Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Заметим, что на промежуточной опоре В угол поворота одинаковый как для левого примыкающего сечения, так и для правого, т. е. выполняется условие совместности перемещений, заложенное в канонические уравнения.

Расчет статически неопределимых балок на прочность и жесткость ведется так же, как и статически определимых.

Пример 6.1

Для балки (рис. 6.3, а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить прогиб посередине пролета. Изобразить ось изогнутой балки.

а

б

в

г

Рис. 6.3

Жесткость сечения балки EJx.

180

Решение

На левой опоре балки – защемлении (заделке) – возникнут три реакции Аy, Аz, МA, на правой – шарнирно-подвижной – одна, Вy. Всего– четыререакции. Уравненийравновесияможно составить толь-

ко три ( Y 0, Z 0, M 0 ). Значит, рассматриваемая балка яв-

ляется один раз статически неопределимой. Составим уравнения равновесия:

Два уравнения равновесия содержат три неизвестные величины. Непосредственное решение уравнений невозможно.

Необходимо составить одно дополнительное уравнение, исходя из условий деформации на опорах балки: на опоре А угол поворота

сечения A = 0, прогиб A = 0; на опоре В прогиб B = 0.

Используем условие на опоре В и составим выражение для определения прогиба B по методу начальных параметров:

Учтем, что на опоре А A = 0 и A = 0. Следовательно, начальные параметры уравнения прогибов 0 = 0 и 0 = 0.

Тогда

Решив совместно уравнения (6.3) и (6.4), получим

(направление противоположно изображенному на рис. 6.3, а).

181

Реакцию Вy целесообразно определить из уравнения ∑MA = 0:

После раскрытия статической неопределимости дальнейший расчет балки ведется как и для статически определимой.

Эпюры Q и М показаны на рис. 6.3, б и в.

Выражение для определения прогиба посередине пролета балки

(z = l/2)

откуда прогиб

0,0052ql4 .

EJx

Ось изогнутой балки (эпюра прогибов) изображена на рис. 6.3, г. Напомним, что эпюра прогибов в точке, где М = 0, имеет перегиб.

Пример 6.2

Для двухпролетной балки (рис. 6.4, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, определить прогиб в сечении D, изобразить ось изогнутой балки.

Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

182

а

б

в

г

Рис. 6.4

Решение

Неизвестных опорных реакций четыре: АZ, АY, ВY, СY. Независимых уравнений равновесия три:

∑Z = 0, ∑Y = 0, ∑M = 0.

Следовательно, балка один раз статически неопределима. Уравнения равновесия

183

Независимое уравнение ∑M = 0 можно составить только одно относительно любой точки балки. В примере рационально использовать точку С:

Раскрытие статической неопределимости проведем двумя методами: с использованием метода начальных параметров и метода сил.

1. Расчет по методу начальных параметров.

Составим дополнительное уравнение, исходя из деформативных условий на опорах балки: B = 0, C = 0.

Напомним, что начало координатных осей помещается в крайнем левом сечении балки – сечении А.

Составим выражения для названных прогибов. При z = 6 м

Начальный параметр 0 = 0, так как прогиб на опоре А A = 0. Решая совместно уравнения (6.7) и (6.8), после исключения EJx 0 ,

получим

Из совместного решения уравнений (6.6) и (6.9) найдем, что

Аy = 2,82 кН, Вy = 23,39 кН.

184

Осталась неизвестной реакция СY. Для ее определения нужно составить уравнение ∑M = 0 относительно точки А или В:

∑MА = 10·3 + 6·5·8,5 + 7 – 23,39·6 – Сy 11 = 0,

откуда СY = 13,79 кН.

Контроль правильности определения реакций выполним по урав-

нению (6.5):

∑Y = 2,82 + 23,39 + 13,79 – 10 – 6 5 = 40,0 – 40,0 = 0 – раскрытие статической неопределимости выполнено верно.

Дальнейший расчет балки обычный. Ординаты эпюры М в характерных сечениях:

сечение А: М = 0; сечение K:

М = 2,82·3 = 8,46 кН·м;

сечение В:

М = 2,82·6 – 10·3 = –13,08 кН·м;

сечение С:

М = –7 кН·м;

сечение D:

М = –7 – 6·2,5 2,52 13,79 2,5 8,73 кН·м.

При z = 2,3 м (ход справа)

М = –7 – 6 2,32 2 13,79 2,3 8,85 кН·м.

Эпюры Q и М показаны на рис. 6.4, б, в. Из эпюры М следует, что Мmax = 13,08 кН·м.

185

Требуемый момент сопротивления для подбора номера двутавра

Принимаем двутавр № 14 с Wx = 81,7 см3, Jx = 572 см4.

Для определения прогибов в сечениях балки составим соответствующее выражение (по методу начальных параметров), учтя, что

0 = 0:

Ось изогнутой балки изображена на рис. 6.4, г.

Напомним, что очертание эпюры прогибов необходимо согласовывать с эпюрой М: ординаты М должны находиться на выпуклой стороне балки. В сечениях, где М = 0, на эпюре прогибов находятся точки перегиба.

186

2. Расчет по методу сил.

Необходимую для расчета основную систему получим путем постановки шарнира на промежуточной опоре В (рис. 6.5, а).

а

б

в

г

Рис. 6.5

Образуются две статически определимые балки, связанные между собой шарниром В (на рис. 6.5, а для удобства пояснения балки раздвинуты).

Обозначим неизвестный опорный момент через Х1 и для его определения запишем каноническое уравнение метода сил (6.1):

X1 11 1F 0 .

187

Параметры уравнения определим по способу Верещагина. Сначала загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем опорные реакции и обычным способом строим эпюры изгибающих моментов МF (грузовые эпюры) для каждого пролета (рис. 6.5, б).

Затем нагружаем основную систему единичным опорным моментом X1 1 , определяем опорные реакции и строим эпюру изги-

бающих моментов M (единичную эпюру) также для каждого про-

лета (рис. 6.5, в).

Грузовая эпюра МF расчленяется на простые фигуры 1 4 , и от-

мечаются их центры тяжести. На единичных эпюрах M под центром тяжести простых фигур вычисляются значения ординат у1–у4

и отмечаются собственные центры тяжести 5 , 6 .

Вычислим сначала значения всех площадей ω (треугольники и парабола) и ординат у.

Площади:

1 2 152 3 22,5 кН м2 ;

5 126 3 м;

6 125 2,5 м.

Ординаты:

y1 16 23 3 13 м;

188

y3 15 12 5 12 м;

y4 15 13 5 13 м;

y6 15 23 5 23 м.

Напомним, что yi Aу Cу zi .

Приступаемкопределению параметровуравненияметодасил(6.5).

Умножив единичную эпюру M саму на себя, получим значение коэффициента уравнения:

Умножив грузовую эпюру МF на единичную M , получим значение свободного члена уравнения:

площадь ω и ордината у лежат по одну сторону от оси эпюры, отрицательным – если по разные (в примере 4 и у4 лежат по разные

стороны оси).

Полученные значения подставим в каноническое уравнение:

189