3) отображение f : x → kx инъективно и, следовательно, биективно на множестве Z / mZ (на множестве ненулевых элементов из Z / mZ );

4) k – обратимый класс в кольце Z / mZ .

Замечание. Поскольку, согласно условию леммы 1.3, НОД(k, m)=1, то

1)существует класс l ≠ 0 , что kl = 0 ;

2)существуют классы l1 ≠ l2 , такие, что k l1 = k l2 ;

3)для всех l ≠ 0 произведение k l ≠ 1 , то есть класс l необратим в кольце Z / mZ .

Теорема 1.17. Класс k из кольца Z / mZ обратим тогда и только тогда, когда НОД(k, m)=1. Обратный класс также обратим. Произведение обрати-

мых классов есть обратимый класс.

Следствие. Если m = p – простое число, то в кольце Z / mZ каждый не-

нулевой класс обратим.

Поскольку Z / mZ состоит из конечного множества элементов, то сложение и умножение можно задавать поэлементно в виде таблиц.

Пример 1.7. Напишем таблицы сложения и умножения в кольце Z / 3Z :

Из таблицы умножения непосредственно видно, что классы 1 и 2 обратны сами себе, то есть обратимы все ненулевые классы Z / 3Z в полном соответствии с теоремой 1.17.

1.8. Малая теорема Ферма

Такое название в теории чисел и ее приложениях носит следующая

Теорема 1.18. Пусть p – простое число и целое число a не делится на p. Тогда a p−1 ≡1(mod p).

Доказательство. Согласно лемме 1.3 равны произведения

(a 1) (a 2) K (a n −1)= 1 2 K (n −1). Сократим это равенство на 2 3 K (n −1). Получим a p−1 = 1 . Это означает, что a p−1 ≡1(mod p).

Следствие 1. В кольце Z / mZ с простым p обратным к классу k ≠ 0 является класс k p−2 .

Пример 1.8. а) Пусть p = 3, a = 4 . Тогда по теореме 1.18 43−1 =1 +3 5 ,

14

т.е. 16 =1+15, т.е. 16 ≡1(mod 3); б) p = 5, a = 9; 95−1 =1+5 1312 , т.е. 6561 =1+6560 , т.е. 6561 ≡1(mod 5).

Замечание. В соответствии с замечанием к лемме 1.3 класс k −1 можно найти обратной прогонкой алгоритма Евклида. Следствие дает конкурентный способ нахождения обратного класса. Он кажется громоздким, но свойства

сравнений позволяют достаточно быстро вычислить остаток от деления k p−2 на p. Во-первых, от k можно перейти к остатку от деления k на p. Поэтому можно считать, что 1 < k < p . Требуемую степень можно вычислить за 0(log2 (p −2))

умножений. Для этого можно представить p −2 в двоичной системе счисления.

ту. Он позволяет установить наличие множителей данного числа m, не находя ни одного из таких множителей.

Замечание. Из теста выброшено число m −1, поскольку в силу формулы

= m(mm−2 −C1 − mm−3 +K+(−1)k C m−−k −2 −K+C m− )+1, т.е. (m −1)m−1 =1+mq ,

m 1 m 1 m 1

где q – выражение, стоящее в скобках. Это означает, что (m −1)m−1 ≡1(mod m).

Определение 1.8. Нечетное натуральное число n называется псевдопростым по основанию b для некоторого целого b, 1 < b < n −1, если bn−1 ≡1(mod n).

Выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) полагал, что псевдопростые числа на самом деле просты и ис-

пользовал для проверки b = 2 . Действительно, при b = 2, n = 5, 24 =16 =1+5 3 ,

15

т.е. 25−1 ≡1(mod 5); n = 7, 26 = 64 =1+7 9 , т.е. 27−1 ≡1(mod 7); n = 9, 28 = 256 = =1 +3 85, т.е. 29−1 ≠1(mod 9); n =11, 210 =1024 =1+1023 =1+11 93 , т.е.

211−1 ≡1(mod11) и так далее.

Однако существует контрпример: 2340 ≡1(mod 341), хотя 341 =11 31 – составное число. Заметим также, что 3340 ≡ 56(mod 341).

Определение 1.9. Нечетное натуральное число называется числом Кармайкла, если оно составное и псевдопростое по всем основаниям b.

В 1912 г. Р.Д. Кармайкл впервые опубликовал примеры таких чисел (15 чисел), в частности, привел наименьшее из них 561 = 3 11 17 . Позже выяснилось, что характеризация чисел Кармайкла была получена 15-ю годами ранее А. Корселтом.

Теорема 1.19 (Корселта). Нечетное натуральное число n является числом Кармайкла тогда и только тогда, когда для каждого его простого делителя p выполнены следующие два условия:

1)n не делится на p2 ;

2)n −1 делится на p −1.

