Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Удлинение от динамического воздействия груза

ld lстKd 3,77 1,51 5,69 см.

Решение с учетом массы троса

37,74 10 3 327 10 6 (37,74 0,327) 10 3 38,1 10 3 м 3,81 см.

ld lстKd 3,81 1,51 5,75 см.

Учет массы троса показал незначительное увеличение удлинения (на 1,05 %). Поэтому при небольшой длине троса его собственным весомпривычислениинапряженийидеформацийможно пренебречь.

Пример 10.2

Швеллер № 20 при помощи тросов, каждый сечением А = 0,5 см2, поднимается вверх с ускорением а = 7 м/с2 (рис. 10.3, а).

Определить нормальные напряжения в тросе и швеллере. Собственный вес тросов не учитывать.

Решение

Геометрические характеристики для швеллера № 20, уложенного плашмя, Jx = 113 см4, Wх = 20,5 см3. Линейнаяплотностьρ= 18,4 кг/м. Веспогонной длины 1 м швеллера в системе СИ

q = ρg = 18,4 · 9,81 = 181 Н/м.

Сначала определим напряжения в швеллере. Его собственный вес является равномерно распределенной нагрузкой q = 181 Н/м. Расчетная схема поднимаемого швеллера показана на рис. 10.3, б.

310

а

б

в

г

Рис. 10.3

Определение опорных реакций и построение эпюры изгибающих моментов (рис. 10.3, в) выполняются обычными методами.

Напряжениевшвеллереотстатическогодействиясобственноговеса

Динамический коэффициент

Kd 1 ag 1 9,817 1,71.

311

Динамическое напряжение в швеллере

σd = σстKd = 9,95 · 1,71 = 17,0 МПа.

Вес швеллера (Q = ql = 181 · 6 = 1086 Н) является нагрузкой на тросы.

Продольная сила в тросах

N1 N2 Q2 10862 543 Н.

Напряжение в тросах от статического действия веса швеллера

Динамическое напряжение в тросе

σd = σст Kd = 10,86 · 1,71 = 18,57 МПа.

При подъеме элементов строительных конструкций, особенно длинных и большого веса, а иногда в непроектном положении, важно, чтобы монтажные напряжения были возможно меньшими. Это достигается по крайней мере двумя методами: малым ускорением в начале и окончании подъема (определяется характеристикой двигателя подъемного устройства) и рациональным местом строповки (закрепление подъемных канатов).

Анализ эпюры М (см. рис. 10.3, в) показывает, что места строповки выбраны недостаточно рационально, так как в середине длины швеллера изгибающий момент равен нулю.

Нетрудно понять, что изменение расстояния a приведет к появлению изгибающего момента в сечении 3 швеллера. Причем увеличение расстояния а приведет к повышению Мmax, а уменьшение его – к уменьшению Мmax. Рациональным будет следующее соотношение изгибающих моментов (рис. 10.3, г):

М1 = М2 = М3.

312

Определим оптимальное значение расстояния а. По расчетной схеме

M1 M2 qa22 1812a2 90,5a2 ;

M3 Ay (62 a) q 62 64 543(3 a) 181 3 1,5 841,5 543a.

Условие рациональности

М1 = М3; 90,5а2 = 814,5 – 543а или а2 + 6,0а – 9,0 = 0.

Решив квадратное уравнение, получим а = 1,243 м.

При а = 1,243 м

М1 = М2 = М3 = 90,5а2 = 90,5 · 1,2432 = 139,8 Н·м,

что на 45,9 % меньше, чем при а = 1,5 м. На столько же процентов уменьшится и напряжение в швеллере.

Напряжение в тросе не изменится.

Пример 10.3

На балке, состоящей из двух двутавров № 20, установлена лебедка массой m1 = 0,4 т для подъема груза массой m2 = 5 т на тросе сечением А = 4 см2 (рис. 10.4, а).

Для данной конструкции определить максимально допустимое ускорение подъема, если расчетное сопротивление для двутавра R = 210 МПа, для троса R = 150 МПа.

Собственный вес балки и троса не учитывать.

Решение

Момент сопротивления двутавра № 20 Wх = 184 см3. Нагрузкой на трос является вес поднимаемого груза:

Q2 = m2g = 5000 · 9,81 = 49050 Н = 49,05 кН.

