Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

леровой силе Fэ напряжения будут стремительно возрастать, достигая опасных значений. Поэтому продольная сжимающая нагрузка должна быть в пределах F 0,8Fэ.

При большой продольно-сжимающей силе F необходима проверка стержня на устойчивость по условию (9.8) в направлении, свободном от поперечных нагрузок .

Пример 9.5

Стальная стойка из двутавра № 22 нагружена сосредоточенной продольной силой F и равномерно распределенной нагрузкой q

(рис. 9.9, а).

Рис. 9.9

Проверить прочность и устойчивость стойки, если R = 210 МПа.

Решение

Проанализируем характер действия нагрузок. Продольная сила F создает центральное сжатие стойки, а распределенная q – изгиб. Значит, стержень подвергается продольно-поперечному изгибу.

290

Геометрические характеристики сечения двутавра № 22

А= 30,6 см2, Wх = 232 см3, Jх = 2550 см4, Jу = 157 см4, iх = 9,13 см, iу = 2,27 см.

Проверим устойчивость стойки от действия сосредоточенной силы F. По условию закрепления концов стойки коэффициент приведения длины μ = 2.

Гибкость стойки относительно главных центральных осей

Проверку устойчивости следует проводить в плоскости большей гибкости, т. е. относительно оси Y.

Для max λy = 194 по таблице φ = f(λ) коэффициент продольного изгиба φ = 0,186.

НаибольшаядопустимаянагрузкаF поусловиюустойчивости(9.8)

Fadm = АφR = 30,6 · 10–4 · 0,186 · 210 · 106 = 119,5 кН,

что превышает действующую нагрузку в 119,5/80 = 1,49 раза – устойчивость стойки обеспечена.

Для проведения расчета стойки на прочность необходимо рассмотреть ее деформированное состояние (рис. 9.9, б).

Прогиб от поперечной нагрузки q (консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой) происходит относительно оси Х, в на-

291

Полный прогиб стойки определяется по формуле (9.11):

Заметим, что при вычислении эйлеровой силы момент инерции берется относительно главной центральной оси сечения, перпендикулярной действию нагрузки q, т. е. относительно оси Х.

В сечениях стойки возникает изгибающий момент как от поперечной нагрузки М0, так и от продольной МF (рис. 9.9, в).

В опасном сечении (защемлении) полный изгибающий момент

21,78 0,427 22,21 кН м.

Проверка прочности осуществляется по формуле (9.13):

26,1 МПа 95,7 МПа 121,8 МПа R.

Следовательно, прочность и устойчивость стойки обеспечены.

292

Пример 9.6

Стальная балка, шарнирно опертая на концах, нагружена поперечной и продольной нагрузками (рис. 9.10, а).

а

б

Рис. 9.10

Определить номер двутавра, если R = 210 МПа.

Решение

Рассматриваемая балка подвергается продольно-поперечному изгибу. Сначала надо учесть воздействие поперечной нагрузки, а затем – дополнительно от продольной.

Определим номер двутавра от воздействия поперечной силы F = 50 кН, вызывающей плоский изгиб балки. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.10, б.

Максимальный изгибающий момент в середине пролета

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления сечения

293

Наметим предварительно двутавр № 22, для которого

А= 30,6 см2, Wх = 232 см3, Jх = 2550 см4, Jу = 157 см4, iх = 5,13 см, iу = 2,27 см.

Прогиб в середине пролета балки 0 от поперечной нагрузки F в плоскости ее действия определяется по формуле (см. справочник)

Проверим намеченный номер двутавра на воздействие продольной нагрузки F1, создающей дополнительный прогиб и дополнительный изгибающий момент.

Вычислим полный прогиб υ от поперечной и продольной сил по формуле (9.11) в плоскости действия поперечной силы, т. е. в вертикальной плоскости:

где эйлерова сила

Еще раз заметим, что при вычислении Fэ использовалось значение момента инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки, т. е. значение Jх.

Максимальный изгибающий момент в опасном сечении балки по (9.12)

Mmax M0,max F1 50 100 0,0135 51,35 кН·м.

294

Проверку прочности предварительно намеченного двутавра проведем по формуле (9.13):

(32,7 221) МПа 253,7 МПа R.

Перенапряжение составляет 20,8 %.

Проверим пригодность ближайшего номера двутавра с большими геометрическими характеристиками – это № 24. Его характеристики

А = 34,8 см2, Wх = 289 см3, Jх = 3460 см4, Jу = 198 см4, iх = 9,97 см, iу = 2,37 см.

