Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч. 2
.pdf
Ay = 38 кН |
|
F = 40 кН |
By = 38 кН |
||
|
q = 9 кН/м |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
2,0 м |
|
2,0 м |
B |
|
|
|
|
||
38 |
|
29 |
20 |
|
Qy, кН |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
- |
|
|
Mx, кН м |
|
|
38 |
|
|
0,73 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
33,5 |
58,0 |
|
|
|
|
Y |
= 6 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
X |
|
|
|
|
|
||
|
|
h |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
Рис. 5.18
Точка 1:
0, |
|
29 |
103 163 10 6 |
24,4 МПа; |
|
5,6 |
10 3 3460 10 8 |
||||
|
|
|
101
max |
1 |
4 24, 42 24, 4 МПа; |
min |
2 |
|
|
|
max 24, 4МПа;
min 24,4МПа;
1 24,4МПа; |
|
2 |
|
0; 3 |
24,4МПа – плоское напряженное |
|||||||||
состояние. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка 2: |
|
|
|
|
|
58 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201 МПа, |
0; |
||||||
|
|
289 10 6 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
max 201 МПа; |
min |
0; |
||||||||||
1 201 МПа; |
2 3 0; – линейное напряженное состояние. |
|||||||||||||
Точка 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 103 |
|
6 10 2 |
101 МПа; |
||||||
|
|
|
3460 10 8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
20 103 150,6 10 6 |
15,5 МПа; |
||||||||||
|
5,6 10 3 3460 10 8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
max |
|
101 |
1 1012 |
4 15,52 50,5 52,8; |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
min
max 103,3 МПа;
min 2,3 МПа;
1 103,3 МПа; 2 0; 3 2,3 МПа; – плоское напряженное состояние.
102
Задача 5.12
Определить наибольшую допустимую длину балки l, выполненную их швеллера № 30, уложенного плашмя, если R = 210 МПа,
рис. 5.19.
Y
X
q = 3 кН/м
A B l
0,73
+
ql2/8
Рис. 5.19
Р е ш е н и е
Швеллер № 30: Wx = 43,6 см3.
Madm = Wx R = 43,6·10–6·210·106 = 9,16 кН м.
Mmax ql2 9,16 кН м. 8
Отсюда определим длину балки l = 4,94 м.
103
Задача 5.13
Деревянная балка, рис. 5.21, составлена из двух сосновых брусьев, соединенных поперечными дубовыми шпонками. Определить количество шпонок.
Рис. 5.20
Для дуба расчетное сопротивление на скалывание вдоль волокон RS90 = 1 МПа. Соединительные болты в расчет не принимать.
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
Qmax = 30 кН, рис. 5.21. |
||
Ay = 30 кН |
F = 60 кН By = 30 кН |
|||
|
A |
B |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
2 м |
2 м |
|
|
|
|
|
|
Qy, кН
30
+
-
30
Рис. 5.21
104
Касательные напряжения на уровне шпонок
x |
QSx |
|
30 103 (20 10 2 |
20 10 2 10 10 2 ) |
0,56 МПа. |
|||||||
|
I |
x |
b |
|
20 10 2 |
|
|
20 40 |
3 |
10 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сдвигающая сила, действующая на шпонки:
T = τxlb = 0,56·106·0,4·0,2 = 44,8 кН.
Одна шпонка может воспринимать
T’ = RS90bhш = 1·106·0,04·0,2 = 8 кН.
Число шпонок
n 44,88 5,6.
Принимаем n = 6.
Задача 5.14
Для консольной балки, рис. 5.22, определить угол поворота сечения С и прогибы сечений B и С (в долях от жесткости EIx).
а |
б |
в |
Рис. 5.22
Ответы: |
|
|
|
|
||
а. |
B |
0,282 ; |
|
1,18 ; |
|
1,088 . |
|
EJ X |
C |
EJ X |
C |
EJ X |
|
|
|
|
|
|||
б. |
B |
0,740 ; |
|
1,57 ; |
|
1,164 . |
|
EJ X |
C |
EJ X |
C |
EJ X |
|
|
|
|
|
|||
в. |
B |
1,499 ; |
|
5,184 ; |
|
3,893. |
|
EJ X |
C |
EJ X |
C |
EJ X |
|
|
|
|
|
|||
105
Вариант а) Р е ш е н и е
Начало координатных осей помещаем в крайнем левом сечении балки (в защемлении), рис. 5.23, исходя из этого начальные параметры (прогиб и угол поворота) равны нулю:
|
|
|
V0 = 0; |
θ0 = 0. |
||||||
|
|
|
|
M = 1 кН м |
||||||
MА = 2,375 кН м |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ay = 4,5 кН |
|
|
|
q = 3 кН/м |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
A |
0,6 м |
|
B |
|||||
|
|
|
|
|
|
0,9 м |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,375 |
|
|
|
|
Mx, кНм |
|||||
1,22 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
–0,22
V θC
VB
VC
Рис. 5.23
Используя уравнения статики, определим реакции в опоре А:
Ау = 4,5 кН; МА = 2,375 кН м.
