Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Если моменты инерции сечения относительно главных центральных осей не равны между собой, то продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т. е. стержень будет искривляться перпендикулярно оси, относительно которой момент инерции будет меньшим.

Напряжение, вызванное в стержне действием критической силы, также называется критическим и определяется исходя их формулы Эйлера:

где l – гибкость стержня;

imin

Гибкость стержня – геометрическая характеристика, зависящая от способа закрепления его концов, длины, формы и размеров сечения.

Формула Эйлера (9.3) применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала:

σкр ≤ σпр,

т. е. при работе материала в упругой стадии. Обычно это условие выражается через гибкость стержня и записывается в виде

где λпр – предельная гибкость, ниже которой формула Эйлера не применима.

Предельная гибкость зависит от механических свойств материа-

ла. Для стали λпр 100, для древесины λпр 70.

В случаях когда λ < λпр, потеря устойчивости происходит за пределами упругости материала и расчет на устойчивость ведется по формуле Ясинского:

270

где а и b – коэффициенты, полученные экспериментальным путем и зависящие от механических свойств материала.

Различают три категории гибкости стержня (для стали):

1.Стержни большой гибкости (λ ≥ 100), расчет которых ведется на устойчивость по формуле Эйлера.

2.Стержни средней гибкости (λ = 50–100), расчет которых на устойчивость ведется по формуле Ясинского.

3.Стержни малой гибкости (λ < 50), рассчитываемые на прочность при сжатии (потеря устойчивости не происходит).

Условие прочности для стержня малой гибкости имеет вид

A c

где Rс – расчетное сопротивление материала на сжатие.

Стержни средней и большой гибкости рассчитываются на устойчивость по формуле

ns c

где ns – коэффициент запаса устойчивости.

Этот коэффициент кроме чистого изгиба учитывает еще ряд других факторов: возможный небольшой эксцентриситет нагрузки, небольшое начальное искривление стержня, неоднородность материала и др. Для данного материала коэффициент ns не является постоянной величиной, а зависит от гибкости стержня. Так, для металлов ns = 1,5–3; для древесины ns = 2,5–3,2.

271

Для удобства проведения расчета сжатых стержней строительных конструкций принят общий вид условия устойчивости

A c

где φ – коэффициент уменьшения расчетного сопротивления материала стержня (коэффициент продольного изгиба), зависящий от материала, гибкости стержня, принятого коэффициента запаса устойчивости.

Значения коэффициента φ изменяются от 0 до 1 и для различных материалов в зависимости от значения гибкости λ приводятся в виде таблиц (табл. 9.1, 9.2) или графиков (рис. 9.3).

272

Таким образом, расчет на устойчивость сводится к недопущению потери первоначальной формы равновесия сжатого стержня. Достигается это уменьшением допустимых нормальных напряжений против расчетных значений Rc, причем для каждого значения гибкости стержень будет иметь свое допускаемое напряжение.

Подбор сечения по формуле (9.8) затруднителен тем, что при неизвестной площади сечения А невозможно вычислить гибкость λ и получить значение φ. Поэтому рекомендуется предварительно задаться значением φ (для начала φ = 0,5 – середина интервала) и из (9.8) определить площадь сечения А, затем λ и φ.

Если выбранный и вычисленный коэффициенты φ близки – проверяют условие (9.8).

Значительное их различие требует продолжение расчета (см. примеры).

Расхождение между σ и φRс не должно превышать 3–5 %. Сечение стержня, «работающего» на устойчивость, будет рацио-

нальным, если минимальный момент инерции Jmin будет возможно бόльшим при возможно меньшей площади сечения А. Этому требованию удовлетворяют трубчатые, коробчатые сечения, а также некоторые сечения, составленные из прокатных профилей (швеллеров, уголков).

Если у сечения главные моменты инерции равны (Jx = Jy) – стержень будет равноустойчивым.

