Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Так как нейтральная ось проходит ниже сечения, не пересекая его, нормальные напряжения по всему сечению будут одного знака (растягивающие), но разные по абсолютному значению.

Определимнормальныенапряжениявхарактерныхточкахсечения3:

Как видно из результатов вычислений, нормальные напряжения наибольшие в точке, наиболее удаленной от нейтральной оси (точка А).

Эпюра нормальных напряжений для третьего сечения показана на рис. 8.11, в.

Условиепрочностиполосыобеспечено, таккакσmax = 182,3 МПа< R.

Пример 8.5

Короткая бетонная колонна сжимается продольной силой F, приложенной в точке K (рис. 8.12, а).

Определить наибольшее допустимое значение этой силы, если Rс = 24 МПа, Rt = 1,6 МПа, положение нейтральной оси. Построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

Р е ш е н и е

Внешняя сила F действует на колонну параллельно ее продольной оси Z, но с эксцентриситетом:

xF = –20 см, yF = –15 см.

Вследствие этого колонна подвергается внецентренному сжатию.

240

в

Рис. 8.12

Исходя из формы сечения (две оси симметрии и выступающие углы) условие прочности используем в виде (8.6):

max N Mх M y R.

A Wх Wy

Определим необходимые геометрические характеристики сечения колонны.

Площадь сечения

241

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей

Моменты сопротивления сечения

Wx Wy 481093 19244 см3.

Определим внутренние силы (усилия), образующиеcя в колонне: продольная сила N = –F,

изгибающие моменты

Мх = FyF = 15F, Н·см, Му = FxF = 20F, Н·см.

Расчетная схема колонны показана на рис. 8.12, б. Изгибающие моменты Мх и Му направлены согласно с точкой приложения силы F.

Заметим, что в данном случае все сечения колонны равноопасны, так как внутренние силы во всех сечениях одинаковы.

Положение нейтральной оси определим, исходя из формулы (8.5). Отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях сечения:

Положение нейтральной оси показано на рис. 8.12, а, из которого видно, что нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения. Она, пересекая главные центральные оси Х и Y, делит сечение на две зоны: cжатую (нижнелевую) и растянутую (верхнеправую), и лежит по другую сторону от центра тяжести сечения, чем точка приложения силы F.

242

Для хрупких материалов наиболее опасными являются растягивающие напряжения. Максимальные растягивающие напряжения будут в т. В сечения, как наиболее удаленной от нейтральной оси в растянутой зоне.

Составим выражение для определения напряжения в т. В:

Проследим знаки слагаемых в составленном выражении. Первое слагаемое имеет знак «минус», так как действующая сила F сжимает колонну. Это относится к любой точке сечения. Второе и третье слагаемые имеют знак «плюс», так как в т. В оба изгибающих момента создают растягивающие напряжения (см. расчетную схему).

Условие прочности для т. В будет

σmax = σB = 12,6F ≤ Rt = 1,6 · 106,

откуда наибольшая допустимая нагрузка на колонну, исходя из растягивающих напряжений:

F = 1,6 106 127,0 кН. 12,6

Вычислим наибольшие сжимающие напряжения, которые будут в т. С, как наиболее удаленной от нейтральной оси в сжатой зоне:

20 127,0 103 610 2 0,302 107 Па 3,02 МПа Rс. 19244 10

243

Таким образом, наибольшая допустимая нагрузка на колонну составит F = 127,0 кН, при которой будет обеспечена прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 8.12, а, из которого видно, что при внецентренной нагрузке нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно.

Заметим, что полюс нагрузки F (точка K) лежит в большей по площади зоне напряжений (сжатой). Это постоянная закономерность.

Координаты ядра сечения определим из (8.7), задавшись положениями нейтральной оси, совпадающими со сторонами сечения колонны (рис. 8.12, в).

Нейтральная ось в положении 1–1.

Отрезки, отсекаемые нейтральной осью в системе главных центральных осей, будут

y01 = 25 см, x01 = ∞.

Координаты ядра сечения

xF (я)1 Jу 481093 0; Ax0 1793

244

Ядро сечения показано на рис. 8.12, в.

