Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Решение без учета массы стержня.

Статическое напряжение в стержне от груза весом Q

Динамическое напряжение

σd = Kd σст = 578 · 0,12 = 69,4 МПа < R.

Решение с учетом массы ударяемого стержня.

Собственный вес ударяемого стержня

Qсв = γАl = 78,5 · 103 · 5 · 5 · 10–4 · 1 = 196,3 Н.

Динамический коэффициент (по выражению (10.7))

Для призматического стержня коэффициент приведения массы к месту удара α = 1/3.

Динамическое напряжение

σd = Kd σст = 524 · 0,12 = 62,9 МПа < R.

320

Динамическая деформация (укорочение)

∆ld = ∆lст Kd = 0,06 · 10–3 · 524 = 31,42 · 10–3 см = 0,314 мм.

Анализ полученных значений напряжений позволяет сделать заключение, что при продольном ударе учет массы ударяемого элемента конструкции небольшой длины мало влияет на величину напряжения.

Пример 10.5

На стальную балку, состоящую из двух двутавров № 22 длиной l = 5 м с абсолютно жесткими опорами (рис. 10.8, а), посередине пролета падает с высоты H = 1 см груз массой m = 510 кг.

а

б

Рис. 10.8

В опасном сечении балки определить максимальное нормальное напряжение и прогиб.

321

Как изменятся искомые величины, если одна из опор балки будет упругой (цилиндрическая пружина с податливостью β = 1,6·10–4 см/Н),

рис. 10.8, б?

Решение

Для двутавра № 22 Jх = 2550 см4, Wх = 232 см3. Нагрузка на балку

Q = mg = 510 · 9,81 = 5000 Н = 5 кН.

Расчет при жестких опорах без учета массы балки.

Опасным будет сечение посередине пролета балки, поскольку здесь изгибающий момент наибольший:

Mmax Ql 5 5 6,25 кН м.

4 4

Напряжение и прогиб от статического действия груза весом Q

σd = σст Kd = 13,5 · 5,09 = 68,7 МПа;

d = ст Kd = 0,127 · 5,09 = 0,646 см.

322

Рекомендуется самостоятельно провести расчет с учетом массы балки (ρ = 24 кг/м, α = 17/35).

Результаты будут несколько меньшими (σd = 66,0 МПа, d = = 0,618 м).

Расчет при одной упругой (податливой) опоре.

Осадка пружины на опоре В от статического действия груза

В = βВ = 1,6 · 10–4 · 2,5 · 103 = 0,4 см.

Статический прогиб в точке удара

d = 13,5 · 3,67 = 49,5 МПа,

d = 0,327 · 3,67 = 1,20 см.

Заметим, что при наличии амортизатора на опоре балки динамическое напряжение в ней уменьшается.

Пример 10.6

Кдеревянной консольной балке прямоугольного поперечного сечения (h = 20 см, b = 10 см), рис. 10.9, на свободном конце внезапно приложен груз массой m = 200 кг.

Рис. 10.9

323

Определить предельную длину балки, если R = 11 МПа. Массу балки не учитывать.

Решение

Вес груза

Q = 200 · 9,81 = 1962 Н.

Момент сопротивления сечения балки

При внезапном приложении груза принимается Н = 0. Тогда из формулы (10.2) динамический коэффициент Kd = 2.

Из условия прочности балки σd = σст Kd ≤ R максимально допустимое статическое напряжение

ст R 11 5,5 МПа.

Kd 2

Исходя из схемы балки и вида нагрузки, максимальный изгибающий момент будет в защемлении и определится выражением

Мmax = Ql.

Максимальное нормальное напряжение в защемлении

ст Ql 5,5 МПа,

Wx

откуда наибольшая допустимая длина балки

l 5,5 106 667 10 6 1,87 м. 1962

324

При этой длине прочность балки обеспечена.

Возникает вопрос: как взаимосвязаны динамические напряжения с длиной балки при внезапном приложении груза и почему? (Про-

порционально, так как Kd = const).

10.3. Расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку

Всякий упругий элемент конструкции (балка, вал, пружина) определенной массы m под действием внезапно приложенной нагрузки Q способен около положения равновесия совершать собственные (свободные) непериодические колебания с частотой ω0 и, благодаря наличию внутренних упругих сил, постепенно затухающей амплитудой до восстановления равновесия (рис. 10.10).