313

а

б

Рис. 10.4

Напряжение в тросе от статического действия груза весом Q2

Максимальноедопускаемоенапряжениевтросеσmax = R = 150 МПа. Максимальныйдопускаемыйкоэффициентдинамичностидлятроса

Kd R 150 1,223.ст 122,6

По формуле (10.1)

Kd 1 аq 1,223,

откуда максимальное допустимое ускорение подъема груза

а = (1,223 – 1) 9,81 = 2,19 м/с2.

314

Нагрузкой для балки являются: вес лебедки

Q1 = m1g = 400 · 9,81 = 3924 Н = 3,924 кН;

вес поднимаемого груза

Q2 = 49,05 кН.

Расчетная схема балки и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 10.4, б.

Напряжение в балке от статического действия нагрузки

Длябалкимаксимальныйдопустимыйкоэффициентдинамичности

Kd R 210 1, 459 .ст 143,9

Из формулы (10.1) максимальное допустимое ускорение подъема груза

а = (1,459 – 1) 9,81 = 4,50 м/с2.

Для конструкции, исходя из прочности троса, принимаем наибольшее допустимое ускорение подъема груза а = 2,19 м/с2.

10.2. Расчет на ударную нагрузку

Ударной называется нагрузка, которая за короткий промежуток времени достигает значительной величины.

Поскольку продолжительность удара измеряется долями секунды, образующиеся большие ускорения приводят к большой инерционной силе, воздействующей на элемент конструкции, воспринимающий удар.

315

В зависимости от характера взаимодействия соударяющихся тел различают продольный (сжимающий или растягивающий), поперечный (изгибающий) и скручивающий удары. Во всех этих случаях степень воздействия ударной нагрузки зависит от массы и скоростей (в момент удара) обоих соударяющихся тел. Массой ударяемого элемента можно пренебречь, если она значительно меньше массы ударяющего тела.

В случае продольного удара (рис. 10.5) коэффициент динамичности определяется по формуле

где H – высота падения груза;

∆lст – деформация стержня от статического действия ударяющей силы:

lст EFAl ;

Рис. 10.5

А – площадь поперечного сечения;

Е– модуль продольной упругости материала стержня.

Вслучае изгибающего удара (рис. 10.6) динамический коэффициент определяется по формуле

где H – высота падения груза;

ст – прогиб балки в ударяемом сечении от статического действия ударяющей силы.

316

Условие прочности по методу предельных состояний при ударном действии нагрузки имеет вид

где σd max – максимальное динамическое напряжение; σст max – максимальное статическое напряжение;

Kd – динамический коэффициент, зависящий от вида динами-

ческого воздействия (10.2), (10.3). Деформация элемента конструкции

где δd – деформация от динамического действия силы (∆ld, d);

δст – деформация от статического действия силы (∆lст, ст).

В теории доказывается, что величина динамических напряжений зависит от объема подвергающегося удару элемента конструкции (стержня, балки, вала) и качества его материала.

Чем больше объем и чем меньше модуль упругости, тем меньше динамические напряжения в элементе конструкции.

Для снижения динамических напряжений нужно увеличить податливость (деформативность) элемента путем увеличения, например, его длины или замены на материал с более низким модулем упругости. Применимы и амортизирующие устройства (прокладки, пружины).

Изложенный выше способ расчета на действие ударной нагрузки не учитывает массу элемента конструкции, который подвергается удару. Вследствие этого формулы (10.2)–(10.6) дают несколько преувеличенное значение определяемых параметров, что идет в запас прочности и жесткости.

Приведем формулу для вычисления динамического коэффициента с учетом массы ударяемого элемента конструкции:

318

где α – коэффициент приведения массы ударяемого элемента к месту удара;

Qсв – собственный вес ударяемого элемента; Q – вес ударяющего груза.

Пример 10.4

На стальной стержень длиной l = 1 м квадратного поперечного сечения (а = 5 см), рис. 10.7, с высоты H = 10 см падает груз массой m = 30,6 кг.

Рис. 10.7

Проверить прочность стержня без и с учетом его массы, если допускаемое напряжение из расчета на устойчивость составляет

R = 74,1 МПа.

Для материала стержня Е = 200 ГПа, плотность = 8,0 т/м3.

Решение

В системе СИ: плотность

= 8,0 · 9,81 = 78,5 кН/м3;

вес груза

Q = 30,6 · 9,81 = 300 Н.

319