Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Данные к примеру: швеллер № 20, лист сечением 15,2 × 2 см.

Из таблиц сортамента для швеллера № 20: h = 20 см, b = 7,6 см,

A = 23,4 см2, Jx = 1520 см4, Jy = 113 см4, xc = 2,07 см.

Решение

На сечении отмечаются центры тяжести швеллеров (О1, О2), листа (О3), проводятся их центральные оси (X1, …, X3) и (Y1, …, Y3).

Центр тяжести сечения лежит на оси Y0, так как последняя является осью симметрии. Вспомогательная ось Хв проводится по нижней стороне сечения.

Координаты центров тяжести отдельных фигур относительно осей ХвYв:

y1 y2 h2 202 10 см; y3 2t h 22 20 21 см.

Ордината центра тяжести

На сечении отмечается центр тяжести О и проводится централь-

ная ось Х0.

Вычисляем расстояния между осями n и m:

m1 m2 y0 h2 14,3 202 4,3 см; m3 (h 2t ) y0 (20 22) 14,3 6,7 см;

n1 n2 b xc 7,6 2,07 5,53 см; n3 = 0.

Значения осевых моментов инерции относительно центральных осей Х0Y0:

70

Jx0 (Jxi Aimi2 )

2 (1520 23,4 4,32 ) 15,2 23 15,2 2 6,72 5280 см4 ; 12

J y0 (J yi Aini2 )

2 (113 23,4 5,532 ) 2 15,212 3 15,2 2 0 2243 см4.

Так как оси Х0Y0 являются главными центральными осями сечения, значения Jx0 и J y0 являются главными центральными моментами

инерции. Из значений Jx0 и J y0 следует, что JU = Jx0 = 5280 см4, а JV = J y0 = 2243 см4. Данное сечение имеет наибольшую сопротивляемостьизгибуотносительноосиХ0 инаименьшуюотносительноосиY0.

Пример 3.4

Для сечения, составленного из двух прокатных профилей (двутавра и неравнополочного уголка), определить положение центра тяжести и значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.6).

Рис. 3.6

71

Данные к примеру: двутавр № 22, уголок № 20/12,5/1,1.

В рассматриваемом сечении двутавр расположен иначе, чем в таблице сортамента, поэтому значения моментов инерции нужно записать с учетом его положения.

Выписка из таблиц сортамента:

1) для двутавра № 22

h = 22 см, b = 11 см, d = 0,54 см, A = 30,6 см2, Jx = 157 см4, Jy = 2550 см4.

2) для уголка № 20/12,5/1,1

B = 20 см, b = 12,5 см, A = 34,87 см2, Jx = 1449 см4, d = 1,1 см, Jy = 446 см4, хс = 2,79 см, ус = 6,5 см, Jxy = 465 см4.

Решение

Сечение не имеет осей симметрии. Для определения координат центра тяжести сечения выбираются вспомогательные оси ХвYв; отмечаются центры тяжести фигур (O1, O2), составляющих сечение; проводятся их центральные оси (Х1Y1, Х2Y2), параллельные вспомогательным, и вычисляются расстояния между ними и вспомогательными осями:

72

По значениям х0 и у0 на сечении отмечается центр тяжести О (рис. 3.6, б). Заметим, что центр тяжести должен лежать на прямой, соединяющей точки O1 и O2.

Далее проводятся центральные оси Х0Y0, параллельные вспомогательным, и вычисляются расстояния n и m:

m1 ( y0 у1) (9,76 5,5) 4,26 см;

m2 y2 y0 13,5 9,76 3,74 см;

n1 x1 x0 12,1 7,14 4,96 см;

n2 (x0 x2 ) (7,14 2,79) 4,35 см.

Знаки при m и n назначаются с учетом перехода от центральных осей Xi, Yi фигур, составляющих сечение, к общим центральным

осям X0, Y0.

Вычисляем значения осевых и центробежного моментов инерции сечения относительно центральных осей X0, Y0:

Jx0 (Jxi Aimi2 ) Jx1 A1m12 Jx2 A2m22

157 30,6 4,262 1449 34,87 3,742 2649 см4 ;

0 30,6 ( 4,26) 4,96 465 34,87 3,74 ( 4,35) 749 см4.

Значение Jx2 y2 положительное (см. рис. 3.1).

73

Положение главных центральных осей сечения характеризуется углом α0, который определяется по формуле (3.3):

Угол α0 отсчитывается от оси с большим моментом инерции, т. е. от Y0, по ходу часовой стрелки, так как численное значение угла отрицательное. Таким образом определяется положение оси U.

По формуле (3.5) определяем значения главных центральных моментов инерции сечения:

JU ,V 12 (Jx0 J y0 ) (Jx0 J y0 )2 4J 2x0 y0

12 (2649 4409) (2649 4409)2 4 7492 12 7058 2311 ,

отсюда максимальный момент инерции сечения JU = 4684,5 см4, минимальный JV = 2373,5 см4.

