Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

При z = 1,5 м

МС = 15 · 1,5 – 6 1,522 15,75 кН·м;

при z = 2,5 м

МK = 15 · 2,5 – 6 2,52 2 18,75 кН·м.

Горизонтальная плоскость (рис. 8.7, в):

∑МА = –Вх · 5 – 8 · 1,5 + 8 · 3,5 = 0,

откуда Вх = 3,2 кН, аналогично Ах = 3,2 кН. При z = 1,5 м

МС = –3,2 · 1,5 = –4,8 кН·м,

при z = 2,5 м

МK = –3,2 · 2,5 + 8·1 = 0.

Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 8.7, б и в. Подбор размеров сечения балки проведем из условия прочности

в виде (8.3):

max Mx kM y Mdes R.

Wx Wx

В данном примере коэффициент

k = Wх / Wу = h / b = 1,4.

Расчет должен производиться по наибольшему расчетному мо-

менту Мdes.

Анализ эпюр изгибающих моментов показывает, что опасное сечение балки, где сочетание этих моментов самое неблагоприятное, неявно.

230

Исследуем сечение С и K:

в сечении С

Мdes = 15,75 + 1,4 · 4,8 = 22,47 кН·м;

в сечении K

Мdes = 18,75 + 1,4 · 0 = 18,75 кН·м.

Таким образом, опасным является сечение С, где Мdes max = = 22,47 кН·м.

Требуемый момент сопротивления сечения балки из условия прочности будет

Для прямоугольного поперечного сечения с учетом того, что

откуда получим b = 17,9 см, h = 25,06 см.

Приняв конструктивно b = 18 см, h = 25 см вычислим значение максимального нормального напряжения по формуле (8.2):

Размеры сечения определены верно. Моменты инерции принятого сечения

Jx 18 253 23 438 см4; 12

Jy 25 183 12150 см4. 12

231

Положение нейтральной оси в сечении С

Положительное значение φ0 откладываем от оси Х против хода часовой стрелки.

Эпюры нормальных напряжений σ от каждого изгибающего и суммарного момента приведены на рис. 8.7, г.

8.2. Внецентренное растяжение-сжатие

Элемент конструкции (стержень) подвергается деформации внецентренного растяжения-сжатия, когда внешняя сила действует параллельно его продольной оси с некоторым эксцентриситетом от центра тяжести сечения (рис. 8.8, а).

Рис. 8.8

Расчетная схема стержня составляется путем переноса внешней силы F к центру тяжести сечения по правилам механики (рис. 8.8, б). При этом образуются продольная сила N = F и изгибающие моменты относительно главных центральных осей сечения

Мх = F yF и My = F xF,

где yF и xF – координаты точки приложения силы F. Поперечная сила Q отсутствует.

232

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.8, в. Следует заметить, что строить эпюры необязательно, так как все внутренние силы по длине стержня постоянны.

Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие есть сочетание центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба в главных плоскостях сечения стержня.

Для определения напряжений используются формулы, полученные для центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба.

Продольная сила N и изгибающие моменты Мх и My связаны с нормальными напряжениями, которые в любой точке поперечного сечения внецентренно растянутого или сжатого стержня определяются по формуле

где N, Mx, My – внутренние силовые факторы в сечении стержня; А, Jх, Jу – геометрические характеристики сечения;

x, y – координаты точки сечения, в которой определяются напряжения.

Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от того, расположена точка в растянутой или сжатой зоне сечения стержня. Характер деформации зоны сечения устанавливается исходя из направления действия внутренних силовых факторов (N, Mx, My) по отношению к этому сечению (см. примеры).

При внецентренном растяжении-сжатии нормальные напряжения распределяются в сечении по линейному закону, но не равномерно. Нейтральная ось (где σ = 0) не проходит через центр тяжести сечения. Она располагается в четверти сечения, противоположной точке приложения внешней силы F, и делит сечение на растянутую и сжатую зоны (рис. 8.9).

Положение нейтральной оси в сечении стержня определяется по формулам

233

где x0, y0 – отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях сечения;

xF, yF – координаты точки приложения внешней силы F в тех же осях.

Рис. 8.9

В выражениях (8.5) следует учитывать знаки координат точки приложения внешней силы F. Заметим, что координаты x0, y0 и xF, yF всегда имеют разные знаки, так как полюс силы и нейтральная ось лежат по разные стороны от центра тяжести сечения (в противоположных четвертях).

Положение нейтральной оси зависит от размеров и формы сечения и координат полюса силы F, но не зависит от ее величины.

