Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Определить значения напряжений по площадкам нового параллелепипеда, повернутого по отношению кисходному наугол α = 25 по ходу часовой стрелки, а также максимальное касательное напряжение.

Решение

Действующие по исходным граням параллелепипеда нормальные напряжения являются главными, так как на этих гранях нет касательных напряжений. Исходя из значений и направлений, алгебраически большее напряжение σ1 = σх = 190 МПа, а алгебраически меньшее напряжение σ3 = σy = –80 МПа.

Рассматриваемый элемент находится в условиях плоского напряженного состояния.

Нормальные напряжения на наклонных площадках определяем по формулам (7.3) и (7.4):

1 cos2 3 sin2 190 0,9062 ( 80) 0,4232

156 14,3 141,7 МПа;

1 sin2 3 cos2 190 0,4232 ( 80) 0,9062

34 65,7 31,7 МПа.

Проверим закономерность, что по взаимно перпендикулярным граням (площадкам) Σσ = const:

141,7 + (–31,7) = 190 + (–80) = const.

Касательные напряжения в наклонных площадках определим по формулам (7.3) и (7.4):

210

Максимальное касательное напряжение в параллелепипеде определяется по формуле (7.5):

τmax σ1 σ3 190 80 135 МПа. 2 2

Эти напряжения действует под углом 45о к главным площадкам. На рис. 7.10, б показаны направления нормальных и касательных

напряжений по площадкам повернутого элемента.

Пример 7 . 5

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, как показано на рис. 7.11, а.

Рис. 7.11

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и наибольших касательных напряжений. Установить вид напряженного состояния элемента.

Решение

Значение главных нормальных напряжений определим по фор-

муле (7.6):

211

Закономерность Σσ = const выполняется:

80 + (–60) = 109 – 89.

Наибольшее касательное напряжение найдем по формуле (7.8):

Положение одной из главных площадок (угол между осью X и направлением σ1) определим по формуле (7.7):

2α0 = 45 , α0 = 22 30 .

Вторая главная площадка, с напряжением σ3, располагается перпендикулярно к первой.

Угол α0 откладывается от оси с алгебраически большим неглавным напряжением, т. е. от оси X по ходу часовой стрелки, так как угол отрицательный.

На рис. 7.11, б показаны исходные, а также и найденные главные напряжения.

Анализ полученных значений главных нормальных напряжений показывает, что элемент находится в условиях плоского напряженного состояния, так как два главных напряжения σ1 и σ3 (действуют в двух направлениях) отличны от нуля.

212

Пример 7 . 6

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, показанные на рис. 7.12, а.

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и установить вид напряженного состояния.

Рис. 7.12

Решение

Определим значения главных напряжений:

213

Угол α0 = 30 отсчитывается от оси X против хода часовой стрел-

ки, так как угол положительный.

На рис. 7.12, б по вычисленным значениям показаны положения главных площадок и направления главных напряжений.

Анализ полученных значений главных напряжений показывает, что рассмотренный элемент находится в условиях линейного напряженного состояния, так как отличным от нуля оказалось только одно главное напряжение σ1 (действует только в одном направлении).

8.СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Врассмотренных выше деформациях, таких как, например, рас- тяжение-сжатие, изгиб, кручение, внешние силовые факторы, действующие на брус, по отношению к его продольной оси Z направлены строго определенным образом:

при растяжении-сжатии – по его продольной оси (рис. 8.1, а); изгибе – перпендикулярно продольной оси, но в одной из главных

плоскостей сечения (рис. 8.1, б); кручении – вокруг продольной оси (рис. 8.1, в).

Рис. 8.1

214

На практике часто имеют место случаи, когда внешние силы ориентированы по отношению к продольной оси Z бруса произвольно: параллельно продольной оси, но с эксцентриситетом b к ней (рис. 8.1, г), перпендикулярно продольной оси, но не в главной плоскости сечения (рис. 8.1, д), перпендикулярно продольной оси, но с эксцентриситетом а к ней (рис. 8.1, е). В таких случаях в поперечном сечении бруса возникает одновременно несколько внутренних силовых факторов и он находится в условиях сложного сопротивления (сложной деформации).

Вид сложного сопротивления в простых случаях загружения стержня легко установить по направлению внешних сил по отношению к его продольной оси. При сложной нагрузке вид сопротивления устанавливается после определения внутренних сил.

Для выявления внутренних сил все действующие на брус произвольно направленные внешние силы (рис. 8.2, а) должны быть разложены на составляющие по направлению координатных осей (рис. 8.2, б) и приведены к продольной оси Z по правилам механики (рис. 8.2, в). Заметим, что оси Х и Y являются главными центральными осями сечения бруса. В общем случае действия сил в сечении бруса образуются продольная сила N, изгибающие моменты Мx и Мy, крутящий момент Т = Мz и поперечная сила Q.

