Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Знак «минус» при Х1 означает, что направление изгибающего момента на опоре В противоположно предполагаемому.

Таким образом, определением изгибающего момента на опоре В балки M B X1 13,06 кН·м заканчивается раскрытие ее статиче-

ской неопределимости.

Для построения эпюр Q и М нужно рассматривать отдельно балку каждого пролета, нагруженную заданной нагрузкой и найденным опорным моментом (рис. 6.5, г).

Построив эпюры Q и М, можно убедиться, что они совпадают с показанными на рис. 6.4, б, в.

Для определения прогибов по способу Верещагина в заданном сечении D основной системы следует приложить единичную силу

F 1 (рис. 6.6, б), построить от нее единичную эпюру M и перемножить эту эпюру с окончательной эпюрой изгибающих моментов М в этом пролете балки (рис. 6.6, а).

а

б

Рис. 6.6

При разделении сложной эпюры М на простые фигуры следует иметь в виду, что единичная сила F 1 разделила пролет балки на

190

два расчетных участка и на каждом из них выделяются парабола и два треугольника (см. рис. 6.6, а).

Площади фигур

1 12 13,06 2,5 16,33 кН·м2;

2 5 23 hl 23 6 2,58 2 2,5 7,81 кН·м2;

3 4 12 8,73 2,5 10,91 кН·м2;

6 12 7 2,5 8,75 кН·м2.

Ординаты у

y1 y6 12 2,53 0,417 м; y3 y4 12 23 2,5 0,833 м; y2 y5 12 2,52 0,625 м.

Заметим, что обе параболы (ω2 и ω5) лежат ниже оси эпюры М. Это станет очевидным, если представить эпюру М только от распределенной нагрузки q.

Прогиб в сечении D:

EJx D 1 y1 2 y2 3 y3 4 y4 5 y5 6 y6

16,33 0,417 7,81 0,625 10,91 0,833 10,91 0,833

7,81 0,625 8,75 0, 417 17, 48 кН м3.

191

Знак «плюс» при D означает, что прогиб происходит в направ-

лении единичной силы F 1, т. е. вниз.

Таким образом, результаты расчета двухпролетной балки методом начальных параметров и методом сил совпадают.

Анализируя трудоемкость расчета, можно сделать вывод, что для балки один раз статически неопределимой оба метода примерно равноценны. При большей степени статической неопределимости метод сил эффективнее.

Заметим, что при сложной нагрузке (особенно распределенной q) вычисление прогибов по способу Верещагина может оказаться сложнее, чем по методу начальных параметров.

Пример 6.3

Для многопролетной балки (рис. 6.7, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, если R = 210 МПа.

Определить прогиб посередине ненагруженного пролета, изобразить ось изогнутой балки.

Решение

Рассматриваемая балка состоит из трех пролетов и проходит не прерываясь над двумя промежуточными опорами, т. е. является неразрезной и дважды статически неопределимой (по числу промежуточных опор). Для ее решения воспользуемся методом сил.

Основную систему получим путем постановки шарниров на промежуточных опорах В и С (рис. 6.7, б). Обозначив неизвестные изгибающие моменты на этих опорах через Х1 и Х2, запишем систему канонических уравнений по выражению (6.1):

11X1 12 X2 1F 0;21X1 22 X2 2F 0.

Загрузив основную систему заданной нагрузкой (рис. 6.7, б), вычислив опорные реакции и значения М в характерных сечениях, построим грузовую эпюру изгибающих моментов МF для каждого пролета балки (рис. 6.7, в).

192

а

б

в

г

Рис. 6.7

Затем нагружаем основную систему единичными опорными моментами X1 1 на опоре В и X2 1 – на опоре С. Для каждого

193

пролета основной системы определяем опорные реакции и строим

единичные эпюры M (рис. 6.7, г, д).

Грузовая эпюра МF расчленяется на простые фигуры ω1–ω6, и отмечаются их центры тяжести (см. рис. 6.7, в). На единичных эпюрах

M под центрами тяжести ω1–ω6 вычисляются значения ординат у1– у6 (см. рис. 6.7, г, д). Отмечаются также центры тяжести единичных эпюр ω7–ω10 и ординаты у7–у10 в их расположении.

Вычисляем значения площадей фигур, составляющих эпюры МF и M :

1 182 6 54 кН·м2;

2 23 hl 23 54 6 216 кН·м2;

3 4 6,252 2 6,25 кН·м2;

5 7,52 2 7,5 кН·м2;

6 7,5 1,5 5,63 кН·м2; 2

7 126 3,0 кН·м2;

8 9 125 2,5 кН·м2;

10 124 2,0 кН·м2.

194

Вычисляем значения ординат у на единичных эпюрах:

y1 16 13 6 13 м;

y2 16 12 6 12 м;

y4 14 32 2 13 м;

y5 14 13 2 16 м;

y6 0 м;

y7 16 23 6 23 м;

y8 15 23 5 23 м;

y8 15 13 5 13 м;

y9 15 32 5 23 м;

y9 15 13 5 13 м;

y10 14 23 4 23 м.

195

Перемножив единичные эпюры (сами на себя и между собой), получим значения коэффициентов канонических уравнений:

Перемножив грузовые эпюры на единичные, получим значения свободных членов канонических уравнений:

2F EJ1 x ( 3 y3 4 y4 5 y5 6 y6 )

E1Jx (6,25 23 6,25 13 7,5 16 5,63 0) EJ5 x .

Сучетом значений коэффициентов и свободных членов канонические уравнения примут вид

Решив систему уравнений (6.10), получим значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки:

Х1 = М1 = –25,79 кН·м, Х2 = М2 = 5,489 кН·м.

Решая задачи самостоятельно, не забудьте проверить правильность решения системы уравнений (6.10).

196

Заметим и учтем, что направление опорного момента М1 противоположно направлению X1 (знак «минус»), а направления М2

и X2 совпадают.

Определением значений М1 и М2 заканчивается раскрытие статической неопределимости балки.

Окончательные эпюры Q и М построим, рассматривая отдельно каждый пролет неразрезной балки как самостоятельную балку, нагруженную заданной нагрузкой и найденными опорными моментами (рис. 6.8, а). Сначала определяются опорные реакции, а затем значения Q и М в характерных сечениях.

а

б

в

г

д

Рис. 6.8

197

Эпюры Q и М для рассмотренной неразрезной балки показаны на рис. 6.8, б, в.

Для проверки правильности выполнения расчетов надо перемножить окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные. Решение будет верным, если результат перемножения будет равен нулю.

Ограничимся перемножением окончательной эпюры М на единичнуюM1 (рис. 6.9, а, б):

0,01 0 решение верно.

EJ X

а

б

Рис. 6.9

198

Определим номер двутавра. Из окончательной эпюры М следует,

что Мmax = 32,19 кН·м.

Требуемый момент сопротивления сечения

Принимаем двутавр№20, длякоторогоWх = 184 см3, Jx = 1840 см4. Для определения прогиба посередине пролета ВС (сечение K)

следует в названном сечении основной системы приложить единичную силу F 1 и построить единичную эпюру M (рис. 6.10, а).

а

б

Рис. 6.10

Напомним, что:

–единичная эпюра всегда прямолинейна;

–площадь ω берется обязательно с криволинейной эпюры;

–если обе эпюры (грузовая и единичная) прямолинейны, без перелома, площадь ω можно взять от любой из них;

–если одна из эпюр изображается ломаной линией, она разбивается на ряд участков и площадь ω берется именно с этой эпюры.

199