Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

а

б

в

г

Рис. 5.25

Рассматриваемая балка имеет четыре расчетных участка. Уравнение прогибов оси балки

EJx 0 EJx 0z 2z3 I 2,917(z 1)3 II 5(z 3)2 III 0,92(z 5)3 IV .

Вданном случае, когда начало координат расположено на свободном конце балки, ни один из начальных параметров не равен

160

нулю. Значения их определим, исходя из деформативных условий на шарнирных опорах А и В, где вертикальные перемещения (прогибы) равны нулю: А = 0, B = 0.

Запишем уравнения прогибов для названных сечений. Сечение А (z = 1 м, участок 1)

EJx EJx 0 EJx 0 1 2 13 0.

Сечение В (z = 5 м, участок 3)

EJx EJx 0 EJx 0 5 2 53 + 2,917·43 – 5 22 = 0

или

EJx EJx 0 EJx 0 5 83,3 0.

Прогиб посередине пролета балки (z = 3 м, участок 2)

EJx max 18,33 20,33 3 2 33 2,917 23 12,0 кН м3.

Требуемый момент инерции сечения для пролетной части балки

Ix 12,0 .

E max

Примем max adm .

Тогда из заданного условия жесткости

adm l 2001 400 2001 2,0 см,

где l – длина пролета (расстояние между опорами). Для сечения из двух швеллеров

161

На один швеллер момент инерции составит

Jx' 3002 150 см4.

По таблицам сортамента принимаем два швеллера № 10, для ко-

По полученным значениям прогибов строится соответствующая эпюра (рис. 5.25, г).

Проследите соответствие эпюры прогибов эпюре изгибающих моментов.

Правая консоль балки (участок ВД) не нагружена и, следовательно, не деформируется. Ось ее остается прямой, но все сечения перемещаются засчетдеформацийостальной части балки.

В завершение примера вычислим значения наибольшего нормального напряжения в балке:

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена, но материал ее недонапряжен на 18 %. Это обусловлено тем, что условие жесткости более «требовательно».

5.3.2. Метод Мора и Верещагина

Формула (интеграл) Мора, позволяющая определить перемещения в любом отдельном сечении балки, имеет вид

162

где ∆ – перемещение (угловое, линейное) в исследуемом сечении; M F – выражение изгибающих моментов от заданной нагрузки;

_

M – выражение изгибающих моментов от вспомогательной единичной силы;

EJx – жесткость сечения балки.

На рис. 5.26, а показана заданная балка, у которой нужно определить угол поворота и прогиб концевого сечения.

На рис. 5.26, б, в показаны вспомогательные состояния той же балки.

а

б

в

Рис. 5.26

При определении прогиба в искомом сечении прикладывается единичная сила F = 1, а при определении угла поворота – единичный момент М = 1.

Составляются выражения для M F и M и по формуле (5.11)

определяется искомое перемещение.

Если балка имеет сложную нагрузку и много участков нагружения, непосредственное интегрирование выражений изгибающих моментов трудоемко.

163

Вместо непосредственного вычисления интеграла Мора можно воспользоваться способом Верещагина – это графоаналитический прием решения интеграла перемещений, основанный на перемножении эпюр.

По способу Верещагина перемещение ∆ (угол поворота сечения или прогиб) в любом сечении балки определяется по формуле

где i – площадь эпюры изгибающих моментов от заданной на-

грузки (силовая площадь);

yi – ордината эпюры изгибающих моментов от единичной си-

лы, лежащая против центра тяжести эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки.

Определяются (рис. 5.27) прогиб в сечении n и угол поворота в сечении m.

а

б

в

Рис. 5.27

164

На рис. 5.27, а изображена эпюра изгибающих моментов M F от заданной нагрузки.

На рис. 5.27, б – единичная эпюра M от вспомогательной единичной силы F = 1 (для определения прогиба ), а на рис. 5.27, в –

единичная эпюра M от вспомогательного единичного момента М = 1 (для определения угла поворота ).

Эпюра M F , которая может быть любой формы, в пределах рас-

четных участков разделяется на простые фигуры, площади и центры тяжести которых можно легко определить.

По формуле (5.12) прогиб в сечении n

n i yi 1 y1 2 y2 3 y3 ,

EJx EJx

угол поворота в сечении m

m 2 y2 3 y3 ,

EJx

где ω – площади простых фигур на одной из эпюр изгибающих моментов;

у, у׳ – ординаты под центром тяжести этих фигур на другой эпюре.

