Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Из таблицы сортамента равнополочных уголков принимаем два уголка 40 × 40 × 5 мм с площадью поперечного сечения

А3 = 3,79 2 = 7,58 см2.

Пример 1.4

Абсолютно жесткий (недеформирующийся) элемент Р укреплен на шарнирно-неподвижной опоре А и поддерживается стержнем 1.

Определить наибольшую допустимую нагрузку F и перемещение т. С (рис. 1.6, а).

Рис. 1.6

Стержень 1 – стальной, швеллер № 10. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

30

Решение

Нагрузка F через элемент Р и стержень 1 передается на опоры, где возникают три реакции (Ax, Ay и B – направленная по продольной оси стержня), которые могут быть определены из уравнений равновесия (ΣX = 0, ΣY = 0, ΣM = 0). Следовательно, рассматриваемая система является статически определимой.

По таблице сортамента площадь сечения швеллера № 10 (стержень 1) А1 = 10,9 см2. Длина стержня

l1 = 3/0,707 = 4,24 м.

Так как стержень 1 соединяется с элементом Р при помощи шарнира, в нем возникает только продольная сила N, т. е. он подвергается деформации растяжения-сжатия.

Для определения продольной силы N система «рассекается» по стержню 1 и для рассматриваемой части системы составляются уравнения равновесия (рис. 1.6, б). Опорные реакции Ax и Аy для условия задачи интереса не представляют. Рациональным уравнением равновесия будет

ΣМА = –N1sinα · 3 + F · 5 = 0,

откуда

Максимально допустимая продольная сила в стержне 1 из фор-

мулы (1.2)

N1,adm A1R 10,9 10 4 210 106 2289 102 Н 228,9 кН.

Наибольшая допустимая нагрузка на конструкцию (из уравнения равновесия)

31

Абсолютная продольная деформация стержня 1 по формуле (1.3)

Абсолютно жесткий элемент Р под действием нагрузки F, вследствие деформации стержня 1, повернется вокруг шарнира А на некоторый угол.

Чтобы построить схему перемещений (рис. 1.6, б), стержень 1 следует мысленно отсоединить от элемента Р в т. D и по его направлению отложить отрезок, изображающий деформацию (удли-

нение) ∆l1, – получим т. D1.

Поскольку элементы системы должны перемещаться совместно, конец продеформированного стерня 1 (т. D1) нужно свести с точкой D элемента Р.

Вследствие малых упругих деформаций можно допустить, что т. D1 перемещается по перпендикуляру к продольной оси стержня, т. е. по D1m. Точка D элемента Р по той же причине переместится по перпендикуляру к его продольной оси, т. е. по Dn.

Точкапересечениятраекторийперемещений(D1m иDn) даетт. D2 – положениеузлаD впродеформированномсостояниисистемы.

Из подобия треугольников АDD2 и АСС1 составляется зависимость между перемещением δС и деформацией ∆l1:

Тогда получим

l1 С , 3sin 5

откуда перемещение т. С (вниз, по вертикали) будет

С 5 4,45 10,5 мм. 0,707 3

32

1.5. Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми являются системы, внутренние силы в элементах которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия (статики).

Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных (внутренних сил и реакций опор) и числом возможных уравнений равновесия.

Для раскрытия статической неопределимости, т. е. определения внутренних сил в элементах системы, к уравнениям равновесия нужно составить столько дополнительных уравнений, сколько раз система статически неопределима.

Существует несколько методов раскрытия статической неопределимости. Наиболее простой – метод сравнения деформаций, построенный на принципе совместности перемещений.

Принцип совместности перемещений означает, что элементы системы в результате действия нагрузки должны перемещаться совместно, без разрушений, разъединений, смещений друг относительно друга.

Чтобы составить уравнение совместности перемещений, необходимо представить систему в деформированном состоянии и установитьгеометрическуюзависимостьмежду деформациямиеестержней.

Совместное решение уравнений равновесия с уравнениями перемещений позволяет раскрыть статическую неопределимость.

Следует заметить, что в статически определимых системах искомые внутренние силы в стержнях предварительно направлялись произвольно. В статически неопределимых многостержневых системах искомые внутренние силы в стержнях нужно направлять в соответствии с предполагаемой деформацией стержня. Так, если стержень удлиняется – неизвестная внутренняя сила в нем направляется от сечения, если укорачивается – к сечению.

Пример 1.5

Абсолютно жесткий элемент Р, нагруженный расчетной нагрузкой F = 136 кН, подвешен на трех стальных стержнях одинаковой длины и площади поперечного сечения (рис. 1.7).

33

Дополнительное уравнение, уравнение совместности перемещений, получим, рассматривая трапецию А1А2С1С2 с целью связать

Проверим полученные значения продольных сил:

∑Y = 147,3 + 45,4 – 56,7 – 136 = 0.