Пример 9.1

Стальная стойка квадратного поперечного сечения (а = 7 см) длинойl = 3 мцентральнонагруженасжимающейсилойF (рис. 9.4, а). Нижний конец стойки защемлен, а верхний в направлении главной центральной оси Х – защемлен, в направлении оси Y – свободен.

Определить наибольшее допустимое значение силы F, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа, акоэффициентзапасаустойчивостиns = 2.

Решение

Поскольку стойка находится под действием сжимающей силы, она должна быть рассчитана на устойчивость, т. е. определено такое значение силы F, при котором не произойдет потери устойчивости (искривление).

274

Рис. 9.4

Вычислим необходимые геометрические характеристики сечения стойки:

площадь

А = 7·7 = 49 см2;

моменты инерции относительно главных центральных осей

Jx = Jy = aa3 74 200 см4; 12 12

радиусы инерции

По размерам поперечного сечения стойка равноустойчива (Jx = Jy), но верхний конец стойки закреплен в направлении главных центральных осей сечения различными способами.

275

Гибкость стойки определяется по формуле

il .

Относительно оси Y (в направлении оси Х) оба конца стойки защемлены. В соответствии с закреплением коэффициент приведения длины μу = 0,5. Относительно оси Х (в направлении оси Y) нижний конец стойки защемлен, верхний свободный: μх = 2.

На рис. 9.4, б и в пунктиром показаны положения оси стойки в случае потери устойчивости.

Гибкость стойки относительно главных центральных осей

Определим критическую силу для стойки, используя формулы (9.2), (9.4) и (9.5) в зависимости от значений гибкостей. Для стальной стойки формула Эйлера (9.2) применима, когда предельная гибкость λпр ≥ 100.

Поскольку для данного случая относительно оси Х гибкость λх > 100, критическая сила определяется по формуле (9.2):

Относительно оси Y гибкость λу < 100 – используются формулы Ясинского (9.4), (9.5).

Критическое напряжение

кр = а– bλ= 310 – 1,14·74,3 = 225,3 МПа.

276

Критическая сила

Fcr(у) = σкр А = 225,3 · 106 · 49 · 10–4 = 1104 кН.

Определим наибольшие допустимые значения сжимающей силы F, используя коэффициент запаса устойчивости.

Относительно оси Х

Fx, adm Fcr( x) 109,6 54,8 кН.

ns 2

Относительно оси Y

Fy, adm Fcr( y) 1104 552 кН.

ns 2

Вкачестве наибольшей допустимой сжимающей силы принимаем ее наименьшее значение: Fadm = 54,8 кН.

Вслучае превышения допустимой нагрузки стойка потеряет устойчивость и искривится в плоскости своей наибольшей гибкости, т. е. относительно оси Х (в направлении оси Y).

Действующее напряжение в стойке

Обратим внимание, что действующее напряжение σ значительно меньше расчетного сопротивления R. Такое уменьшение σ необходимо для достижения устойчивости стойки.

В случае различных значений Jx, Jy, μx и μу потеря устойчивости стойки всегда произойдет в плоскости наибольшей гибкости.

Пример 9.2

Стальная стойка длиной l = 5 м, составленная из двух швеллеров № 12, центрально нагружена сжимающей силой F = 190 кН (рис. 9.5).

277

момент инерции сечения относительно оси Y с учетом равноустойчивости

откуда расстояние между осями Y΄ швеллеров а = 9,06 см; радиусы инерции стойки

При шарнирном закреплении концов стойки коэффициент приведения длины μ = 1.

Гибкость стойки

l 1 500 104,6 . i 4,78

Так как гибкость стойки больше предельного значения для стали (λ = 104,6 > λпр = 100), то для определения критической силы используется формула Эйлера (9.2):

Коэффициент запаса устойчивости по формуле (9.1)

ns FFcr 479,6190 2,52 .

Пример 9.3

Стальная колонна длиной l = 6 м, составленная из четырех равнополочныхуголков, загруженасжимающейсилойF = 500 кН(рис. 9.6).

279