Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

Jx – моментинерциивсегосеченияотносительно нейтральнойоси; b – ширина сечения на уровне точки, в которой определяется

напряжение.

Рис. 5.12

Для произвольной точки K (рис. 5.12, б), расположенной на расстоянии уK от нейтральной оси, статический момент

Sx = A'm' или Sx = A''m''.

Считается, что касательные напряжения τ распределяются по ширине сечения равномерно. По высоте сечения τ изменяются по закону параболы (рис. 5.12, в). Наибольшее касательное напряжение появляется на нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения. В крайних точках сечения τ = 0, так как для этих точек Sx = 0.

Следует обратить внимание, что напряжение τ достигает максимума в тех точках сечения, где напряжение σ = 0, а напряжение σ достигает максимума в тех точках, где τ = 0. Поэтому материал балки в различных точках по высоте сечения находится в разных напряженных состояниях.

Рассмотримтавровоепоперечноесечение(рис. 5.13).

В крайних точках поперечного сечения τ = 0, σ = σmах. Материал балки здесь находится в условиях линейного напряженного состояния (рис. 5.13, г) и условие прочности имеет вид σmах ≤ R.

На нейтральной оси поперечного сечения σ = 0, τ = τmах. Здесь материал испытывает чистый сдвиг (рис. 5.13, в), являющийся частным случаем плоского напряженного состояния, и условие прочности записывается в виде τmах ≤ Rs.

120

а б

г в

Рис. 5.13

Во всех остальных точках поперечного сечения изгибаемого стержня, где σ ≠ 0 и τ ≠ 0, имеет место общий случай плоского напряженного состояния (рис. 5.13, а, б) и проверку прочности следует вести по теориям прочности.

Для большинства случаев проверка прочности балок проводится отдельно по нормальным σ и отдельно по касательным τ напряжениям.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

где Mx mах – максимальный изгибающий момент в балке;

Jx – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;

уmах – ордината точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси;

R – расчетное сопротивление материала балки растяжению (сжатию).

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси, условие прочности по нормальным напряжениям целесообразно использовать в виде

121

где Wx – момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Момент сопротивления сечения Wx характеризует сопротивляемость балки изгибу и зависит только от формы и размеров поперечного сечения.

Для прямоугольного сечения

Wx bh62 ,

для круглого

Wx d3 . 32

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер) значения Wх приведены в таблицах сортамента.

Отклонение максимального нормального напряжения от расчетного сопротивления не должно превышать ±5 %. При подборе сечений балок из прокатных профилей допускаются и более значительные отклонения в сторону уменьшения σmах.

Проверку прочности балок, изготовленных из хрупкого материала, ведут по растягивающим напряжениям, так как расчетное сопротивление растяжению меньше, чем сжатию (R < Rсж). Однако следует проверять и сжимающие напряжения.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

где Qу mах – максимальная поперечная сила в балке;

Sx mах – статический момент относительно нейтральной оси части площадисечения, расположеннойотнейтральнойосидокраясечения; Jx – момент инерции поперечного сечения относительно нейт-

ральной оси;

122

b – ширина поперечного сечения балки у нейтрального слоя; Rs – расчетное сопротивление материала балки сдвигу.

В сопротивлении материалов принято, что касательные напряжения во всех точках прямоугольного поперечного сечения параллельны силе Qу. В действительности для некоторых других форм сечений (круг, двутавр, швеллер) по контуру сечения и в крайних точках его направление τ несколько изменяется.

Поскольку максимальные касательные напряжения (по которым ведется проверка прочности) расположены на нейтральной оси, где τ параллельны Q, формула (5.5) применима практически для всех типов сечений.

Для отдельных форм сечения балок (двутавр, швеллер, тавр) и в отдельных случаях нагружения (короткая балка, большая нагрузка вблизи опор) возникает необходимость проверить прочность не в крайних точках сечения и не на нейтральной оси, а в некоторой промежуточной точке, например K, где одновременно действуют и нормальные σ и касательные τ напряжения (см. рис. 5.13), т. е. произвести полную проверку прочности.

По граням прямоугольного элемента, выделенного вокруг т. K, действует система напряжений: по поперечным сечениям σ и τ, по продольным – только τ (по закону парности касательных напряжений) (см. рис. 5.13, а).

При некотором положении прямоугольного элемента (под углом α0 к нейтральной оси) по его граням касательные напряжения станут равными нулю (τ = 0), а нормальные σ достигнут экстремальных (максимальных или минимальных) значений (см. рис. 5.13, б), которые называютсяглавными напряжениями иопределяютсяпоформуле

где σ и τ – напряжения в поперечном сечении, определяемые по формулам (5.1) и (5.2).

Положение главных площадок (направление главных напряжений) определяется по формуле

tg2 0 2 ,

123

где угол α0 отсчитывается от направления нейтральной оси. Положительные значения – против хода часовой стрелки.