Предположительный характер деформации подтвердился лишь для стержней 1 и 2, стержень 3 оказался сжатым.

Площадь поперечного сечения и диаметр наиболее нагруженного стержня (первого) определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

Поскольку по условию задачи сечения всех трех стержней должны быть одинаковыми, принимаем диаметр d = 3,0 см с площадью сечения А = 7,065 см2.

35

Нормальные напряжения в стержнях будут

σ2 = 64,3 МПа;

σ3 = – 80,3 МПа.

При анализе значения нормальных напряжений в стержнях может возникнуть мысль об уменьшении диаметров сечений у стержней 2 и 3, так как они довольно сильно недонапряжены. Такая мысль будет ошибочной.

Особенность статически неопределимых систем такова, что при подборе размеров поперечного сечения стержней необходимо предварительно задаться их соотношением и выполнить это условие при расчете. В данном примере принято А1 = А2 = А3. Если уменьшить d2 и d3, увеличится напряжение в первом стержне, что приводит к его перенапряжению и, возможно, к разрушению.

Пример 1.6

Абсолютно жесткий элемент Р закреплен в шарнирно-непод- вижной опоре и поддерживается двумя стальными стержнями, выполненными из сдвоенных равнополочных уголков (рис. 1.8, а).

Рис. 1.8

36

Определить наибольшую допустимую нагрузку на систему. Стержень 1: длина l1 = 2,5 м, уголок 50 × 50 × 5 мм; стержень 2:

длина l2 = 1,5 м, уголок 70 × 70 × 6 мм. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение

Из таблицы сортамента прокатных уголков выписываем значения площадей сечения стержней:

А1 = 4,8 2 = 9,6 см2;

А2 = 8,15 2 = 16,3 см2.

Система имеет четыре опорные реакции. Для нее можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, она является один раз статически неопределимой (4 – 3 = 1).

Поскольку стержни 1 и 2 соединяются с элементом Р при помощи шарниров, в них образуются только продольные силы N.

Исходя из характера закрепления элемента Р, направления нагрузки и расположения стержней, можно предположить, что элемент Р повернется вокруг шарнира А на некоторый угол. При этом стержень 1 удлинится, а стрежень 2 укоротится. Соответственно этому показываются направления продольных сил в стержнях: N1 – от сечения, N2 – к сечению.

Рациональным уравнением равновесия является

МА N1 sin 45 2 N2 5 q 3 (2 32) 0

или

Чтобы построить диаграмму перемещений, стержни 1 и 2 следует мысленно отсоединить от элемента Р и по направлению этих стержней отложить отрезки, изображающие их деформации: l1 – удлинение, l2 – укорочение. Получим точки K1 и М1.

37

Из точки K1 проведем перпендикуляр к продольной оси стержня 1. Поскольку элементы системы должны перемещаться совместно, конец деформированного стержня 1 нужно свести с узлом K элемента Р. Для этого из точки K проводим перпендикуляр к продольной оси элемента Р. Пересечение двух названных перпендикуляров даст точку K2 – новое положение узла K.

Так как элемент Р абсолютно жесткий, его ось, повернувшись вокруг шарнира А, пройдет через точку K2 и на оси стержня 2 отсечет отрезок l2 (рис. 1.8, б).

Чтобы составить дополнительное уравнение, нужно из подобия треугольников АKK2 и АММ1 связать между собой деформации стержней l1 и l2:

Допустимую нагрузку q найдем из условия прочности стержней. Из условия прочности стержня 1

N1 RA1 210 106 9,6 10 4 2016 102 Н 201,6 кН,

а нагрузка

q 0,204N1 0,204201,6 988 кН/м.

Из условия прочности стержня 2

N2 RA2 210 106 16,3 10 4 342,3 кН; q 342,32,04 168 кН/м.

38

За максимально допустимую нагрузку на систему принимаем меньшее значение q: qadm = 168 кН/м. При этой нагрузке продольные силы в стержнях будут

N1 = 0,204 168 = 34,3 кН, N2 = 342,7 кН,

а напряжения σ1 = 36,0 МПа, σ2 = 210 МПа.

Как видно из расчета, стержень 1 недонапряжен, что является особенностью статически неопределимых систем, в которых достичь равной прочности всех стержней довольно сложно.

Пример 1.7

Стальной стержень круглого поперечного сечения, жестко защемленный обоими концами в неподвижных опорах, нагружен системой расчетных сил F (рис. 1.9, а).

Рис. 1.9

Определить минимально необходимый диаметр стержня, если

R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение

Нагрузка F, действующая по продольной оси стержня, вызывает в опорах только по одной реакции (Аz и Вz) по линии действия сил.

39