Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Значения нагрузки и геометрические размеры элемента конструкции могут быть заданы в любых соответствующих единицах (Н, кН, МН, мм, см, м). В формулы напряжений и деформаций они должны подставляться в ньютонах и метрах.

По полученным значениям σ строится эпюра нормальных напряжений (рис. 1.3, г). Правило построения такое же, как и для эпюры N.

Впределах расчетных участков σ = const, так как N = const и A = const.

Всечении, где приложены сосредоточенные силы F, а также где изменяются размеры поперечного сечения, на эпюре σ наблюдается «скачок». Из эпюры σ следует, что наиболее напряженным является

третий участок: σ3 = σmax.

Проверка прочности выполняется по условию прочности (1.2). Наибольшее нормальное напряжение возникает на третьем расчетном участке.

Так как σmax = 206 МПа < R = 210 МПа, прочность элемента по нормальным напряжениям обеспечена.

Для проверки ж е с т к о с т и вначале по формуле (1.3) определим значения абсолютной продольной деформации на участках элемента.

Участок I:

Значения относительной продольной деформации на участках элемента вычислим по формуле (1.5):

20

1 l1 0,3 0,50 10 3; l1 600

Условие жесткости элемента конструкции выполняется, так как

max 3 1,031 10 3 adm 1,05 10 3.

Перемещения характерных сечений (о–k, где изменяются А или N) вычисляются исходя из значений деформаций отдельных участков элемента. Крайнее левое сечение примем за относительно неподвижное: δ0 = 0. Перемещения других сечений находятся последовательным добавлением к предыдущему перемещению деформаций последующих участков:

δ0 = 0,

δm = δ0 + l1 = – 0,30 мм,

δn = δm + l2 = – 0,30 – 0,141 = – 0,441 мм, δk = δn + l3 = – 0,441 + 0,773 = 0,332 мм.

Эпюра перемещений δ показана на рис. 1.3, д.

На третьем участке эпюра δ пересекает ось. Определим положение сечения u, в котором перемещение равно нулю:

откуда а = 0,428 м = 42,8 см.

21

Из эпюры δ следует, что наибольшее перемещение претерпевает сечение n (δn = 0,441 мм) в сторону крайнего левого (о). Перемещение правого концевого сечения (k) по отношению к крайнему левому (о) составляет δk = 0,332 мм и направлено в положительном направлении оси Z.

Пример 1.2

Бетонная колонна квадратного поперечного сечения нагружена расчетной системой сил: сосредоточенных F и равномерно распределенных q (рис. 1.4).

Рис. 1.4

22

Определить размеры поперечных сечений, постоянных для каждого расчетного участка колонны, и перемещение ее свободного сечения.

Для материала колонны: расчетное сопротивление на сжатие Rс = 4 МПа, модуль продольной упругости Е = 15 ГПа.

Решение

Поскольку нагрузка действует по продольной оси Z колонны, последняя подвергается деформации сжатия.

На рассматриваемой колонне исходя из характера нагрузки выделяются три расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I–III.

Длинам участков l придается индекс номера участка.

Колонна в своем основании имеет опору, в которой возникает только одна реакция Вz. Уравнение равновесия можно составить также одно: ΣZ = 0, из которого определится реакция Bz:

ΣZ = Bz – F1 – q1l1 – F2 – q2l3 =

= Bz – 60 – 100 1 – 320 – 420 1,2 = 0,

откуда Bz = 984 кН.

Рассматриваемая система является статически определимой. Для определения продольной силы на участках колонны вос-

пользуемся вторым приемом, без показа «отсеченных» частей, используя правило N = ΣFi.

N2 F1 q1l1 F2 60 100 1 320 480 кН.

23

Участок III: 2,5 z3 3,7 м.

N3 F1 q1l1 F2 q2 (z3 (l1 l2 )) ,

Контроль правильности вычислений N таков: при z = 3,7 м по модулю N3 = Bz = 984 кН.