Обратите внимание, что точка K (полюс силы F) лежит за пределами ядра сечения, отчего нейтральная ось проходит по сечению, разделяя его на две зоны: сжатую и растянутую.

Если т. K будет приближаться к центру тяжести сечения, то нейтральная ось будет удаляться от него. При положении т. K в пределах ядра сечения нейтральная ось уйдет за пределы сечения и напряжения по всему сечению будут одного знака.

Пример 8.6

На поперечном сечении колонны (рис. 8.13, а) определить точку приложения сжимающей силы F, наиболее удаленной от центра тяжести по оси Y, при которой в колонне не будет растягивающих напряжений.

Рис. 8.13

Построить ядро сечения и эпюру напряжений (в долях от F).

Решение

Поскольку сила F должна быть приложена к колонне вне ее центра тяжести сечения, колонна будет подвергаться внецентренному сжатию.

245

Для отыскания точки приложения силы F воспользуемся форму-

лами (8.8):

Для определения необходимых геометрических характеристик рассматриваемое сложное сечение разделим на четыре простые фигуры: два прямоугольника и два треугольника (см. рис. 8.13, а).

Площадь сечения

Ордината центра тяжести сечения (относительно вспомогательной оси ХВ)

Оси Х0 и Y0 являются главными центральными осями сечения, так как Y0 – ось симметрии.

Моменты инерции относительно главных центральных осей сечения

246

Радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей

Точка приложения силы F связана с положением нейтральной оси. Поскольку сила F находится на оси Y0, нейтральная ось должна быть ей перпендикулярна.

Для выполнения условия задачи (в сечении не должно возникать растягивающих напряжений) нужно задаться двумя положениями нейтральной оси, совпадающими с верхней и нижней гранями сечения, и определить ординату точки приложения силы F.

Вположении нейтральной оси по верхней грани сечения (рис. 8.13, б)

ееордината

y0 = 90 – 33,86 = 56,14 см,

а ордината точки приложения силы F будет

При положении н.о. по нижней грани сечения

y0 = yc = –33,86 см;

По условию задачи принимаем положение точки приложения силы F (точка K) выше центральной оси Х0 на расстоянии yF = 16,88 см

(см. рис. 8.13, а).

Для построения эпюры напряжений вычислим их значения (в долях от F) для крайних точек сечения:

247

Условие задачи выполнено – в сечении нет растягивающих напряжений. Эпюра напряжений показана на рис. 8.13, б.

Для построения ядра сечения задаемся рядом последовательных положений нейтральной оси, касающихся контуров сечения и не пересекающих его. Для каждого ее положения вычисляются координаты x0, y0, а затем соответствующие данному положению нейтральной оси координаты точки приложения силы F, которые являются координатами точек ядра сечения (xF = xя, yF = yя).

Для вычисления координат точек ядра сечения воспользуемся формулами (8.8).

Нейтральная ось в положении 1–1: y01 = 56,14 см, x01 = ∞,

Нейтральная ось в положении 2–2 на главных центральных осях Х0, Y0 отсекает отрезки, координаты которых (x02, y02) необходимо определить используя подобие образовавшихся треугольников: ДВЕ, ДИЛ, ДОП (см. рис. 8.13, б):

ДВВЕ ДИИЛ 8а 6035 а,

откуда а = 17,78 см;

y02 56,14 17,78 73,92 см;

248

y02 17,78 ,

x02 8

откуда

x02 8 73,92 33,26 см. 17,78

Координаты ядра сечения

yя,2 23,912 7,73 см; 73,92

xя,2 16,222 7,91 см. 33,26

Нейтральная ось в положении 3–3:

Нейтральная ось в положении 4–4:

y04 = –33,86 см; x04 = ∞; xя,4 = 0;

yя,4 23,912 16,88 см.33,86

Положение нейтральной оси 5–5 симметрично положению 3–3, а положение 6–6 симметрично 2–2.

По полученным значениям xя, yя построено ядро сечения

(см. рис. 8.13, б).

Как видно по ядру сечения, наиболее удаленной от центра является точка 4. Приложив в этой точке силу F, получим наиболее допустимый ее эксцентриситет (max yF = 16,88 см), при котором в сечении будут напряжения одного знака. Это подтверждает ранее сделанный расчет.

249