Повторим вычисления расчетных параметров в установленном ранее порядке.

Прогиб от поперечной нагрузки

Эйлерова сила

Fэ 3,142 200 109 23460 10 8 4264 кН. (1 4)

Полный прогиб балки

0,00963 0,01 м. 1 4264100

Максимальный изгибающий момент

Mmax 50 100 0,01 51 кН·м.

295

Максимальное нормальное напряжение

Условию прочности двутавр № 24 удовлетворяет.

Проверим устойчивость балки из двутавра № 24 в горизонтальной плоскости (плоскости наибольшей гибкости, так как Jy < Jx).

Гибкость балки

λу = μl / iy = 1 · 4 · 102 / 2,37 = 168,8;

коэффициент φ = 0,241.

Допускаемая продольная сила

F1 = φRА = 0,241 · 210 · 106 · 34,8 · 10–4 = 176,1 кН > F1 = 100 кН.

Принимаем окончательно двутавр № 24.

Пример 9.7

Балка длиной l = 6 м с шарнирными опорами, выполненная из двух швеллеров № 22, нагружена поперечной равномерно распределенной нагрузкой q = 5 кН/м и продольной силой F (рис. 9.11, а).

Определить наибольшую допустимую продольную нагрузку F, расположив сечение швеллеров рационально (вариант 1, 2 или 3).

Проверить прочность и жесткость балки при принятом варианте,

если R = 210 МПа, adm = l / 300.

Решение

Балка подвергается продольно-поперечному изгибу.

Сначала надо выявить рациональное положение сечения балки по отношению к поперечной нагрузке, т. е. при изгибе. Затем определить наибольшую допустимую продольную нагрузку из условия устойчивости балки при различных вариантах расположения ее се-

296

чения и только после этого принять рациональное положение сечения балки и проверить ее прочность и жесткость.

а

б

в

Рис. 9.11

Геометрические характеристики швеллера № 22

А = 26,7 см2, Wх = 192 см3, Wy = 25,1 см3, Jх = 2110 см4, Jу = 151 см4, h = 22 см, b = 8,2 см, хс = 2,21 см.

Эпюра изгибающих моментов от поперечной силы показана на рис. 9.11, б. Максимальная ордината эпюры в середине пролета

Деформированная схема балки показана на рис. 9.11, в. Рассмотрим первый вариант расположения сечения (рис. 9.11, г). Вычислим геометрические характеристики сечения относитель-

но главных центральных осей:

297

площадь

A 2 26,7 53,4 см2 ;

момент сопротивления

Wх = 2 · 192 = 384 см4;

моменты инерции

Jx = 2 · 2110 = 4220 см4,

Jу = 2 (151 + 26,7 · 2,212) = 562,8 см4;

радиусы инерции

гибкость балки

Заметим, что по условию закрепления концов балки коэффициент μ = 1.

Анализируя значения гибкостей балки (можно также и моментов инерции сечения) видим, что гибкость относительно оси Y больше, чем относительно оси Х. Значит, потеря устойчивости возможна относительно оси Y, в направлении оси Х.

298

Для λmax = λу = 184,8 по таблице φ = f(λ) коэффициент продольного изгиба φу = 0,204.

Наибольшее допустимое значение сжимающей продольной силы из условия устойчивости (9.8) будет

Fadm = AφR = 53,4 · 10–4 · 0,204 · 210 · 106 = 228,8 кН.

Рассмотрим второй вариант расположения сечения (рис. 9.11, д). Геометрические характеристики сечения:

А = 53,4 см2, Wх = 2 · 192 = 384 см3, Jх = 4220 см4;

Jу = 2 (151 + 26,7 (8,2 – 2,21)2) = 2218 см4;

x 1 6 102 67,5 ; 8,89

y 1 6 102 93,2 . 6,44

Для λmax = λу = 93,2 коэффициент φ = 0,616. Наибольшая допустимая продольная сила

Fadm = φАR = 53,4 · 10–4 · 0,616 · 210 · 106 = 690,8 кН.

Рассмотрим третий вариант расположения сечения (рис. 9.11, е). Геометрические характеристики сечения:

А= 53,4 см2, Jy 2 2110 4220 см4 ;

Jх = 2 (151 + 26,7 (8,2 – 2,21)2) = 2218 см4;

299