Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

В настоящем примере на грузовой эпюре М – один расчетный участок, на единичной (ломаная прямая) – два. Площадь ω берут с каждого участка единичной эпюры, а ординаты у – с грузовой, расчленив ее, как показано на рис. 6.10, б.

Значения площадей и ординат:

1 2 1,252 2,5 1,563 м;

y1 25,795 3,333 17,19 м (из подобных треугольников);

y1 5,4895 1,667 1,83 м;

y2 8,598 м; y2 3,659 м.

Перемножив эпюры, получим

EJx K 1( y1 y1) 2 ( y2 y2 )

1,563 (17,19 1,83) 1,563 (8,598 3,659) 31,73 кН м3,

откуда прогиб

Знак «минус» при означает, что прогиб происходит в направле-

нии, противоположном единичной силе F = 1, т. е. вверх (рис. 6.8, д). Ось изогнутой неразрезной балки (эпюра прогибов) изображена

на рис. 6.8, д.

Обратите внимание на точки перегиба на эпюре и проследите согласование расположения ординат эпюры М с выпуклостью балки.

200

7.АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

ВТОЧКЕ

Вразделе «Введение» было определено, что материал конструкции может находиться в линейном, плоском или объемном напряженном состоянии, в зависимости от того, испытывает ли выделенный вокруг точки элементарный параллелепипед растяжение или сжатие соответственно в одном, двух или трех взаимно перпендикулярных направлениях. В этом разделе рассматриваются линейное

иплоское напряженные состояния. Объемное напряженное состояние рассматривается в курсе «Теория упругости».

Анализ напряженного состояния в точке деформированного тела сводится к определению напряжений в наклонных площадках при известных главных напряжениях (прямая задача) и определению главных напряжений по известным неглавным напряжениям (обратная задача).

Значения главных напряжений используются при проверке прочностиэлементовконструкций по соответствующимтеориямпрочности.

Нормальные и касательные напряжения на площадках элемента определяются по формулам сопротивления материалов, а также методами теории упругости. Эти напряжения могут быть получены и опытным путем посредством электротензометрии.

Установим правило знаков для напряжений. Растягивающее нормальное напряжение будем считать положительным, сжимающее – отрицательным. Касательное напряжение будет положительным, если оно стремится повернуть бесконечно малый элемент конструкции по ходу часовой стрелки, и наоборот (рис. 7.1).

Рис. 7.1

201

7.1. Линейное напряженное состояние

Этот вид напряженного состояния имеет место в материале элементов конструкций, подвергающихся растяжению-сжатию, в некоторых точках сечений изгибаемых элементов и других видах деформаций (сопротивлений).

При линейном (одноосном) напряженном состоянии по исходным граням элемента действуют только нормальные напряжения и только в одном направлении (по одной оси): σ1 — при растяжении (рис. 7.2, а) или σ3 — при сжатии (рис. 7.2, б). Касательные напряжения по этим граням отсутствуют.

Рис. 7.2

В наклонных площадках (сечениях), образующих новый элемент внутри исходного, действуют как нормальные, так и касательные напряжения (рис. 7.3, а).

а

б

Рис. 7.3

202

Угол α, отсчитываемый от направления главного напряжения к нормали P в наклонной площадке против хода часовой стрелки, считается положительным (рис. 7.3, б).

При решении прямой задачи, т. е. при определении нормальных и касательных напряжений в наклонных площадках, используются следующие формулы:

Здесь σ1 = σα + σβ = const – нормальное напряжение в поперечном сечении стержня. Из формул (7.1) и (7.2) следует, что τα = –τβ.

Проведем анализ напряжений в элементе при линейном напряженном состоянии:

Очевидно, что максимальные нормальные напряжения появляются при = 0, т. е. в поперечном сечении стержня. Максимальные касательные напряжения появляются в наклонном под углом 45 сечении и равны половине нормального напряжения.

Пример 7 . 1

На элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности некоторой точки деформированного стержня, действует нормальное напряжение σx = 200 МПа (рис. 7.4).

Определить значения нормальных и касательных напряжений по площадкам под углом α = 30 и β = 120 к исходной грани, а также значение наибольшего касательного напряжения.

203

Пример 7 . 2

Как велики должны быть нормальные напряжения, действующие по граням параллелепипеда (рис. 7.5) в направлении оси X, чтобы в

наклонной площадке под углом α = 60 нормальное напряжение было сжимающим и не превышало 30 МПа? Касательное напряжение не должно превышать 40 МПа.

Рис. 7.5

Решение

Рассматриваемый параллелепипед находится в условиях линейного напряженного состояния. Для того чтобы в наклонной площадке появилось сжимающее напряжение, по исходной площадке должно действовать также сжимающее напряжение: σx = σ3.

По формулам (7.1), исходя из требования по σ и по τ при α = 60 :

Принимаем σx = σ3 = – 92,4 МПа.

205

Пример 7 . 3

Элементарный параллелепипед находится в условиях линейного напряженного состояния. При условии σ1 = R = 210 МПа определить положение наклонной площадки, в которой нормальное напряжение будет равно 0,8R.

Решение

Напряжение на наклонной площадке

0,8R 0,8 210 168 МПа.

Из формулы (7.1)

cos2 168 0,8 ,1 210

откуда cosα 0,894 , угол α = 26,6 .

7.2. Плоское напряженное состояние

Этот вид напряженного состояния имеет место в материале элементов конструкций, подвергающихся изгибу, в трубах с внутренним давлением, при изгибе с кручением и других видах деформаций (сопротивлений).

При плоском (двухосном) напряженном состоянии в элементе, выделенном в окрестности исследуемой точки, по двум взаимно перпендикулярным направлениям: σ1 и σ2 или σ1 и σ3, или σ2 и σ3 (рис. 7.6), действуют два главных отличных от нуля напряжения.

Рис. 7.6

206

Решение прямой задачи — определение напряжений по наклонным площадкам при известных главных напряжениях, действующих по исходным граням (рис. 7.7), производится по формулам

Рис. 7.7

Таким образом, , т. е. по двум взаимно перпендикулярным

площадкам всегда действуют равные по величине касательные напряжения, направленные так, что поворачивают элемент в противопо-

ложные направления — закон парности касательных напряжений.

При любых значениях угла α

1 2 .

Наибольшие нормальные напряжения в случае плоского напряженного состояния

1 при α = 0,

207

а наибольшие касательные напряжения

1 2 при α = 45 . (7.5)

Угол α отсчитывается от большего главного напряжения против ходачасовойстрелкиприположительномегозначении(см. рис. 7.3, б).

Для определения значений главных напряжений, максимальных касательных напряжений, а также положения главных площадок (обратная задача) используются формулы

Рис. 7.8

208

Плоское напряженное состояние, при котором σ1 = –σ3, называют чистым сдвигом. В этом случае по площадкам под углом α = 45 нормальные напряжения равны нулю, а касательные равны главным

(рис. 7.9).

Рис. 7.9

Пример 7 . 4

По исходным граням параллелепипеда действуют нормальные напряжения, как показано на рис. 7.10, а.

Рис. 7.10

209