Тогда угол поворота сечения С
|
|
(z |
С |
0)2 |
|
(z |
0)3 |
|
|
|
|
|
|
ЕI |
A |
|
|
q |
С |
|
M |
A |
(z |
0) M (z |
С |
0,6) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C |
y |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
С |
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
C |
4,5 1,52 |
3 1,53 |
2,375 1,5 1 0,9 1,088 кН м2. |
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
106
Прогиб в сечении С
|
|
(z |
C |
0)3 |
|
(z |
C |
0)4 |
|
|
(z 0)2 |
|
(z |
0,6)2 |
|
EIV |
A |
|
|
q |
|
|
M |
A |
C |
M |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C |
y |
|
|
6 |
|
|
|
24 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 1,53 |
3 1,54 2,375 1,52 |
1 0,92 |
1,18 кН м3. |
||||||||
|
6 |
|
|
24 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Прогиб в сечении В |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
EIV |
A |
(zB 0)3 |
q |
(zB 0)4 |
M |
A |
(zB 0)2 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
B |
|
y |
6 |
24 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4,5 0,63 |
3 0,64 |
2,375 |
0,62 |
0,282 кНм3. |
|||||||
|
|
6 |
|
24 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Задача 5.15
Для двухопорной деревянной балки, рис. 5.24, построить эпюру прогибов и определить наибольший относительный прогиб, если
E = 10 ГПа.
а |
б |
в
Рис. 5.24
Ответы: а. z = 1 м, V = –1,49 см; z = 2,5 м, V = –2,79 см.
Vmaxl 2,79500 1791 .
107
б. z = 3 м, V = –2,57 см; z = 4,5 м, V = –1,81 см.
Vmaxl 2,57600 2331 .
в. z = 1 м, V = –1,29 см; z = 2 м, V = –1,77 см.
Vmaxl 1,77400 2261 .
Вариант а)
Р е ш е н и е
Ix 12 233 12167 см4 , 12
EI V EI |
x |
|
0 |
z 4z3 |
|
|
|
7 z 1 3 |
|
6 z 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
6 |
|
|
6 |
24 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
EIx 0 z 0,667z3 1,167 z 1 3 0,25 z 1 4 , рис. 5.25.
При z = 5 |
м |
EIxVB = 0, EIxθ0 = –18,81 кН м2; |
|
z = 1 |
м |
EIxV = –18,14 кН м3, |
V = –1,49 см; |
z = 2,5 м |
EIxV = –33,94 кН м3, |
V = –2,79 см. |
|
Vmaxl 2,79500 1791 .
108
Аy = 4 кН q = 6 кН/м By = 13 кН |
|
|
|
|
|
A |
F = 7 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1,0 м |
|
|
|
|
|
4,0 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11 |
|
|
Qy, кН |
|
|
By |
|
13 |
2,17 м |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
6 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
||||
|
|
|
Mx, кНм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
0,73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14,1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V, см |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,49 |
|
|
2,79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Y
23 см
12 см
X
Рис. 5.25
109
Задача 5.16
Для двухопорной балки с консолью, рис. 5.26, подобрать номер прокатного профиля, построить эпюру прогибов, проверить жест-
|
|
|
|
V |
|
1 |
|
||
кость, если Е = 200 ГПа, R = 210 МПа, |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
l adm |
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
|
|
|
|
|
||
в
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.26 |
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а. Двутавр |
№ 20; |
при z = 3 м |
3,09 см; |
при z = 7 м |
||||
1,28 см; |
max |
|
1 |
|
– жесткость обеспечена. |
|
||
194 |
|
|
||||||
|
l |
|
|
|
|
|
||
б. Швеллер |
№ 22; |
при z = 3,5 м |
3,8 см; |
при z = 8 м |
||||
1,87 см; |
max |
|
1 |
|
– жесткость обеспечена. |
|
||
184 |
|
|
||||||
|
l |
|
|
|
|
|
||
в. Двутавр |
№ 20; |
при z = 3 м |
2,89 см; |
при z = 7 м |
||||
1,27 см; |
max |
|
1 |
|
– жесткость обеспечена. |
|
||
242 |
|
|||||||
|
l |
|
|
|
|
|||
110