Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Максимальные напряжения определяются от нормативной нагрузки, т. е. нагрузки, установленной нормами проектирования.

Допускаемые напряжения устанавливаются по результатам испытанияматериаласучетомобщего коэффициентазапасапрочности.

По методу предельных состояний условие прочности имеет вид

σmах ≤ R или τmах ≤ Rs,

где R (Rs) – расчетные сопротивления для материала элемента. Максимальные напряжения определяются от расчетной нагруз-

ки, учитывающей возможность ее отклонения от нормативной. Расчетные сопротивления также устанавливаются по результа-

там испытания материала, но с использованием ряда частных коэффициентов, каждый из которых учитывает какой-либо один фактор, влияющий на его прочность.

Расчет по методу предельных состояний позволяет спроектировать элемент конструкций более рационально, т. е. с меньшими затратами материала.

Из условия прочности можно решить три типа задач:

1.Проверить прочность стержня, когда известны нагрузка, форма и размеры поперечного сечения и род материала.

2.Определить размеры поперечного сечения стержня, если известны нагрузка, форма поперечного сечения и род материала.

3.Определить наибольшую допустимую нагрузку на стержень, если известныформаиразмерыпоперечного сеченияи родматериала.

Для случаев сложной деформации, т. е. сложного напряженного состояния (плоского и объемного), задача составления условия прочности решается с помощью теорий прочности, каждая из которых основана на определенной гипотезе, объясняющей причину разрушения материала.

При оценке прочности материала при сложном напряженном со-

стоянии вводится понятие расчетного напряжения σdes, которое определяется по принятой теории прочности и сравнивается с тем же расчетным сопротивлением материала R, полученным испытанием материала на растяжение-сжатие:

σdes ≤ R.

10

В частном случае плоского напряженного состояния – чистом сдвиге, когда в поперечном сечении стержня возникают только касательные напряжения, условие прочности используется в виде

max Rs ,

где Rs – расчетное сопротивление материала сдвигу.

Расчет на жесткость элементов конструкции сводится к определению максимальных перемещений (линейных или угловых) δmах под действием нормативной нагрузки и сравнении ее с допустимым значением δаdm, установленным нормами проектирования.

Условие жесткости имеет вид

δmах ≤ δаdm.

Необходимо отметить, что в дисциплине «Сопротивление материалов» рассматриваются принципы расчета на прочность и жесткость, а не конкретные конструкции, поэтому в настоящем издании для упрощения все нагрузки указываются в расчетных значениях, а расчеты выполняются по методу предельных состояний. Исключение составляют расчеты на изгиб с кручением, которые выполнены по методу допускаемых напряжений.

11

1. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Элемент конструкции подвергается деформации растяжения или сжатия, когда равнодействующая внешних сил действует на него по центральной оси Z (рис. 1.1, а). Такое растяжение-сжатие называется центральным (осевым).

Рис. 1.1

Действующая на элемент конструкции система сил должна находиться в равновесии: ΣZ = 0.

При растяжении длина стержня (участка) в продольном направлении увеличивается (деформация обозначается знаком «плюс»), а при сжатии – уменьшается (знак «минус»).

1.1. Внутренние силы

При центральном растяжении-сжатии в поперечном сечении стержня возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N. Для ее определения на стержне, исходя из вида нагрузки и ее расположения, выделяются расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных сил F и в пределах распределенной нагрузки q.

12

В пределах каждого участка намечаются сечения (I, II, …, i) и отмечаютсяихположениявсистемекоординатныхосей(Z1, Z2, …, Zi).

Для определения продольной силы N используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна из частей его «отбрасывается». Поскольку весь стержень находится в равновесии, то и его рассматриваемая часть под действием известных внешних сил (F, q) и неизвестной внутренней N также должна находиться в равновесии, т. е. удовлетворять условию ΣZ = 0.

Составить выражения для определения продольной силы N можно двумя способами.

Первый способ. На схеме для каждого участка показывается отсеченная часть стержня и составляется уравнение равновесия этой части с использованием правила знаков для сил, принятое в курсе теоретической механики.

Так, длясеченияIII (рис. 1.1, б) уравнениеравновесия имеетвид

ΣZ = N3 + ql2 – F1 = 0,

откуда

N3 = –ql2 + F1.

Второй способ. На рисунке для всех участков отсеченная часть стержня не показывается.

Выражения для определения продольной силы составляются по следующему правилу: продольная сила N в сечении стержня численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

N = ΣFi.

При определении N можно рассматривать любую часть «рассеченного» стержня.

Правило знаков для сил связано с учетом характера вызываемой ими деформации стержня (растяжение или сжатие).

Если внешняя сила (F, q) направлена от рассматриваемого сечения стержня (стремится растянуть его рассматриваемую часть), то в этом сечении возникает положительная продольная сила (+N),

13

и если направлена к сечению (стремится сжать), то в сечении возникает отрицательная продольная сила (–N).

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Полученный в результате вычислений знак при N укажет на характер деформации участка стержня от суммарного действия сил: «плюс» означает, что участок стержня растянут, «минус» – что участок сжат. Так, для сечения III (см. рис. 1.2, б) выражение для продольной силы будет

N3 = –ql2 + F1 (сила q направлена к сечению, сила F1 – от сечения).

