Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Плоское поперечное сечение любого стержня характеризуется рядом геометрических величин:

площадью А; координатами центра тяжести х0, у0; статическим моментом S;

осевыми моментами инерции Jх, Jу; полярным моментом инерции Jp; центробежным моментом инерции Jху.

Эти величины используются при расчетах элементов конструкций на прочность и жесткость.

Площадь поперечного сечения А характеризует сопротивляемость стержня растяжению и сжатию.

Осевые моменты инерции Jх и Jу характеризуют сопротивляемость изгибу, а полярный Jp – кручению, в зависимости от размеров и формы сечения.

Формулы для определения некоторых геометрических характеристик для простых фигур приведены на рис. 3.1.

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) данные о геометрических характеристиках приводятся в соответствующих стандартах на сортаменты (приложения).

Для определения координат центра тяжести сложного сечения произвольно выбирается прямоугольная система вспомогательных осей ХОY. Сечение разделяется на простые фигуры, центры тяжести и площади которых легко определяются, отмечаются эти центры Оi, проводятся центральные оси ХiYi и обозначаются расстояния хi и уi от центральной оси каждой простой фигуры до вспомогательных осей (рис. 3.2).

Координаты центра тяжести сложного сечения определяются по формулам

где ∑S – сумма статических моментов простых фигур относительно соответствующей вспомогательной оси;

∑А – суммарная площадь простых фигур.

60

формулы перехода к параллельным осям (переход от центральной оси простой фигуры к центральной оси всего сечения):

но собственных центральных осей;

mi, ni – расстояния между центральными осями простых фигур и центральными осями всего сечения (см. рис. 3.2).

Моменты инерции измеряются единицами длины в четвертой степени (мм4, см4, м4). Осевые моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения фигуры относительно координатных осей.

Центробежный момент инерции сечения относительно центральных осей, изкоторыххотябыоднаявляетсяосьюсимметрии, равеннулю.

Для неравнополочного и равнополочного уголков значение центробежного момента инерции относительно центральных осей, параллельных полкам, определяется по формуле

J ХY (Jx Jmin )(J y Jmin ),

где Jmin – минимальный момент инерции сечения (приводится в сортаменте).

В некоторых сортаментах приводятся готовые значения Jхy. Знак Jхy для уголка зависит от его положения в сечении. Рекомендуется пользоваться схемой, приведенной на рис. 3.1, где показаны возможные положенияуголкавсечениииприведенызнакидляJхy.

Главные центральные оси

При повороте центральных взаимно перпендикулярных осей Х0Y0 вокруг центра тяжести сечения (точки О) значения осевых и центро-

63

бежного моментов инерции изменяются. При некотором положении этих осей центробежный момент инерции сечения станет равным нулю. Эти оси называются главными центральными и обозначаются буквами U и V. Положение их обусловлено углом α0 (см. рис. 3.2), определяемым по формуле

Угол α0 отсчитывается от оси с большим моментом инерции (X0 или Y0), положительное значение – против хода часовой стрелки. Так определяется положение оси U, а ось V ей перпендикулярна.

Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей имеют экстремальные значения (максимальное JU и минимальное JV) и определяются по формуле

В теории сопротивления материалов доказывается, что сумма осевых моментов инерции сечения при повороте осей относительно их центра тяжести не изменяется, т. е.

Это положение может быть использовано для контроля определения моментов инерции, вычисленных по формуле (3.5).

В сечении, имеющем одну ось симметрии, эта ось является одной из главных центральных осей. Если сечение имеет две оси симметрии, то они являются главными центральными осями.

Главные центральные моменты инерции, как имеющие экстремальные значения, характеризуют наибольшую и наименьшую жесткость (сопротивляемость) балки при изгибе. Они позволяют рационально расположить сечение балки по отношению к нагрузке.

64

Пример 3.1

Для заданного сечения определить значения главных центральных моментов инерции.

Данные к примеру: h = 16 см, b = 12 см, d = 6 см (рис. 3.3).