При внецентренном растяжении-сжатии в любой точке поперечного сечения стержня (кроме точек нейтральной оси) возникают лишь нормальные напряжения σ, а касательные τ отсутствуют. Это значит, что материал стержня находится в условиях линейного напряженного состояния и условие прочности используется в виде

σmax ≤ R.

234

В раскрытом виде это условие для любой формы сечения стержня принимает вид

где xdan, ydan – координаты опасной точки сечения, т. е. наиболее удаленной от нейтральной оси точки.

Опасные точки определяются при помощи касательных, проведенных к сечению параллельно нейтральной оси (нулевой линии) (на рис. 8.9 – точки K и Д).

Для пластичных материалов опасной является максимально удаленная от нейтральной оси точка сечения, где напряжения по абсолютному значению наибольшие. Для хрупких материалов проверка прочности должна производиться как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Для стержней, имеющих сечение с двумя осями симметрии и выступающими углами (прямоугольник, двутавр и подобные), условие прочности можно представить в виде

где Wх, Wу – моменты сопротивления сечения изгибу относительно главных центральных осей.

Для названных выше типов сечений наиболее напряженными всегда являются угловые точки.

Подбор размеров сечения при внецентренном растяжении-сжатии не дает однозначного решения, так как геометрические параметры А, Wх, Wу взаимно связаны. Рекомендуется проведение ряда последовательных попыток.

Между полюсом внешней силы F и положением нейтральной оси существует определенная взаимосвязь – они расположены по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения. При приближении силы F к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. При некотором положении полюса силы F нейтральная ось будет касаться контура сечения. При этом по всему сечению напряжения будут иметь один и тот же знак.

235

Зона в сечении стержня, расположенная вокруг его центра тяжести, в пределах которой следует прикладывать нагрузку, чтобы по всему сечению напряжения имели один и тот же знак, называется

ядром сечения (рис. 8.10).

Рис. 8.10

Координаты ядра сечения xF(я), yF(я) связаны с положением нейтральной оси, т. е. с ее координатами x0, y0, и определяются по следующим формулам, полученным из (8.5):

Формулы (8.7) можно привести к другому виду, более удобному для многократных вычислений, используя такую геометрическую характеристику, как радиус инерции сечения:

Тогда формулы (8.7) примут вид

236

Для построения ядра сечения задаются рядом последовательных положений нейтральной оси, касающейся контура сечения (не пересекая его), вычисляются значения координат этих положений нейтральной оси, а затем координаты точек ядра сечения.

Форму и размеры ядра сечения важно знать при расчете внецентренно нагруженных элементов конструкции, выполненных из хрупкого материала.

Пример 8.4

Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения, имеющая выточки (рис. 8.11, а), нагружена растягивающими силами F = 20 кН по продольной оси Z.

в

Рис. 8.11

237

Проверить прочность полосы, если R = 210 МПа. Построить эпюры напряжений в характерных сечениях полосы. Концентрацией напряжений у выточек пренебречь.

Решение

На полосе выделяются три характерных сечения. Внешние силы F, действующие по продольной оси полосы, в сечениях, где нет выточки (1) и где они симметричны (2), создают деформацию центрального растяжения, так как линия действия силы F совпадает с центром тяжести этих сечений (рис. 8.11, б), а в сечении с асимметричной выточкой (3) – внецентренное растяжение, так как линия действия силысмещенаотносительно центратяжестиэтогосечения(рис. 8.11, в).

Определим нормальные напряжения в названных сечениях: cечение 1:

Определим необходимые геометрические характеристики рассматриваемого сечения.

Высота сечения

h = 40 – 8 = 32 мм,

ширина b = 6 мм, площадь

А = 32·6 = 192 мм2.

238

Положение центра тяжести сечения (т. С) и положение главных центральных осей (xс, yс) очевидны.

Моментыинерциисеченияотносительноглавныхцентральныхосей:

Эксцентриситет силы F в рассматриваемом сечении

xF = 0, yF = 20 – 16 = 4 мм.

Внутренние силы:

продольная сила N = F = 20 кН; изгибающий момент относительно оси Хс

Мх = FyF = 20 · 4 = 80 кН·мм = 0,08 кН·м,

изгибающий момент относительно оси Yс

My = FxF = 0.

Поскольку xF = 0, а следовательно и My = 0, здесь имеет место частный случай внецентренного растяжения (плоский изгиб).

По формуле (8.5) определим положение нейтральной оси:

Заметим, что нейтральная ось располагается по другую сторону от центра тяжести сечения, чем точка приложения силы F (рис. 8.11, в).

239