Второй прием составления выражений для N сокращает объем вычислений и является общим для всех видов сопротивлений.

По вычисленным на участках стержня значениям N строится эпюра продольных сил (см. примеры).

1.2. Напряжения. Условие прочности

При деформации растяжения или сжатия в сечениях стержня возникают нормальные напряжения σ.

Продольная сила N связана с нормальным напряжением σ зависимостью

где N – продольная сила в сечении стержня; А – площадь поперечного сечения стержня.

14

При вычислении нормальных напряжений по длине стержня также выделяются расчетные участки. К указанным выше границам этих участков добавляются точки, где изменяются размеры поперечных сечений (см. рис. 1.1, а). По вычисленным значениям строится эпюра (см. примеры).

Нормальное напряжение σ распределяется по поперечному сечению равномерно. График, показывающий изменение напряжения по высоте сечения стержня, называется эпюрой напряжений (эп. σ),

рис. 1.1, в.

При растяжении-сжатии стержня его материал в любой точке находится в условии линейного напряженного состояния, поэтому проверка прочности ведется по максимальному нормальному напряжению (σmax) и условие прочности имеет вид

где Nmax – продольнаясилананаиболеенагруженномучасткестержня; R – расчетное сопротивление материала стержня растяжению-

сжатию.

Для пластичных материалов (сталь) расчетные сопротивления при растяжении и сжатии одинаковы, для хрупких (чугун, бетон) – разные.

1.3. Деформации. Условие жесткости

Возникновение продольной силы N в сечении стержня сопровождается его продольной деформацией : удлинением при растяжении и укорочением при сжатии.

Абсолютная продольная деформация l от сосредоточенных сил F определяется по формуле Гука

где N – продольная сила в стержне (на участке); l – длина стержня (участка);

15

Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга) материала стержня;

А – площадь поперечного сечения стержня (участка). Абсолютная продольная деформация l от равномерно распре-

деленной нагрузки q (действующей на данном участке стержня) определяется по формуле

Абсолютная продольная деформация l от собственного веса стержня определяется по формуле

l l2 , 2E

где γ – вес единицы объема материала стержня.

Вычислив деформации на участках стержня, можно найти перемещения его характерных сечений и построить эпюру перемещений (см. примеры).

Относительная продольная деформация ε стержня (или его участка) определяется по формуле

где l – абсолютная продольная деформация стержня (участка); l – длина стержня (участка).

Условие жесткости при растяжении-сжатии имеет вид

max ll adm ,

где εadm – предельно допустимая относительная продольная деформация.

Закон Гука при растяжении-сжатии (из формулы (1.3)), выражающий зависимость между напряжением и деформацией, имеет вид

E .

16

Модуль продольной упругости Е характеризует способность материала сопротивляться деформациям растяжения-сжатия в зависимости от его свойств.

1.4. Статически определимые системы

Статически определимыми являются системы, усилия в элементах которых можно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия (статики).

Для плоской системы сил их три:

ΣX = 0; ΣY = 0; ΣM = 0.

П р и м е р 1.1

Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения нагружена системой расчетных сил F (рис. 1.3, а).

Проверить прочность и жесткость полосы.

Для стали: расчетное сопротивление R = 210 МПа, модуль продольной упругости E = 200 ГПа, допустимая относительная продольная деформация εadm = 1,05·10–3.

Р е ш е н и е

Нагрузка F, действующая по продольной оси полосы, вызывает в ней деформацию растяжения-сжатия.

Проверим, выполняется ли условие равновесия элемента конструкции:

ΣZ = F1 – F2 + F3 = 50 – 215 + 165 = 0 – выполняется.

На рассматриваемой полосе выделяются три расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I–III. Длинам участков l придается индекс номера участка.

Для определения продольных сил N на участках элемента воспользуемся первым приемом. Для этого нужно составить расчетные схемы для всех «отсеченных» участков элемента, начиная, например, с левого конца (рис. 1.3, б), и записатьдля нихусловия равновесия.

17

Рекомендуется искомые продольные силы N направлять от рассматриваемого сечения, т. е. считать положительными.

Участок I:

0 z1 0,6 м, ΣZ = N1 + F1 = 0,

откуда

N1 = –F1 = –50 кН(сжатие).

Участок II:

0,6 z2 1,05 м, ΣZ = N2 + F1 = 0,

откуда

N2 = –F1 = –50 кН(сжатие).

УчастокIII:

1,05 z3 1,8 м, ΣZ = N3 + F1 – F2 = 0,

откуда

N3 = –F1 + F2 = –50 + 215 = 165 кН (растяжение).

По полученным значениям N в выбранном масштабе строится эпюра продольных сил – эпюра N (рис. 1.3, в). Положительные значенияN откладываютсявверхотлинииэпюры, аотрицательные– вниз.

Заметим, что в пределах расчетных участков N = const. В сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре N имеется «скачок» на величину этой силы (165 + 50 = 215 кН). Из эпюры N следует, что наиболее нагруженным является третий участок: N3 = Nmax.

Нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях на расчетных участках элемента, определяются по формуле (1.1).

Сечение I:

Сечение II:

Сечение III:

19