Для вычисления N сечения можно было назначать со стороны опоры.

По полученным значениям N строится эпюра продольных сил – эп. N (рис. 1.4, б). Отрицательные значения N обычно откладываются влево от оси эпюры.

На участке колонны, где распределенная нагрузка q = 0, N = const,

ана участке, где q 0, N const (прямая наклонная).

Всечениях, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре N имеется «скачок» на величину этой силы (480 –160 = 320 кН).

Размеры поперечных сечений на каждом участке колонны определим из условия прочности по нормальным напряжениям (1.2):

24

На рис. 1.4, в показана схема спроектированной колонны.

Для построения эпюры напряжений необходимо вычислить значения σ в характерных сечениях колонны.

В сечении А

25

По полученным значениям σ строится эпюра напряжений (эпюра σ), показанная на рис. 1.4, г.

Значения абсолютных продольных деформаций на участках колонны вычислим, используя формулы (1.3) и (1.4).

Следует обратить внимание, что на первом участке колонны продольная сила N складывается из сосредоточенной F1 и равномерно распределенной q. Поэтому на первом участке

0,010 10 2 0,0083 10 2 0,0183 10 2 м 0,183 мм.

Распределенная нагрузка q1 для второго участка колонны действует как сосредоточенная. Поэтому на втором участке

0,0154 10 2 0,00806 10 2 0,0235 10 2 м 0,235 мм.

Для определения деформации участков колонны можно использовать эпюру напряжений. Особенно это удобно на участках с распределенной нагрузкой.

Деформация

l Nl l ,

EA E E

где ω – площадь эпюры напряжений.

26

Так, для участка 1 (где эпюра напряжений является трапецией)

что соответствует первому вычислению.

Перемещения граничных сечений колонны определяются исходя из значений деформаций l его участков.

Для проведения расчета на колонне выбирается сечение, перемещение которого известно, – это опора, где перемещение равно нулю (δВ = 0).

Перемещения остальных граничных сечений вычисляются последовательным добавлением к начальному перемещению деформаций последующих участков колонны:

δВ = 0;

δD = δВ + l3 = 0 – 0,235 = – 0,235 мм;

δС = δD + l2 = – 0,235 – 0,392 = – 0,627 мм; δА = δC + l1 = – 0,627 – 0,183 = – 0,810 мм.

По вычисленным значениям δ строится эпюра перемещений (эпюра δ), приведенная на рис. 1.4, д.

На участке колонны, где q 0, перемещение наращивается по закону параболы.

Из эпюры перемещений следует, что перемещение свободного сечения составляет δ = 0,810 мм. Это же число определяет и полную деформацию колонны.

Пример 1.3

Определить размеры поперечных сечений стержней металлодеревянной фермы. Материал стержней 1 и 2 – древесина с равным квадратным поперечным сечением; стержень 3 стальной, из двух равнополочных уголков (рис. 1.5, а).

Расчетные сопротивления: для стали R = 210 МПа, для древесины Rc = 13 МПа.

27

Решив уравнения, получим N1 = –33,1 кН, N2 = –174,9 кН, стержни 1 и 2 сжаты. Второе сечение проведем, как показано на рис. 1.5, в. Искомое усилие N3 направим от сечения, а найденное N2 – к сечению, так как стержень 2 сжат.

Уравнение равновесия узла В

ΣX = –N3 + N2cos30° = 0,

откуда

N3 = 174,9 0,866 = 151,5 кН.

Стержень 3 испытывает деформацию растяжения.

Из условия прочности (1.2) определим значения площадей поперечных сечений стержней фермы.

Для первого стержня

A2 N2 174,9 103 13,45 10 3 м2 134,5 см2 ,

Rc 13 106

сторона сечения а2 134,5 11,6 см.

Конструктивно принимаем а1 = а2 = 12 см. Для третьего стержня

Для одного уголка

А3' 7,212 3,61 см2.

29