Числа Кармайкла встречаются довольно редко. Например, между 1 и 109 имеется 50847534 простых чисел и 646 чисел Кармайкла. Тем не менее справедлива

Теорема 1.20 (Альфорд, Гранвиль, Померанц (1994)). Чисел Кармайкла бесконечно много.

1.9. Функция Эйлера и теорема Эйлера

Определение 1.10. Функция Эйлера – функция ϕ(m) натурального аргу-

мента m, которая каждому натуральному числу m >1 ставит в соответствие количество натуральных чисел, меньших m и взаимно простых с m.

Эта функция обладает рядом свойств, облегчающих вычисление ее значе-

16

простых чисел, меньших 8, ровно 4: 1, 3, 5, 7.

в) ϕ(15). По свойству 3 ϕ(15)= ϕ(3 5)= ϕ(3) ϕ(5)=(свойство 1) = (3 −1)(5 −1)= 2 4 =8 . Действительно, число взаимно простых чисел, меньших

15, равно 8: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

г) ϕ(300). По свойству 4

Доказательство аналогично доказательству малой теоремы Ферма.

Следствие. В кольце Z / mZ с составным m всякий обратимый элемент

kобладает свойствами:

1)k ϕ(m) =1;

2)обратным к k является класс k ϕ(m)−1 .

2.ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

2.1.Понятие группы

Определение 2.1. Пусть X – непустое множество. Если на X задана одна или несколько алгебраических операций, то говорят, что X есть алгебраическая система с данными операциями.

Из всех алгебраических операций наиболее применимыми оказались бинарные.

Определение 2.2. Бинарной алгебраической операцией на множестве X называется всякое правило, по которому каждой упорядоченной паре (x, y)

элементов x, y X ставится в соответствие один вполне определенный элемент z из X.

Обычно операции обозначаются знаками , x, , +, – и т.п. Воспользуемся первым из обозначений операций. Тот факт, что элемент z множества X является результатом бинарной операции над элементами x, y X в указанном по-

рядке обозначают равенством z = x y .

Пример 2.1. (Z, +, ) – алгебраическая система целых чисел с операциями сложения и умножения, называемая кольцом целых чисел.

Алгебраические системы различают по операциям и свойствам этих операций.

Определение 2.3. Алгебраическая система (X, ) с одной алгебраической

17

операцией на множестве X называется группоидом. Если у группоида (X, ) операция ассоциативна: a (b c) = (a b) c , то такую алгебраическую сис-

тему называют полугруппой. Моноидом (X, ) называют полугруппу с единицей или нейтральным элементом, т.е. таким элементом n, что n x = x n = x для каждого x X .

Пример 2.2. Алгебраическая система (N, –) – множество натуральных чисел с операцией вычитания – группоид, (N, +) – множество натуральных чисел с операцией сложения – полугруппа, (N, ) – множество натуральных чисел с операцией умножения – моноид. R3 – множество всех свободных векторов трех-

мерного пространства с операцией векторного умножения – группоид, но не

полугруппаr r, посколькуr операция векторного умножения не ассоциативна:

[ar,[b, cr]]= b (ar, cr)−cr(ar,b ).

Лемма 2.1. Если в полугруппе имеется нейтральный элемент, то он один.

Доказательство. Если n и n′ – два нейтральных элемента в полугруппе (X, ), то n = n n′ = n′. Лемма доказана.

Определение 2.4. Группой называется непустое множество G с определенной на нем бинарной алгебраической операцией , которая обладает свойствами:

1)ассоциативность: a (b c) = (a b) c для любых a,b,c G ;

2)существует нейтральный элемент (единица), то есть такой элемент e G , что g e = e g = g для каждого g G ;

3) каждый элемент g G имеет обратный, то есть такой элемент h G , что g h = h g = e .

В силу леммы 2.1 в любой группе единица определяется однозначно. Это свойство дополняет

Лемма 2.2. В любой группе элемент, обратный к каждому, определен однозначно.

Пример 2.3. (Q, +); (R, +); (C, +) множества всех рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно с операцией сложения являются так называемыми аддитивными группами.

Определение 2.5. Абелевыми, или коммутативными, называют группы (G, ) со свойством

4) a b = b a для произвольных a,b G .

По исторической традиции нейтральный элемент аддитивной группы называют нулем и обозначают 0, а обратный элемент к a – противоположным и обозначают через – a.

Пример 2.4. Мультипликативные группы – группы с операцией умноже-

ния: (Q*, ), (R*, ), (C*, ), где Q* = Q \ {0}, R* = R \ {0}, C* = C \ {0}.

По свойству 4 группы делятся на абелевы и не абелевы.

Пример 2.5. Абелевыми являются группы (Z ,+); {±, }; (V3 ,+) – множество

классических векторов – направленных отрезков, выходящих из начала координат в пространство, с операцией сложения векторов.

18