Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч. 2

Абсолютные продольные деформации участков:

Определяем перемещение характерных сечений. Считаем, что перемещение сечения В равно нулю (заделка):

δB 0.

Перемещение остальных граничных сечений вычисляется последовательным добавлением к начальному перемещению деформаций последующих участков колонны:

δD l3 0,792 мм;

δC δD l2 0,792 0,676 1,47 мм;

δA δC l1 1,47 0,624 2,094 мм.

Строим эпюру перемещений δ.

Задача 1.3

Определить размеры поперечных сечений стержневой системы

(рис. 1.5).

11

Рис. 1.5

Стержни 1 и 2 – деревянные квадратного поперечного сечения; стержень 3 – стальной, состоящий из двух равнобоких уголков. Считать, что стержни 1 и 2 имеют одинаковые размеры.

Для стали R = 210 МПа, для древесины Rс = 13 МПа.

Ответы:

а. Сторона сечения а1 = а2 = 13 см, уголок 40 × 40 × 5 мм. б. Сторона сечения а1 = а2 = 14 см, уголок 50 × 50 × 6 мм. в. Сторона сечения а1 = а2 = 14 см, уголок 50 × 50 × 3 мм.

Вариант а)

Р е ш е н и е

Рассматриваемая стержневая система является статически определимой, так как в опорах возникают три реакции, которые могут быть определены из трех уравнений статики.

Стержни подвергаются растяжению-сжатию. Определим продольные силы в стержнях методом сечений.

Вырежем сечением I–I узел С, продольные силы N1 и N2 направим к сечениям, т. е. считаем, что стержни сжимаются, рис. 1.6.

12

Из условия прочности при растяжении-сжатии определим размеры поперечных сечений стержней.

Для 1-го стержня

для одного уголка A3 7,14 : 2 3,57 см2 .

Из таблицы сортамента для равнополочных уголков принимаем два уголка 40 40 5, площадь поперечного сечения которых

A 3,79 см2.

Задача 1.4

Для конструкции, состоящей из двух стальных стержней круглого поперечного сечения (рис. 1.7), определить напряжения в стержнях и полное перемещение узла С.

14

б

а

49,5 кН

Рис. 1.7

Для стали Е = 200 ГПа.

Ответы:

а. σ1 = 205 МПа, σ2 = –52,2 МПа, δс = 3,50 мм.

б. σ1 = 211 МПа, σ2 = –160 МПа, δс = 3,43 мм. в. σ1 = 224 МПа, σ2 = –221 МПа, δс = 6,99 мм.

Вариант а)

Р е ш е н и е

Площади поперечных сечений стержней:

15

Нагрузка F вызывает возникновение двух реакций опор (А и В), которые направлены вдоль продольных осей стержней. Двум неизвестным реакциям соответствуют два уравнения равновесия, значит, система статически определима.

Для определения продольных сил, возникающих в стержнях, с помощью сечения I–I вырежем узел С, рис. 1.8.

Рис. 1.8

Предположим, что стержни растягиваются, т. е. силы N1 и N2 направляем от сечения.

16

Уравнения равновесия для узла С:

N2 25,63 кН.

Внутренняя сила N2 получилась отрицательной, значит, стержень 2 не растягивается, как было предположено, а сжимается. Поэтому на схеме направление N2 меняем на противоположное.

Напряжения в стержнях:

σ2 N2 25,63 103 5,22 107 Па 52,2 МПа. A2 4,91 10 4

Абсолютные продольные деформации стержней:

Для определения перемещения узла С мысленно разъединим элементы в этом узле.

17

По направлению стержня 1 в произвольном масштабе откладываем отрезок СС1 = l1, т. е. показываем, насколько стержень

удлинился.

По направлению стержня 2 откладываем отрезок СС2 = l2 , т. е.

показываем, насколько стержень укоротился.

Показываем вертикальное δυ и горизонтальное δu перемеще-

ния узла С. Выразим эти перемещения через деформации стержней. Для этого спроецируем перемещения δυ и δu на направления

стержней:

l1 CC1 Ca aC1 Са кС3 δυ cos30 δu sin 30 ,

l2 CC2 Cb bC2 Сb dе δυ cos 45 δu sin 45 .

Решаем систему уравнений:

3, 49 δυ 0,866 δu 0,5,

0,626 δυ 0,707 δu 0,707,

откуда δυ 2,879 мм, δu 1,993 мм.

Полное перемещение узла С

Задача 1.5

Определить перемещение точки С и наибольшую допустимую нагрузку (F или q) на конструкцию, считая элемент Р абсолютно жестким (недеформирующимся).

Стержень 1 – стальной из прокатных элементов (вид и номер элемента указаны на рис. 1.9).

18

а

б

в

Рис. 1.9

Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Ответы:

а. qadm = 655 кН/м, δс = 2,42 мм. б. Fadm = 71,3 кН, δс = 7,44 мм. в. qadm = 68,8 кН/м, δс = 4,54 мм.

Вариант а)

Р е ш е н и е

Под действием нагрузки в системе возникают три реакции опор (Ax, Ау и В), которые могут быть определены из трех уравнений равновесия. Следовательно, система является статически определимой.

Для двутавра № 10 площадь поперечного сечения A1 12,0 см2 .

Разрезаем стержень сечением I–I, рис. 1.20, продольную силу N1 направляем к сечению, т. е. предполагаем, что стержень сжимается.

19