Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

В заключение заметим, что, прикладывая нагрузку F в пределах ядра сечения, по всему сечению получим напряжения одного знака.

8.3. Изгиб с кручением

Элемент конструкции (брус) подвергается деформации изгиба с кручением, когда внешние силы или их составляющие действуют перпендикулярно продольной оси Z в главных плоскостях сечения (т. е. создают изгиб), и пары сил, действующих в плоскости, перпендикулярной продольной оси, с моментом Те вокруг этой оси (т. е. создают кручение), рис. 8.14, а.

б

Рис. 8.14

Деформации изгиба с кручением подвергаются в основном детали машин и валы различных механизмов, имеющие преимущественно круглое поперечное сечение, а также элементы пространственных систем.

В поперечном сечении вала при изгибе с кручением образуются следующие внутренние силовые факторы: крутящий момент Т, изгибающие моменты Мх, Му (рис. 8.14, в) и поперечные силы Qх, Qу.

250

Последние на прочность вала существенно не влияют (на рис. 8.14 не показаны).

Определение внутренних сил и построение их эпюр ведется по тем же правилам, что и при простых видах сопротивлений (рис. 8.14, б). По построенным эпюрам Мх, Му, Т устанавливается опасное сечение вала, т. е. сечение, где их сочетание наиболее неблагоприятное.

Изгибающие моменты связаны с нормальными напряжениями, которые в любой точке сечения определяются по формулам

а крутящие моменты – с касательными напряжениями:

(Т) T .

Jp

Поскольку в поперечном сечении вала, подвергающегося изгибу с кручением, одновременно возникают нормальные и касательные напряжения, материал вала находится в условиях плоского напряженного состояния, поэтому проверка прочности производится по теориям прочности для точек, лежащих на контуре сечения, где имеется самое неблагоприятное сочетание σ и τ (см. рис. 8.14, в).

Условие прочности, выраженное через внутренние силовые факторы, для вала круглого поперечного сечения имеет вид

где σdes – расчетное напряжение;

Мred – приведенный момент в опасном сечении вала; Wх – осевой момент сопротивления сечения;

σadm – допускаемое напряжение в материале вала, которое зависит от предела текучести σу и коэффициента запаса прочности K:

σadm = σу / K.

251

где с = dвн / dнар.

По четвертой (энергетической) теории прочности приведенный момент

Mred Mx2 My2 0,75T2 или Mred Mи2 0,75T2 ,

где Mx , My – изгибающие моменты; Т – крутящий момент;

Mи Mx2 My2 – суммарный изгибающий момент.

В поисках опасного сечения вала часто приходится просчитывать значение Мred для нескольких по длине вала сечений, ориентируясь на эпюры внутренних сил.

Приведенное условие прочности применимо и для расчета валов кольцевого сечения.

Пример 8.7

Консольный стальной брус (рис. 8.15, а) круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм нагружен системой внешних сил.

В опасном сечении бруса построить эпюры нормальных и касательных напряжений, отыскать его опасную точку.

Проверить прочность стержня, если σadm = 140 МПа.

Решение

Сосредоточенная сила F1, действующая перпендикулярно к продольной оси бруса Z, подвергает его плоскому изгибу в вертикальной плоскости, а сила F2 – в горизонтальной.

252

а

б

в

г

д

Рис. 8.15

253

Момент Те, действующий вокруг продольной оси бруса Z, скручивает его.

Совместное действие всех внешних сил подвергает рассматриваемый брус изгибу с кручением.

В сечениях бруса образуются усилия – изгибающие моменты Мх, Му и крутящий момент Т, эпюры которых приведены на рис. 8.15, б, в, г.

Анализ эпюр показывает, что опасным является опорное сечение (защемление), где все три усилия наибольшие:

Мх = 0,56 кН·м, Му = 0,40 кН·м, Т = 0,50 кН·м.

Для проверки прочности бруса воспользуемся формулой (8.9)

des Mred adm .

Wx

По четвертой теории прочности приведенный момент в опасном сечении бруса

Mred Mx2 My2 0,75T2

0,562 0,402 0,75 0,502 0,813 кН·м.

Осевой момент сопротивления для круглого сплошного сечения

Wx Wy d3 3,14 403 6280 мм3. 32 32

Расчетное напряжение

des 0,813 103 0,000130 1012 Па = 130 МПа. 6280 10 9

Условие прочности рассматриваемого бруса выполняется, так как

σdes = 130 МПа < σadm = 140 МПа.

254

Приступим к определению наибольших нормальных и касательных напряжений в опасном сечении бруса.

