Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Вычислим значения Q и М в характерных сечениях балки и построим их эпюры (рис. 5.15, а, б).

откуда d 3 543,1432 8,19 см, принимаем d = 8,5 см.

130

Для прямоугольного сечения

Wx bh2 b(1,4b)2 54 см3 , 6 6

откуда b = 5,49 см, h = 7,68 см.

Конструктивно принимаем h = 8 см, b = 5,5 см.

Для прокатного профиля из сортамента по Wx = 54 см3 принимаем двутавр № 12 с Wx = 58,4 см3, А = 14,7 см2.

Вычислим коэффициенты экономичности для принятых размеров сечений балки по выражению

х Wx3 .

A

Для круглого сечения

Wx 3,14 8,53 60,3 cм3; 32

A 3,14 8,52 56,7 см2 , 4

ωх = 0,141.

Для прямоугольного сечения

Wx 5,56 82 58,7 cм3;

A 5,5 8 44 см2 ,

х = 0,201.

Для двутавра Wx = 58,4 cм3, А = 14,7 см2, ωх = 1,036.

131

Из рассмотренных форм сечений балки наиболее экономичным является двутавр.

Вычислим максимальные значения нормальных и касательных напряжений для принятых размеров сечений балки.

Нормальныенапряжения(максимальнывкрайнихточкахсечений): а) круглое сечение

max M x max 11,25 103 187 МПа R 210 МПа; Wx 60,3 10 6

б) прямоугольное сечение

max 11,25 103 192 МПа R 210 МПа; 58,7 10 6

в) для двутавра

max 11,25 103 193 МПа R 210 МПа. 58,4 10 6

Касательныенапряжения(максимальнынауровненейтральнойоси): а) круглое сечение

4,40 МПа Rs 130 МПа.

132

Для круглого сечения Sx max = A m , где половина площади сече-

ния A d82 , а расстояние от центра тяжести до ее нейтральной

оси m = 0,212 d;

б) прямоугольное сечение

Sx max b h2 h4 5,5 8,02 8,04 44 см3;

6,38 МПа Rs 130 МПа;

в) для двутавра № 12 Jx = 350 см4, Sx max = 33,7 см3, d = 4,8 мм (толщина стенки)

b= d;

Qy max Sx max 18,75 103 33,7 10 6 max 4,8 10 3 350 10 8bJx

37,61 МПа Rs 130 МПа.

По полученным значениям и для двутавра построены соответствующие эпюры (рис. 5.15, в) с учетом того, что на нейтральной

оси сечения = 0, а в крайних точках сечения = 0.

Проанализировав значения max для рассмотренных форм сечений (а это наиболее распространенные), заметим: если размеры сечений определены из условия прочности по нормальным напряжениям, то максимальные касательные напряжения значительно меньше не достигают предельно допустимых значений.

133

Пример 5.8

Расположив сечение чугунной балки (рис. 5.16) рационально по отношению к нагрузке, определить ее наибольшее допустимое значение, если расчетное сопротивление на растяжение Rt = 50 МПа,

а сопротивление на сжатие Rc 140 МПа. Построить эпюры и .

а

б

в

Рис. 5.16

Решение

Для вычисления значений Q и М будем намечать сечения, начиная с правого (свободного) конца балки (ход справа). При этом не требуется определять реакции в опоре балки. Составим выражения для Q = f (F), M = f (F).

134

Сечение С:

Q = F, M = 0.

Сечение В:

Qп = F, Qл = F – 3F = –2F, M = –0,8F.

Сечение А:

Q = F – 3F = –2F,

M = –1,5F + 3F 0,7 = 0,6F.

Определим геометрические характеристики сечения балки. Разделим сложное сечение на два прямоугольника.

Положение центра тяжести сечения

где m1 = 13,5 – y0 = 13,5 – 9,21 = 4,29 см; m2 = 6,0 – y0 = 6,0 – 9,21 = – 3,21 см.

Статический момент части сечения, расположенной ниже нейтральной оси:

Sx(О) = 3 9,21 9,21/2 = 127 см3.

Статический момент части сечения, расположенной выше места соединенияполкиистенки, относительно нейтральнойоси(точкаП):

Sx(П) = 9 3 4,29 = 116 см3.

135

Наибольшую допустимую нагрузку на балку определим из условия прочности по нормальным напряжениям (5.3), учитывая разные значения расчетного сопротивления.

Опасным является сечение В, где Мx max = 0,8 F. В этом сечении верхние от нейтральной оси волокна растянуты (так как ординаты эпюры М лежат сверху), а нижние – сжаты.

Поскольку хрупкий материал балки лучше работает на сжатие, чем на растяжение, сечение нужно расположить так, чтобы в точке K были сжимающие напряжения, а в точке D, где сечение шире, – растягивающее. Это положение 1.

Рассматриваем принятое положение сечения (полкой вверх). Из формулы (5.3) наибольший изгибающий момент:

по растягивающим напряжениям

Чтобы обеспечить выполнение условий прочности по растягивающим и сжимающим напряжениям, в качестве наибольшего допустимого следует принять меньшее значение изгибающего момен-

та Mx = 11,4 кН м.

Наибольшую допустимую нагрузку на балку определим из равенства

Мx max = 0,8F = 11,4 кН м,

откуда F = 14,25 кН.

Следует проверить прочность по нормальным напряжениям в сечении А при принятом положении сечения балки и значении нагрузки F = 14,25 кН.

136

В сечении А

Мх = 0,6;

F = 0,6 14,25 = 8,55 кН м.

В точке Д (сжатие)

Условие прочности по растягивающим напряжениям не выполняется. Значит, значение нагрузки F следует скорректировать (уменьшить).

Из условия прочности по растягивающим напряжениям (как наиболее опасным)

M x max Rt Jx 50 106 1320 10 8 7,17 кН м, yK 9,21 10 2

но Мх = 0,6F, откуда F = 11,95 кН.

Окончательно принимаем Fadm = 11,95 кН.

Вычислим значения и , необходимые для построения эпюр напряжений. Для касательных напряжений опасным является сечение А, где

Q = 2F = 2 11,95 = 23,9 кН,

для нормальных – сечение В, где

Мх = 0,8F = 0,8 11,95 = 9,56 кН м.

137

Нормальные напряжения в характерных точках сечения В

Касательные напряжения в характерных точках сечения А (по формуле (5.2)

K = 0 (так как Sх(K) = 0);

Д = 0 (так как Sx(Д) = 0).

Заметим, что в точке П ширина сечения изменяется скачкооб-

разно. Вследствие этого также скачкообразно изменяется значение (на эпюре скачок).

Эпюры и приведены на рис. 5.16, в.

Расположив сечение балки полкой вниз (положение 2) и проделав аналогичные вычисления, получим меньшее значение допустимой нагрузки F = 9,5 кН.

Пример 5.9

Определить главные напряжения в указанных точках балки (рис. 5.17) и установить вид напряженного состояния. Сечение балки – двутавр № 16.

138

в

а

б

Рис. 5.17

Решение

Из таблицы сортамента для двутавра № 16:

Wx = 109 cм3, Jx = 873 см4, Sx = 62,3 см3, d = 5 мм.

Вследствие симметрии нагрузки опорные реакции

АY = ВY = F = 20 кН.

Эпюры Q и М показаны на рис. 5.17, а, б.

Заметим, что на участке CД балка подвергается чистому изгибу, так как на этом участке Q = 0.

В исследуемом сечении K

Q = 20 кН, М = 20 0,7 = 14 кН м.

139