Эпюры изгибающих моментов от единичных сил всегда прямолинейны.

Если в пределах расчетного участка обе эпюры ( M F и M ) пря-

молинейны, то можно брать площадь ω любой из них. Если эпюра M F криволинейна, то площадь ω берется обязательно с этой эпюры.

Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения (θ, ) совпадает с направлением единичной силы (или момента); если результат отрицательный – перемещение происходит в обратном направлении вектора единичной силы.

В табл. 5.1 приведены выражения для определения площадей некоторых простых фигур и положение их центра тяжести.

165

Таблица 5.1

Параболические эпюры, приведенные в табл. 5.1, получены от действия только распределенной нагрузки q.

В тех случаях, когда в сложной эпюре M F криволинейные уча-

стки получены от одновременного действия q, F, M, их (участки) надо разделить на простые фигуры (см. примеры).

Пример 5.15

Определить угол поворота и прогиб сечения В консольной балки (в долях от жесткости сечения EJx ), рис. 5.28.

Решение

Эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки (грузовая эпюра M F ) показананарис. 5.28, а.

Для определения прогиба в сечении В к свободной от заданной нагрузки балке (вспомогательное состояние) в названном сечении прикладывается вспомогательная единичная сосредоточенная сила (F = 1) и строится эпюра изгибающих моментов – единичная эпю-

ра M (рис. 5.28, б). Единичная сила направляется произвольно, т. е. в положительном или отрицательном направлении оси Y.

166

а

б

в

г

Рис. 5.28

167

Аналогичная операция производится для определения угла поворота сечения. Только в качестве вспомогательной единичной силы выступает единичный вспомогательный момент (М = 1), направляемый произвольно относительно оси Х. Эпюра от единичного

момента M показана на рис. 5.28, в.

На рис. 5.28, б и в схема балки и единичные эпюры совмещены. Заметим, что балка имеет один расчетный участок как для M F ,

так для M и что единичные эпюры прямолинейны и имеют вид треугольника или прямоугольника, а грузовая – криволинейна и имеет сложное очертание.

Для определения перемещений по способу Верещагина используются эпюры изгибающих моментов (грузовые и единичные). От одних из них берутся площади эпюр (ω), из других – ординаты (y)

под центром тяжести первых. Поскольку грузовая эпюра M F имеет

криволинейное очертание, площадь ω должна браться с этой эпюры. Для проведения расчета эпюра M F сложного очертания делится

на простые фигуры: прямоугольник (от момента М) площадью

1 3 2 6 кН м2

и параболический треугольник (от нагрузки q) площадью

2 13 (11 3) 2 5,33 кН м2.

На выделенных простых фигурах отмечаются их центры тяжести

(см. табл. 5.1).

На единичных эпюрах отмечаются ординаты у, лежащие под центром тяжести составляющих частей грузовой эпюры M F . В дан-

ном примере ордината определяется как yi 1zi :

y1 1 2l 1 м;

y2 1 34 l 1 34 2 1,5 м .

168

Для определения углов поворота сечений ординаты берутся из единичной эпюры M :

у1 у2 1 .

Прогиб в сечении В по формуле (5.12):

EJx EJx B i yi 6 1 5,33 1,5 14,0 кН м3.

Все слагаемые в выражении прогибов положительны, так как площади ω и ординаты y лежат по одну сторону от оси эпюры. По-

ложительные значения EJx B означают, что прогиб происходит

в направлении единичной силы, т. е. вниз. Угол поворота сечения В

EJx EJx B i yi 1 y1 2 y2

6 1 5,33 1 11,33 кН м2.

Вполученном выражении слагаемые отрицательны, так как площади ω и ординаты у лежат по разную сторону от оси эпюры. Отрица-

тельное значение EJx B означает, что поворот сечения происходит в

направлении, противоположном направлению единичного момента, т. е. по ходу часовой стрелки (рис. 5.28, г).

Эпюра прогибов показана на рис. 5.28, г.

Таким образом, перемещения на свободном конце балки (в долях от жесткости сечения)

Пример 5.16

Определить прогиб посередине пролета двухопорной балки (в долях от EJx ), рис. 5.29.

169