Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

где σdes – расчетное напряжение;

σ – нормальное напряжение от растяжения-сжатия и изгиба; τ – касательное напряжение от кручения;

R – расчетное сопротивление материала стержня; σadm – допустимое напряжение в материале стержня.

Заметим, что касательные напряжения от поперечной силы Q на контуре сечения, где расположена опасная точка, равны нулю.

Пример 8.9

Пространственная система (рис. 8.18, a), состоящая из трех стальных стержней круглого поперечного сечения диаметром d = 4 см и жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой.

Расчетные сопротивления для стали R = 210 МПа, Rs = 130 МПа. Проверить прочность стержней системы.

Решение

Стержни системы находятся под действием различных видов и направлений нагрузки. Чтобы установить вид сопротивления на каждом стержне системы, необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов. Для этого целесообразно рассматривать систему со свободного конца. В таком случае не потребуется определять опорные реакции в защемлении системы и сложность эпюр будет нарастать постепенно.

Для каждого стержня системы, начиная с первого, составляется расчетная схема с использованием локальной системы координат (см. рис. 8.18, а). Переходя к последующему стержню, необходимо по правилу механики перенести к нему все силы, действующие на предыдущий стержень.

При переносе сосредоточенной силы F параллельно самой себе образуются сосредоточенная сила F той же величины и направления и момент М, равный произведению силы F на плечо а (расстояние переноса):

M Fа.

260

Сосредоточенный момент М параллельно самому себе «перемещается» по оси, относительно которой он действует.

в

гд

Рис. 8.18

Приступим к составлению расчетных схем, определению внутренних сил в характерных сечениях каждого стержня системы, начиная с первого, и построению их эпюр.

261

Поперечные силы от изгиба во внимание не принимаются.

Стержень 1 (АВ).

Расчетная схема стержня – защемление в точке В (рис. 8.18, д). Нагрузкой на стержень является сосредоточенная сила F = 0,6 кН, действующая по направлению оси Х. Она вызывает изгиб стержня

относительно оси Y. Изгибающие моменты:

в т. А Му = 0;

в т. В Му = F l1 = 0,6 0,5 = 0,3 кН·м.

Ординаты момента Му откладываются по направлению оси Х со стороны растянутых волокон стержня, т. е. справа от оси Z (АВ) (рис. 8.18, и).

Другие силовые факторы

N = 0, Т= 0, Мх = 0.

Общее правило: в системе взаимно перпендикулярных осей m, n сила F, действующая по направлению оси n, создает изгиб относительно оси m и ордината изгибающего момента Мm откладывается по направлению силы F.

Стержень 2 (ВС).

Расчетная схема стержня – защемление в точке С (рис. 8.18, в). Непосредственно на стержень действует распределенная нагрузка q. Нагрузка F, действующая на первый стержень в т. А, будучи приведенной к т. В второго стержня, образует сосредоточенную силу F, направленную параллельно оси Х, и момент М1 = Fl относительно оси Z, направленный по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения стержня.

Распределенная нагрузка q создает изгиб стержня относительно оси Х, а сосредоточенная F – изгиб относительно оси Y. Момент М1 создает кручение относительно оси Z.

Таким образом, второй стержень подвергается изгибу (в двух плоскостях) и кручению.

Определим значения внутренних сил в характерных сечениях. Крутящий момент

Т = М1 = Fl1 = 0,6 · 0,5 = 0,3 кН·м = const.

262

Ординаты эпюры Мх (параболический треугольник) отложены по оси Y сверху продольной оси Z стержня, а Мy – по оси Х справа оси Z, в обоих случаях – со стороны растянутых волокон.

Продольная сила во втором стержне

N = 0.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.18, ж–и.

Стержень 3 (СД).

Расчетная схема – защемление в т. Д (см. рис. 8.18, б). Непосредственно действующих на стержень внешних сил нет. Силы, действующие на предыдущие участки, будучи приведенными к третьему,

образуют в т. С сосредоточенные силы F и ql2 и моменты

а также момент М2 = Fl1 (на предыдущем стержне это М1).

Сосредоточенная сила F создает в стержне деформацию сжатия. Сосредоточенная сила ql2 и момент М2 создают деформацию изгиба

относительно оси Х (т. е. в вертикальной плоскости), а момент М4 – изгиб относительно оси Y (т. е. в горизонтальной плоскости). Момент М3 создает деформацию кручения.

Внутренние силы в стержне.

Изгибающие моменты:

в т. С

Мх = Fl1 = 0,6 · 0,5 = 0,3 кН·м; Му = Fl2 = 0,6 · 0,7 = 0,42 кН·м;

263

в т. Д

Мх = Fl1 ql2l3 = 0,3 + 0,8 · 0,7 · 1 = 0,86 кН·м; Му = Fl2 = 0,42 кН·м.

Продольная сила

N = F = 0,6 кН.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 7.18, е–и.

Ординаты эпюр Мх и Му отложены со стороны растянутых волокон стержня. Как изгибается стержень, нетрудно представить по расчетной схеме.

Анализ эпюр внутренних сил позволяет установить вид сопротивления каждого стержня системы, выявить опасное сечение и проверить его прочность.

Сначала вычислим необходимые геометрические характеристики сечения (сечение круглое, диаметром d = 4 см).