Рис. 8.2

По сочетанию внутренних сил могут быть следующие виды сложного сопротивления: косой изгиб (Мx, Мy), внецентренное растяже- ние-сжатие (N, Мx, Мy), изгиб с кручением (Т, Мx, Мy) и др. Поперечная сила Q при расчете на прочность при сложном сопротивлении не играет существенной роли.

215

При расчетах сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Это значит, что напряжения и перемещения от различных силовых воздействий суммируются: нормальные напряжения – алгебраически, а касательные напряжения и перемещения – геометрически.

Последовательность расчета элементов конструкций на прочность следующая: определяются опорные реакции, вычисляются значения внутренних сил, строятся их эпюры, выявляются опасное сечение и наиболее напряженная его точка, устанавливается вид напряженного состояния и с использованием теории прочности вычисляется значение наибольшего напряжения.

Перемещения в элементах конструкции при сложном сопротивлении определяются теми же методами, что и при простых сопротивлениях.

Условие прочности и жесткости при сложном сопротивлении составляется идентично простым видам сопротивлений: максимальные напряжения и перемещения не должны превышать допустимых значений.

8.1. Косой изгиб

Косой изгиб наблюдается в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки, проходящая через продольную ось бруса, не совпадает ни с одной из главных плоскостей (рис. 8.3, б), или когда она действует одновременно в двух главных плоскостях (рис. 8.3, а).

аб

Рис. 8.3

216

В поперечном сечении бруса, подвергающегося косому изгибу, возникают, как и при плоском поперечном изгибе, поперечная сила Q и изгибающий момент М, но только не в одной, а в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях. Косой изгиб есть сочетание двух плоских изгибов.

Определение внутренних сил (изгибающих моментов), построение их эпюр и нахождение напряжений при косом изгибе ведутся по тем же правилам и формулам, что и при плоском изгибе.

Нормальные напряжения при косом изгибе в любой точке поперечного сечения определяются по формуле

Mx y M y x,

Jx Jy

где Мх, Му – изгибающие моменты в главных плоскостях исследуемого сечения;

Jх, Jу – моменты инерции сечения относительно главных центральных осей;

х, у – координаты точки, в которой определяется напряжение. Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от расположения рассматриваемой точки в растянутой (+σ) или сжатой (–σ) зоне сечения. Характер деформации зоны устанавливается по на-

правлению изгибающих моментов Мх и Му в данном сечении.

На рис. 8.4, а показаны эпюры нормальных напряжений в двух главных плоскостях сечения (σМх и σМу) и результирующая (эпюра σ).

Заметим, что изгибающий момент Мх растягивает часть сечения, расположеннуювышеосиХ, анижнюючастьсжимает(см. эпюру σМх). Изгибающий момент Му растягивает часть сечения, расположенную справа от оси Y, а левую часть сжимает (см. эпюру σМу).

При сложной нагрузке характер деформации зоны сечения удобнее определять по эпюрам изгибающих моментов (см. примеры).

Нормальные напряжения при косом изгибе распределяются в поперечном сечении по линейному закону, но неравномерно (как и при плоском изгибе). Наибольшие напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (н.о.). На рис. 8.4, а это точка K.

217

а

б

Рис. 8.4

При косом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения и делит его на две зоны: растянутая и сжатая зона.

На нейтральной оси волокна не деформируются, а следовательно, нормальные напряжения в этой области равны нулю.

Положение нейтральной оси определяется по формуле

где φ0 – угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси Х. В приведенной формуле следует учитывать знаки изгибающих моментов. Положительное значение угла φ0 отсчитывается от оси Х

против хода часовой стрелки, отрицательное – по ходу. Максимальные нормальные напряжения действуют по контуру

сечения бруса, где касательные напряжения равны нулю. Следовательно, в названных точках имеет место линейное напряженное состояние и условие прочности используется в виде σmах ≤ R.

218

В развернутом виде условие прочности при косом изгибе для любой формы сечения в наиболее напряженной (опасной) точке имеет вид

max Mx ymax M y xmax R,

Jx Jy

где хmax, уmax – координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной оси;

R – расчетное сопротивление материала стержня.

Для бруса из хрупкого материала следует проверять прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

При сложной нагрузке, когда изгибающие моменты изменяются по длине бруса по различным законам, в поисках опасного сечения приходится проверять несколько сечений, где оба изгибающих момента достигают возможно больших значений (см. примеры).

Для поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие (незакругленные) углы (прямоугольник, двутавр, швеллер и подобные другие), условие прочности можно представить в виде

max Mx M y R, (8.2)

Wx Wy

где Wх, Wу – моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей.

При подборе размеров сечения условие прочности целесообразно использовать в виде

где Мdes = Мx + kМy – приведенный (расчетный) момент; k – коэффициент, равный отношению Wх / Wу .

Для прямоугольного сечения k = h/b, среднее значение для прокатного двутавра k = 8, для швеллера k = 7.

Наибольшее значение расчетного момента Мdes определяется путем пробных вычислений в нескольких сечениях бруса.

219