Рис. 10.10

Если на балку действует один груз Q и ее собственная масса m значительно меньше, чем масса груза, то такая балка обладает одной степенью свободы и перемещения всех ее точек в любой момент времени можно выразить через перемещение одной точки (под грузом). Балка, несущаяn сосредоточенных грузов, имеетn степенейсвободы.

По виду деформации элемента конструкции различают продольные (при растяжении-сжатии стержня, пружины), поперечные (при изгибе балки) и крутильные (при кручении вала) колебания.

Частота собственных колебаний для любого элемента конструкции с одной степенью свободы независимо от вида совершаемых колебаний – линейных (при растяжении-сжатии, изгибе), угловых (при кручении) – определяется по формуле

325

где ω0 – частота собственных колебаний; ∆ст – статическое перемещение под действием веса колебляще-

гося груза;

g – ускорение силы тяжести.

Для консольной балки с грузом на ее конце

ст Ql3 .

3EJ

Для двухопорной балки с грузом посредине пролета

ст Ql3 .

48EJ

При определении частоты собственных колебаний силами сопротивления в опорах конструкции, а часто и ее собственным весом, пренебрегают.

Если на элемент конструкции кроме постоянного груза Q будет действовать периодически изменяющаяся возмущающая сила с амплитудой Р и частотой ω1, то этот элемент станет совершать вынужденные колебания с частотой возмущающей силы (рис. 10.11).

Рис. 10.11

Возмущающую силу (вибрацию) создают механизмы с вращающимися, не вполне уравновешенными частями за счет возникающей центробежной силы инерции (электродвигатели, лебедки, валы механизмов).

326

В отличие от собственных колебаний, которые быстро затухают, вынужденные остаются постоянными, так как энергия со стороны возмущающей силы подводится непрерывно.

Расчет ведется по вертикальной амплитуде центробежной силы Р, совпадающей с направлением постоянного груза Q.

От соотношения частот вынужденных и собственных колебаний зависит степень силового воздействия на элемент конструкции, которая оценивается динамическим коэффициентом

где ω1 – частота вынужденных колебаний; ω0 – частота собственных колебаний.

Из формулы (10.9) следует, что если частота вынужденных колебаний ω1 приближается к частоте собственных колебаний ω0, то динамический коэффициент, а следовательно, деформации и напряжения в элементе конструкции неограниченно возрастают.

Если ω1 = ω0, коэффициент Kd возрастает до бесконечности – наступает явление резонанса, представляющего собой опасность для элемента конструкции. Соответствующая частота возмущающей силы называется критической. Нецелесообразно допускать эксплуатацию конструкции в зоне резонанса, так как обеспечение прочности потребует значительного расхода материала. Частота собственных колебанийдолжнабытьпримерно на30 % большечастотывынужденных.

Деформации и напряжения в элементе конструкции от возмущающей силы Р определяются с использованием динамического коэффициента:

Суммарные деформации и напряжения слагаются из статических и динамических:

327

Пример 10.7

Электродвигатель весом Q = 1,5 кН установлен на консольных деревянных балках прямоугольного поперечного сечения при соотношении сторон h / b = 1,5 (рис. 10.12, а).

Рис. 10.12

Электродвигатель делает n = 1400 об/мин. Вертикальная амплитуда возмущающей силы Р = 0,4 кН.

Определить размеры поперечного сечения балок, чтобы частота собственных колебаний балок была на 30 % больше частоты возмущающей силы. Для древесины R = 10 МПа, Е = 12 ГПа.

Собственным весом балок пренебречь.

Решение

Консольные балки воспринимают вес двигателя Q как статическую нагрузку и дополнительную Р – как динамическую, вызванную работой двигателя.

Обе нагрузки вызывают плоский изгиб балок. Частота вынужденных колебаний балок

1 60n 2 140060 2 3,14 146,5 с–1.

Согласно условию задачи частота собственных колебаний балок

ω0 = 1,3ω1 = 1,3 · 146,5 = 190,5 с–1.

328

Используя формулу (10.8), запишем

откуда статический прогиб балок

С другой стороны, статический прогиб двух консольно закрепленных балок

ст Ql3 , 3E2Jx

откуда момент инерции сечения одной балки

Поскольку момент инерции для прямоугольного сечения Jx bh3 , 12

с учетом h / b = 1,5 получим

Jx b(1,512b)3 13330 см4 ,

откуда b = 14,75 см, h = 22,1 см.

Конструктивно принимаем h = 22 см, b = 15 см. Момент инерции принятого сечения Jх = 13310 см4.

Для принятых размеров сечения балки частота собственных колебаний

что соответствует требованию расчета.

329