Площадь сечения

Осевой момент сопротивления

Wx Wy d3 3,14 43 6,28 см3. 32 32

Полярный момент сопротивления:

Wp d3 3,14 43 12,56 см3. 16 16

264

В стержне АВ возникает лишь изгибающий момент Му. Значит, он подвергается плоскому изгибу. Опасное сечение В, где

Му max = 0,3 кН·м.

Условие прочности удовлетворяется.

Стержень ВС подвергается изгибу в двух плоскостях и кру-

чению. Опасное сечение С, где Т = 0,3 кН·м, Мх max = 0,196 кН·м,

Му max = 0,42 кН·м.

Поскольку изгиб происходит в двух плоскостях, необходимо вы-

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

Максимальное нормальное напряжение от суммарного изгиба-

Так как стержень подвергается изгибу с кручением, проверку прочности следует выполнить по теории прочности (формула (8.10)).

Максимальное расчетное напряжение

Условие прочности удовлетворяется.

265

Стержень СД подвергается сжатию, изгибу в двух плоскостях и кручению.

Опасное сечение Д, где N = 0,6 кН, Мх max = 0,86 кН·м, Му max = = 0,42 кН·м, Т = 0,196 кН·м.

Суммарный изгибающий момент

Mи 0,862 0,422 0,957 кН·м.

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

Максимальное нормальное напряжение от суммарного момента

из max Mи 0,957 103 0,152 109 Па 152 МПа. Wx 6,28 10 6

Максимальное нормальное напряжение от сжимающей продольной силы

Условие прочности удовлетворяется.

В завершение примера установим положение наиболее напряженной точки в опасном сечении Д.

Нормальные напряжения от продольной силы N распределяются по сечению равномерно. Касательные напряжения от крутящего момента Т максимальны по контуру сечения. Максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов Мх и Му будут также

266

на контуре сечения по линии действия суммарного момента Ми. Таким образом, наиболее напряженной является точка K, лежащая на контуре сечения по линии действия Ми (рис. 8.18, г). Расчетное напряжение в этой точке σdes = 154,9 МПа.

Координаты точки K легко определить, вычислив значение угла γ

(tg γ = Мх / Му).

9. ПРОДОЛЬНЫЙ И ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБЫ

В предыдущих главах пособия рассматривался расчет элементов конструкций, для которых основным являлся вопрос о прочности или жесткости. При этом напряжения и деформации линейно зависели от нагрузки, т. е. с ростом нагрузки они увеличивались постепенно, без резких скачков.

Однако встречаются случаи, когда при постепенном увеличении нагрузки резко изменяется форма равновесия элемента конструкции, вследствие чего может произойти его внезапное разрушение. В таких случаях наряду с проблемой прочности существует проблема устойчивости, т. е. сохранения под действием нагрузки первоначальной формы равновесия.

Несущая способность элемента конструкции может быть исчерпана потерей устойчивости задолго до потери прочности. При этом утрачивается первоначальная форма равновесия.

Искривление стержня, вызванное только продольными сжимающими силами, называется продольным изгибом.

Продольно-поперечный изгиб стержня происходит в случае действия как продольных сжимающих, так и поперечных изгибающих сил.

9.1. Продольный изгиб (устойчивость сжатых стержней)

В механике твердого тела различают три формы равновесия твердого тела: устойчивая, безразличная и неустойчивая. Эти формы равновесия присущи сжатым гибким (длинным, тонким) стержням

(рис. 9.1).

267

а б в

Рис. 9.1

При незначительной сжимающей силе F, меньшей некоторого критического значения Fcr, первоначальная прямолинейная форма стержня является устойчивой (рис. 9.1, а).

При F = Fcr сжатый стержень находится в состоянии безразличного равновесия, когда возможны как первоначальная прямолинейная форма равновесия, так и несколько близких к ней криволиней-

ных (рис. 9.1, б).

Если F > Fcr, первоначальная форма стержня становится неустойчивой, происходит интенсивное нарастание деформации изгиба (прогиб), рис. 9.1, в.

Устойчивость – способность стержня под действием сжимающей нагрузки находиться в состоянии упругого равновесия и сохранять первоначальную форму.

Критическая сила – осевая сжимающая сила, при которой стержень будет в состоянии безразличного равновесия (критическое состояние), а малейшее ее превышение приведет к интенсивному росту прогибов (к потере устойчивости).

Критическая нагрузка является опасной и считается разрушающей. Разрушение происходит внезапно.

Допустимая (безопасная) сжимающая нагрузка на стержень составляет некоторую часть критической:

268

где Fadm – допустимая нагрузка; Fcr – критическая нагрузка;

ns – коэффициент запаса устойчивости.

Критическая нагрузка для сжатого прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения определяется по формуле Эйлера:

кр ( l)2

где Е – модуль упругости материала стержня;

Jmin – минимальный момент инерции сечения относительно одной из главных центральных осей;

μ – коэффициент приведения действительной длины стержня к расчетной (зависит от способа закрепления концов стержня);

l – длина стержня.

Непосредственно формула Эйлера была получена для случая стержня с шарнирными опорами. Влияние других видов опор Ф. С. Ясинский предложил учитывать коэффициентом μ, значения которого приведены на рис. 9.2. Пунктиром показана ось стержня при потере устойчивости.

а б в г

Рис. 9.2

269