Решение

Данное сечение представляет собой прямоугольник с круглым отверстием. Поскольку центры тяжести этих простых фигур совпадают, центр тяжести сечения расположен в точке О.

Проведенные на сечении оси X0 и Y0 являются осями симметрии.

Вычислим значения моментов инерции относительно центральных осей X0 и Y0, используя формулы, приведенные на рис. 3.1, для фигур, из которых состоит сечение:

Поскольку оси X0 и Y0 сечения являются осями симметрии и проходят через центр тяжести, они являются главными центральными осями (U и V).

Исходя из значений Jx0 и J y0 следует, что JU = Jx0 = 4032,4 см4 (большее значение), а JV = J y0 = 2240,4 см4 (меньшее значение).

Следует отметить, что данное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси X0, так как JU = Jx0 = Jmax,

и наименьшую относительно оси Y0, так как JV = J y0 = Jmin.

65

Пример 3.2

Для заданного сечения определить положение центра тяжести и значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Данные к примеру: h = = 15 см, b = 18 см, d = 8 см.

Решение

Данное сложное сечение можно представить как сочетание прямоугольника (1), двух треугольников (3 и 4) и выемки в виде полукруга (2).

На сечении отмечаются центры тяжести простых фигур (О1, …, О4) и проводятся их центральные оси (X1, …, X4) и (Y1, …, Y4).

Поскольку ось Y0 сечения является осью симметрии – центр тяжести его лежит на этой оси. Для определения положения центра тяжести по оси Y0 выбирается вспомогательная ось Xв, совпадающая с нижней стороной сечения.

Вычисляем расстояние от центральных осей простых фигур до вспомогательной оси:

66

y1 h2 152 7,5 см;

y2 0,212d 0,212 8 1,70 см;

y3 y4 h3 153 5,0 см.

Площадь рассматриваемого сечения

По формуле (3.2) статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси

Sхв Ai yi A1 y1 A2 y2 A3 y3 2

120 7,5 25,1 1,7 37,5 5 2 1232,3 см3.

Ордината центра тяжести сечения (по формуле (3.1))

На сечении отмечается центр тяжести (точка О) и проводится центральная ось Х0. Напомним, что другой центральной осью является ось Y0.

Вычисляем расстояния m, n между центральными осями простых фигур и всего сечения:

67

m1 у1 y0 7,5 7,25 0,25 см;

m2 y0 y2 7,25 1,70 5,55 см;

m3 m4 y0 у3 7,25 5 2,25 см; n1 = 0, n2 = 0;

n3 n4 d2 13 (b2 d2 ) 82 13 (182 82) 5,67 см.

Предварительно для каждой простой фигуры вычисляем значения осевых моментов инерции относительно собственных централь-

ных осей Xi Yi.

Для первой фигуры (прямоугольник)

Для второй фигуры (полукруг)

Jx2 0,00686d 4 0,00686 84 28,1 см4 ;

Для третьей и четвертой фигур (треугольники)

Определяем значения осевых моментов инерции заданного сечения относительно центральных осей Х0Y0 (по формуле (3.3)):

68

Jx0 (Jxi Aimi2 ) Jx1 A1m12 (Jx2 A2m22 ) 2(Jx3 A3m32 )

2250 120 0, 252 (28,1 25,1 5,552 ) 2 (468,8 37,5 2,252 )

2773,5 см4 ,

J y0 (J yi Aini2 ) J y1 J y2 2(J y3 A3n32 )

640 100,5 2 (52,1 37,5 5,672 ) 3054,9 см4.

Рассматриваемое сечение имеет ось симметрии – ось Y0. Значит, эта ось является одной из главных осей. Другая главная ось – X0 – проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна первой.

Исходя из значений Jx0 и J y0 следует, что JU = J y0 = 3054,9 см4,

а JV = Jx0 = 2773,5 см4.

Пример 3.3

Для сечения, составленного из двух швеллеров и листа, определить значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.5).

Рис. 3.5

69