: Мир, 1987.

4.Аршинов, Н.Н. Коды и математика/ Н.Н. Аршинов, Л.Е. Садовский. – М.:

Наука, 1983.

5.Бейкер, А. Введение в теорию чисел / А. Бейкер. – Минск: Вышэйшая шко-

ла, 1995.

6.Биркгоф, Г. Современная прикладная алгебра / Г. Биркгоф, Т. Барти. – М.:

37

Мир, 1976.

7.Боро, В. Живые числа. Пять экскурсий / В. Боро, Д. Цагир, Ю Рольфс [и др.]

– М.: Мир, 1985.

8.Василенко, О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии / О.Н. Василенко. – М.: МЦНМО, 2003.

9.Виноградов, И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. – М.: Наука, 1976.

10.Каргополов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргополов, Ю.И. Мерзля-

ков. – М.: Наука, 1972.

11.Конопелько, В.К. Прикладная теория кодирования / В.К. Конопелько, В.А. Липницкий [и др.] Т. 1-2. – Минск: БГУИР, 2004.

12.Коутинхо, С. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA / С. Коутинхо. – М.: Постмаркет, 2001.

13.Ленг, С. Алгебра / С. Ленг. – М.: Мир, 1968.

14.Лиддл, Р. Конечные поля / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Т. 1-2. – М.: Мир, 1988.

15.Мак-Вильямс, Ф.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Ф.Дж. МакВильямс, Н.Дж.А. Слоэн. –М.: Связь, 1979.

16.Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1970.

17.Муттер, В.М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации / В.М. Муттер. – Л.: Энергоатомиздат, 1990.

18.Ноден, П. Алгебраическая алгоритмика / П. Ноден, К. Китте. – М.: Мир, 1999.

19.Прасолов, В.В. Многочлены / В.В. Прасолов. –М.: МЦМНО, 2000.

20.Самсонов Б.Б. Теория информации и кодирование / Б.Б.Самсонов, Е.М. Плохов, А.И. Филоненков, Т.В. Кречет. – Р-н/ Д.: Феникс, 2002.

21.Серр, Ж.-П. Курс арифметики / Ж.-П. Серр. – М.: Мир, 1972.

22.Соловьев, Ю.П. Эллипические кривые и современные алгоритмы теории чисел / Ю.П. Соловьев, В.А. Садовничий, Е.Т. Шавгумидзе, В.В. Белокуров. – М. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

23.Сушкевич, А.К. Теория чисел. Элементарный курс / А.К. Сушкевич. – Харьков: ХГУ, 1954.

24.Черемушкин, А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии / А.В. Черемушкин. – М.: МЦНМЩ, 2002.

25.Харин Ю.С. Математические основы криптологии / Ю.С. Харин, В.И. Берник, Г.В. Матвеев. –Минск: БГУ, 1999.

26.Холл, М. Теория групп / М. Холл. – М.: Ил, 1962.

38