Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Поскольку начало координат помещено на опоре А – защемлении, где невозможны ни линейные, ни угловые перемещения, начальные параметры 0 = 0, 0 = 0.

Уравнения перемещений оси балки примут вид

EJx = –3,24z + 1,8z2 – 0,333z3,

EJx = –1,62z2 + 0,6z3 – 0,0833z4.

Определяем перемещения в названных сечениях. При z = 0,8 м (сечение В)

EJx В = –3,24 0,8 + 1,8 0,82 – 0,333 0,83 = –1,61 кН м2,

откуда угол поворота сечения B 1,61 (направлен по ходу часо-

EJx

вой стрелки);

EJx В = –1,62 0,82 + 0,6 0,83 – 0,0833 0,84 = –0,764 кН м3,

откуда прогиб B 0,764 (направлен вниз от оси Z).

EJx

При z = 1,8 м (сечение С)

EJx С = –3,24 1,8 + 1,8 1,82 – 0,333 1,83 = –5,832 + 5,832 – 1,942 = = –1,942 кН м2,

откуда C 1,942 ;

EJx

EJx С = –1,62 1,82 + 0,6 1,83 – 0,0833 1,84 = –2,624 кН м3,

откуда прогиб C 2,624 (направлен вниз).

EJx

По вычисленным значениям можно построить эпюры углов поворота сечений и прогибов . Эпюра показана на рис. 5.22, б, гдеотмечентакжеугол С. Полностьюэпюра строитсяредко.

150

Результаты вычислений показывают, что в данном примере наибольшиеперемещенияпретерпеваетконцевоесечениебалки(сечениеС).

Эпюра изгибающих моментов Мх и эпюра прогибов связаны между собой следующей зависимостью: ординаты эпюры Мх должны лежать с выпуклой стороны изогнутой балки, где волокна ее растянуты. В строительном проектировании эпюру Мх принято строить со стороны растянутых волокон.

Пример 5.12

Для двухопорной деревянной балки прямоугольного поперечного сечения (h = 18 см, b = 14 см) построить эпюру прогибов и определить наибольший относительный прогиб, если модуль продольной упругости материала Е = 10 ГПа (рис. 5.23).

а

б

в

г

Рис. 5.23

151

Решение

Начало координатных осей помещаем в сечении А – шарнирной опоре балки.

Значения опорных реакций приведены на рис. 5.23, а, а эпюры Q

и Мх – на рис. 5.23, б и в.

Момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси

Jx bh3 14 183 6804 см4. 12 12

Балка имеет два расчетных участка. Составим уравнения оси изогнутой балки:

Вертикальными линиями отмечены границы уравнений для участков балки и область их применения.

В уравнения для первого участка вошли только те силовые факторы, которые лежат левее конца этого участка, т. е. только Ay. На втором участке добавилась нагрузка q.

Для определения начальных параметров в составленных уравнениях нужно рассмотреть условия перемещений в начале координат, т. е. на шарнирной опоре А. В шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т. е. А = 0, следовательно, 0 = 0. Угловое же переме-

щениенашарнирнойопоревозможно, т. е. А 0, значит, и 0 0.

152

Для определения параметра 0 нужно составить уравнение прогибов для сечения B, где на шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т. е. В = 0.

При z = 3 м (сечение В)

EJx B EJx 0 3 1,333 33 0,5(3 1)4 0,

откуда EJx 0 9,33 кН м2.

После определения всех начальных параметров уравнения оси изогнутой балки примут вид

Известно, что максимальный прогиб балки будет в том сечении, угол поворота которого равен нулю. Отыщем это сечение.

Уравнение углов поворота сечений: для первого участка

EJx 9,33 4z02 0,

откуда z0 1,527 м 1 (сечение за пределами участка); второго участка

EJx 9,33 4z02 2(z0 1)3 0,

откуда z0 1,555 м.

Для построения эпюры прогибов вычислим их значения для нескольких характерных сечений балки, а также вычислим углы поворота сечений А и В.

153

При z = 0 (сечение А, 1-й участок)

EJx A 9,33 кН м2 ;

EJx A 0.

При z = 1 м (сечение C, 1-й участок)

EJx С 9,33 1 1,33 13 8,0 кН м3;

При z = 1,5 м (сечение Д, 2-й участок, середина пролета)

EJx Д 9,33 1,5 1,33 1,53 0,5 0,54 9,54 кН м3;

Д 0,0140 м 1,40 см.

При z = 1,555 м (сечение, где θ = 0)

EJx max 9,543 кН м3;

max 1,41cм.

При z = 1,667 м (сечение И, где Мх max)

EJx И 9,48 кН м3;

И 1,39 см.

154

При z = 3 м (сечение B, 2-й участок)

EJx B 9,33 3 1,333 33 0,5 24 35,99 35,991

0,001 0 (контроль).

По полученным значениям построена эпюра прогибов

(рис. 5.23, г).

Выпуклость изогнутой оси балки (эпюра ) направлена в сторону ординат эпюры Мх.

Анализ полученных значений прогибов показывает, что абсолютный прогиб в середине пролета балки ( Д) и максимальный ( max) практически совпадают.

Относительный прогиб балки

maxl 1,41300 2131 .

Сечение с наибольшим прогибом max не обязательно должно совпадать с сечением, где изгибающий момент наибольший (Мх max). Это возможно лишь в частных случаях.

Пример 5.13

Для двухопорной балки с консолью (рис. 5.24), выполненной из двух стальных швеллеров, подобрать их номер и проверить жест-

Построить эпюру прогибов.

155

а

б

в

г

Рис. 5.24

Решение

Начало координатных осей помещено в сечении А.

Значения опорных реакций приведены на рис. 5.24, а (нагрузку q, показанную пунктиром, при вычислении реакций можно не учитывать).

Построим эпюры Q и M.

156

В сечении А

Q AY 30 кН , М = 0.

В сечении С

Q 8 кН, М = 0.

В сечении В

Qп 8 кН, М = 8 1 8 кН м.

Qл 8 42 34 кН.

Для сечения, в котором Q = 0, ордината

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления

Wx 28,13 103 134 см3. 210 106

По таблицам сортамента принимаем два швеллера № 14

с Wx 70,2 2 140,4 см3 и Jx 491 2 982 см4.

Рассматриваемая балка имеет два расчетных участка (участка нагружения).

Заметим, что распределенная нагрузка q не доходит до конца балки. Поэтому ее необходимо продлить по консоли до конца балки и на этом участке приложить компенсирующую нагрузку q′ = q.

157

Составим уравнения перемещений оси изогнутой балки:

онных условий на опорах балки. При z = 0 (опора А) прогиб А = 0, а значит, и 0 = 0.

При z = 4 м (опора В) прогиб B = 0.

Запишем уравнение прогибов для сечения B (первый участок, z = 4 м):

EJx B EJx 0 4 5 43 0,667 44 0,

откуда

EJx 0 37,3 кН м2.

Определим значение прогибов посредине пролета балки и на конце консоли.

При z = 2 м

158

При z = 5 м

Эпюра прогибов показана на рис. 5.24, г. При построении эпюры прогибов ее очертание согласуется с эпюрой изгибающих моментов.

Максимальный абсолютный прогиб в пролете балки достигает значения max 2,31 см, относительный прогиб

Пример 5.14

Подобрать номер прокатного швеллера для двухконсольной бал-

Построить эпюру прогибов.

Решение

Начало координат помещаем в крайнем левом сечении балки, т. е. на конце консоли (сечение О).

Значения опорных реакций и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 5.25.

159