Проверяем правильность вычислений, выполненных по форму-

ле (3.5):

J X0 + JY0 = 2649 + 4409 = 7057 см4;

JU + JV = 4684,5 + 2373,5 = 7057 см4.

Таким образом, рассмотренное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси U и наименьшую – относительно оси V.

74

4. КРУЧЕНИЕ

Стержень подвергается деформации кручения при нагружении его парой сил F, лежащих в плоскости, перпендикулярной продольной оси Z. Пара сил приводится к моменту

Te = Fa,

который называется скручивающим (внешним) моментом (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Прямой стержень круглого поперечного сечения, работающий на кручение, называется валом. Нагрузка вала (скручивающие моменты) образуется от приводных шкивов и зубчатых колес, насаженных на вал, а также от двигателя.

Если вал находится в состоянии покоя или равномерного вращения, условие равновесия выражается уравнением

∑Те(z) = 0.

4.1.Внутренние силы при кручении

Впоперечных сечениях скручиваемого стержня возникают внутренние силы сопротивления – крутящие моменты Т. Они определяют-

75

ся методом сечений, по которому стержень мысленно разделяется на двечастиирассматриваетсяравновесиелюбойизних(см. рис. 4.1).

Из условия равновесия вытекает, что крутящий момент Т в сечении вала равен алгебраической сумме всех скручивающих моментов Te, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения (слева или справа):

Т = ∑Телев = ∑Теправ .

Правило знаков для моментов таково: скручивающий момент Te образует в поперечном сечении положительный крутящий момент (Т > 0), если он (Te) направлен по ходу часовой стрелки при взгляде со стороны сечения, и наоборот.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 4.2.

Рис. 4.2

Поскольку сопротивление кручению материалов в ту или другую сторону одинаково, можно применять и обратное правило знаков.

По вычисленным значениям Т на расчетных участках вала (между сечениями, где приложены моменты) строится эпюра крутящих моментов.

4.2. Кручение стержней круглого поперечного сечения

4.2.1. Напряжения при кручении

При кручении стержня круглого поперечного сечения применима гипотеза плоских сечений – смежные сечения поворачиваются одно относительно другого, оставаясь плоскими при неизменном расстоянии между ними. Радиусы, проведенные в сечении до деформации, остаются прямыми и после нее.

76

Элементы материала скручиваемого стержня испытывают деформацию чистого сдвига и сопровождаются касательными напряжениями τ.

Формула для определения касательного напряжения τ в любой точкескручиваемого стержнякруглого поперечного сеченияимеетвид

где Т – крутящий момент в рассматриваемом сечении стержня; Jр – полярный момент инерции сечения стержня;

ρ – расстояние от рассматриваемой точки до центра тяжести сечения (радиус рассматриваемой точки сечения).

Касательные напряжения распределяются по поперечному сечению стержня неравномерно, нарастая от продольной оси Z к поверхности по линейному закону:

в центре тяжести сечения τ = 0;

на контуре сечения, где ρ = ρmах = r, – достигают максимального значения τ = τmах (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Максимальныекасательныенапряжениявскручивающемстержне

max Тmax r ,

J p

где r – радиус сечения стержня.

77

Отношение

Jrp Wp

называется полярным моментом сопротивления, который характе-

ризует сопротивляемость сечения деформации кручения в зависимости от его размеров и формы.

Поскольку в поперечном сечении скручиваемого стержня возникают только касательные напряжения, материал его находится в условиях чистого сдвига, как частный случай плоского напряженного состояния.

Если кручение стержня происходит от нагрузки в состоянии покоя (статическое действие), то условие прочности для пластичного материала используется в виде

τmах ≤ Rs.

Для стержня круглого (сплошного и кольцевого) сечения условие прочности при кручении принимает вид

где Тmах – максимальный крутящий момент в стержне; Wр – полярный момент сопротивления сечения;

Rs – расчетное сопротивление материала стержня сдвигу. Для круглого сплошного сечения

Wp d3 . 16

Для кольцевого сечения

Wp d3 (1 c4 ), 16

78

где d – диаметрсплошного (наружный диаметркольцевого) сечения; с – отношение внутреннего диаметра d0 к наружному d в коль-

цевом сечении ( с dd0 ).

4.2.2. Деформации при кручении. Условие жесткости

При кручении стержня круглого поперечного сечения его продольная ось остается прямой и не изменяет своей длины. Поперечные сечения, оставаясь плоскими и перпендикулярными к продольной оси, поворачиваются на некоторый угол φ (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Абсолютный угол закручивания (поворота сечения) определяется по формуле

где φ – угол закручивания (в радианах); Т – крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня;

G – модуль сдвига материала стержня; Jp – полярный момент инерции.

79