Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч. 2

Узел С жесткого элемента Р перемещается вниз по дуге относительно неподвижной точки А или по перпендикуляру (вследствие малости деформации) к его продольной оси.

По направлению стержня 1 в произвольном масштабе откладываем отрезок СС1 = l1, показывающий его деформацию. С конца этого

отрезка, т. е. из точки С1, проводим перпендикуляр к первому перпендикуляру. Их пересечение(точка С2) дает новое положение узла С.

Из прямоугольного треугольника СС1С2 перемещение узла С

Задача 1.6

Расчетная нагрузка F = 200 кН передается на грунтовое основание через чугунную колонну диаметром d, квадратную подошву со стороной а и нижнее квадратное основание со стороной b, рис. 1.21.

Рис. 1.21

21

Определить размеры сечений элементов конструкции. Расчетные сопротивления на сжатие: для чугуна R = 50 МПа, для

кладки основания R = 1,0 МПа, для грунта R = 0,25 МПа.

Р е ш е н и е

Так как сжимающая сила совпадает с продольной осью конструкции, то все ее элементы испытывают деформацию сжатия.

Из условия прочности при растяжении-сжатии ( σ NA R, где

во всех поперечных сечениях N = F) определяем требуемые площади поперечных сечений элементов конструкции.

Для чугунной колонны

22

Задача 1.7

Ступенчатый кирпичный столб, рис. 1.22, поддерживает перекрытие двух этажей. Определить наибольшее нормальное напряжение в столбе и укорочение его с учетом собственного веса.

Рис. 1.22

Для кирпичной кладки γ = 2000 кг/м3, Е = 4 ГПа.

Р е ш е н и е

Вес верхней и нижней частей колонны

GB γAlg 2 103 1 0,5 3 9,81 29, 4 103 H;

GH γAlg 2 103 1 0,75 4 9,81 58,9 103 H.

Определим напряжения с учетом веса и заданной нагрузки. В сечении В

23

В сечении H

Деформация от веса определяется по формуле

l 2GlEA ,

деформация от нагрузки

l EFAl .

Укорочение столба

∆l = ∆lВ + ∆lН = 0,742 + 1,038 = 1,78 мм.

Задача 1.8

Определить количество болтов, d = 5 мм, необходимых для прикрепления днища бака, заполненного жидкостью с плотностью

γ = 1000 кг/м3, рис. 1.23.

24

Из условия прочности на растяжение ( σ NA GжидкA R ) определяем требуемую площадь болтов:

Принимаем n = 7.

Задача 1.9

Абсолютно жесткий элемент P укреплен на шарнирно-неподвиж- ной опоре и двух стальных стержнях диаметром d 2,5 см, рис. 1.24.

Рис. 1.24

26

Определить напряжения в стержнях и перемещение точки K, ес-

ли E 200 ГПа.

Р е ш е н и е

Площади поперечных сечений стержней

Для определения продольных сил N, возникающих в поперечных сечениях стержней, применяем метод сечений. Направляем усилия от сечений, предполагая, что стержни растягиваются.

Рассмотрим равновесие нижней части, так как она имеет три неизвестные силы (продольная сила и две реакции опоры) при трех возможных уравнениях статики (вверхней части четыре неизвестные).

Составим рациональное уравнение равновесия:

MC 0: q 2 1 N1 2 0; N1 q 35 кН.

Положительный результат говорит о том, что стержень 1 растянут. Напряжение в поперечном сечении стержня

27

Для определения перемещения узла K рассмотрим деформацию системы. Так как стержни 1 и 2 растягиваются, то точка D жёсткого элемента АВ переместится вниз по перпендикуляру к его продоль-

ной оси. По направлению стержня 2 откладываем отрезок l2 , по-

казывающий, насколько стержень удлинился. Из конца этого отрезка проводим перпендикуляр к первому перпендикуляру.

Пересечение двух перпендикуляров (точка D1 ) дает новое поло-

жение точки D.

Точка В также опустится по перпендикуляру вниз в точку B1. Из подобия треугольников ADD1 и ABB1 найдем перемещение

точки В:

DADD1 BBAB1 ;

δ2D δ4B ;

δB 2δD.

Из прямоугольного треугольника ADD1

28

Полное перемещение точки K будет состоять из перемещения точки В и удлинения стержня 1:

δK δB l1 8,06 0,713 8,77 мм.

1.2.Статически неопределимые системы

Задача 1.10

Система, состоящая из жесткого элемента Р и трех стальных стержней, нагружена расчетной нагрузкой, рис. 1.25. Стержни имеют одинаковые длины и площади поперечного сечения.

Рис. 1.25

Определить диаметр стержней, если расчетное сопротивление

R 210 МПа.

Ответы:

а. По расчету d = 1,88 см; по сортаменту принимаем d = 2,0 см. б. По расчету d = 1,69 см; по сортаменту принимаем d = 1,8 см. в. По расчету d = 3,17 см; по сортаменту принимаем d = 3,2 см.

Вариант а) Р е ш е н и е

Система один раз статически неопределима, так как неизвестных реакций или продольных сил три, а уравнений статики для плоской системы параллельных сил можно составить только два.

29

Рассекаем стержни, усилия N направляем от сечений, т. е. предполагаем, что все стержни растянуты, рис. 1.26.

Составим дополнительное уравнение перемещений, рассмотрев, как система деформируется. Под действием нагрузки жёсткий элемент Р опустится вниз и наклонится, оставаясь прямолинейным. Стержни удлинятся на соответствующие отрезки l.

Проведем вспомогательную прямую, параллельную первоначальному положению жесткого элемента.

Рассматривая подобные треугольники, найдем зависимость между деформациями стержней:

l3 l1 l2 l1 ; 3,5 1,5

1,5 l3 1,5 l1 3,5 l2 3,5 l1;

2 l1 3,5 l2 1,5 l3 0.

30