Нормальные напряжения от изгибающих моментов, действующих в главных плоскостях бруса:

Наибольшее касательное напряжение от крутящего момента Т, действующее в любой точке контура сечения:

Положение нейтральной оси определяем по формуле (8.1):

Напомним, что для круглого сечения Jх = Jу.

Угол φ0 откладывается от оси Х против хода часовой стрелки. Суммарный изгибающий момент в опасном сечении бруса

Экстремальные нормальные напряжения от суммарного изгибающего момента

Эпюры нормальных σ и касательных τ напряжений показаны на рис. 8.15, д.

255

Анализ эпюр напряжений показывает, что наиболее напряженная точка лежит на контуре сечения, где нормальное напряжение от суммарного изгибающего момента максимально. Это точка K, лежащая по линии, перпендикулярной нейтральной оси, или ей противоположная K . Координаты точки K определяются по радиусу r и соответствующей тригонометрической функции.

Напряжения, действующие по граням элементарного прямоугольника, выделенного вокруг точки K, (Mи) и τ показаны на рис. 8.25, д.

Исходя из (Mи) и τ, несложно вычислить главные напряжения σ1

и σ3 и убедиться, что при изгибе с кручением материал бруса находится в условии плоского напряженного состояния и проверку прочности можно провести, используя главные напряжения.

Пример 8.8

Консольный стальной брус (рис. 8.16, а) круглого поперечного сечения нагружен внешними силами на перпендикулярно присоединенных к нему поперечинах.

Определить диаметр бруса, если σadm = 180 МПа.

Решение

Внешние силы не приложены непосредственно к рассматриваемому брусу, поэтому для него нужно составить расчетную схему, перенося внешние силы к продольной оси Z по правилу механики. Образуются вертикально действующие, перпендикулярные оси сосредоточенные силы

F1 = 1 кН, F2 = 4 · 0,3 = 1,2 кН,

изгибающие брус, и моменты относительно оси Z

Те1 = 1 · 0,1 = 0,10 кН·м; Те2 = 4 0,3 0,32 0,18 кН·м,

скручивающие брус (рис. 8.16, б).

256

а

б

в

г

Рис. 8.16

Определим значения изгибающих и крутящих моментов в характерных сечениях бруса:

сечение С:

Мх = 0, Т = 0,18 кН·м;

сечение В:

Мх = 1,2 · 0,6 = 0,72 кН·м; Тп = 0,18 кН·м;

Тл = 0,18 – 0,1 = 0,08 кН·м;

сечение А:

Мх = 1,2 · 0,8 + 1 · 0,2 = 1,16 кН·м; Т = 0,08 кН·м.

Эпюры Мх и Т показаны на рис. 8.16, в, г.

257

В данном примере опасное сечение не явно. Это сечение А или В. Приведенные моменты для этих сечений

сечение А:

сечение В:

Mred 0,722 0,75 0,182 0,737 кН·м.

Таким образом, опасным является сечение А, где Мred наибольший. Из условия прочности (8.9) требуемый момент сопротивления

сечения

Из выражения

Wx d3 6,46 см3 32

определяем диаметр бруса:

d 3 6,46 32 4,04 см. 3,14

Принимаем диаметр бруса d = 40 мм (перенапряжение при этом не превышает 5 %).

8.4.Общий случай сложного сопротивления

Вобщем случае сложного сопротивления (рис. 8.17, а) внешние силы действуют на элемент конструкции (брус) таким образом, что

вего поперечном сечении возникает шесть внутренних силовых факторов: продольная сила N, изгибающие моменты Мх, Му, крутя-

258

щий момент Т и поперечные силы Qх, Qу (рис. 8.17, б). Поперечные силы на прочность бруса существенно не влияют, и их эпюры на рисунке не показаны.

Рис. 8.17

Таким образом, общий случай сложного сопротивления элемента конструкции (стержня) есть сочетание нескольких простых сопротивлений: центрального растяжения-сжатия, плоского изгиба в одной или двух главных плоскостях сечения и кручения.

Продольная сила N и изгибающие моменты Мх, Му связаны с нормальным напряжением σ, а крутящий момент Т – с касательным напряжением τ. Эпюры этих напряжений показаны на рис. 8.17, в.

В общем случае сложного сопротивления материал элемента конструкции находится в условиях сложного напряженного состояния, поэтому условие прочности составляется по теориям прочности для наиболее напряженной точки сечения.

Для элемента с круглым поперечным сечением наиболее напряженная (опасная) точка лежит на контуре сечения.

Для пластичных материалов наиболее приемлема четвертая (энергетическая) теория прочности, по которой условие прочности, выраженное через напряжения, имеет вид

259