По площадкам, образующим с главными площадками угол 45° (рис. 5.13, в), действуют максимальные касательные напряжения

Для полной проверки прочности балки сначала по эпюрам Qy и Mx находится сечение, в котором оба их значения одновременно возможно большие. Это будет опасное сечение. Далее по высоте сечения выбирается точка, в которой одновременно значения σ и τ также возможно большие. Это будет опасная точка сечения. Для прямоугольного сечения эта точка не явна. Для сечений типа двутавр, швеллер, тавр опасная точка – точка соединения стенки с полкой.

Полная проверка прочности балки проводится по гипотезам прочности.

Для пластического материала, например, по четвертой (энергетической) теории, условие прочности имеет вид

des 2 3 2 R, (5.7)

где σdes – приведенное напряжение;

σ, τ – напряжения в проверяемой точке сечения.

Рациональной формой сечения балки будет та, при которой обеспечена прочность при малом весе. В большинстве случаев потеря прочности связана с нормальными напряжениями. Из эпюры σ (см. рис. 5.12, 5.13) видно, что материал у нейтральной оси напряжен слабо. Поэтому часть материала можно «перенести» от нейтральной оси к краям сечения, где напряжения большие и где материал будет использоваться полнее. Чем дальше от нейтральной оси расположены частицысечения, тембольшебудетмоментсопротивления Wx.

Экономичность поперечного сечения балки можно оценить от-

ношением x Wx : чем больше это отношение, тем экономичнее

A3

сечение.

124

Для пластичных материалов (сталь) рациональной является форма двутавра.

Для хрупких материалов (чугун), у которых сопротивление сжатию больше, чем растяжению, рациональным является такой тип сечения, у которого нейтральная ось сдвинута в сторону растянутых волокон. Это тавровое сечение.

Практика показала, что в большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по нормальным напряжениям для крайних точек сечения по условию

max МWх max R. x

По этому условию можно решить три типа задач:

–проверить прочность σmах при заданной форме и размерах сечения;

–подобрать размеры поперечного сечения (через Wx) при принятой форме сечения;

–определить наибольшую допустимую нагрузку (через Мx mах) при известной форме и размерах поперечного сечения.

Пример 5.6

Определить значения нормальных и касательных напряжений в точке K деревянной балки (рис. 5.14). Проверить прочность балки по этим напряжениям и построить их эпюры.

РасчетныесопротивленияматериалабалкиR = 15 МПа, Rs = 2 МПа.

∑Y = 8,2 – 15 + 6,8 = 0 (проверка).

125

б

в

Рис. 5.14

Вычислим значения Q и M для характерных сечений балки и построим их эпюры (рис. 5.14, б и в).

Сечение А:

Q = Ay = 8,2 кН, М = 0.

Сечение С:

Qл = Ay = 8,2 кН, М= Аy 2 = 8,2 2 = 16,4 кН·м. Qп = Ay – F= 8,2 – 15 = –6,8 кН.

Сечение В:

Q = –Вy = –6,8 кН, М = –4 кН·м.

Определим напряжения в точке K. В сечении балки, где расположена эта точка, Q = 6,8 кН,

М = 8,2·2,5 – 15·(2,5 – 2) = 13 кН м.

126

Для определения нормального напряжения воспользуемся фор-

мулой (5.5).

По модулю

Для прямоугольного сечения балки момент инерции относительно нейтральной оси

Jx bh3 15 213 11576 см4. 12 12

Для установления знака вычисленного напряжения нужно обратиться к эпюре Мх. В сечении, где расположена точка K, ординаты эпюры лежат снизу от оси эпюры. Это значит, что волокна балки, лежащие ниже продольной оси, растянуты, а выше – сжаты. Так как точка K расположена в сжатой зоне сечения балки, напряжению в ней присваивается знак «минус» (σK = –6,74 МПа).

Значение касательного напряжения в заданной точке вычислим по формуле (5.2):

Статический момент части площади сечения, расположенной выше точкаK:

SхK = А′m′= 15 4,5 (6 + 4,5 / 2) = 557 см3.

Касательному напряжению присваивается знак поперечной силы

(τK = –0,218 МПа).

Проверка прочности балки производится по максимальным значе-

ниямQy иМx. ВданномпримереQy max = 8,2 кН, Mx max = 16,4 кНм. Заметим, что максимальные значения внутренних сил могут быть

в одном или в разных сечениях.

127

Проверку прочности по нормальным напряжениям проведем по формуле (5.3):

0,0149 109 Па 14,9 МПа R 15 МПа.

Эти напряжения появляются в крайних точках сечения. На нейт-

ральной оси, где у = 0, нормальные напряжения равны нулю: = 0. Проверку прочности по касательным напряжениям проведем по

формуле (5.5):

0,0391 107 Па 0,39 МПа Rs 2МПа.

Статический момент на уровне нейтральной оси

Sx max h2 b h4 212 15 214 827 см3.

Максимальные касательные напряжения появляются в точках на нейтральной оси сечения балки. В крайних точках сечения, где Sx = 0,

касательныенапряженияравнынулю: = 0.

Таким образом, условия прочности балки по нормальным и касательным напряжениям выполняются.

Закономерность распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения, т. е. их эпюры, показана на рис. 5.14, г.

Пример 5.7

Подобрать размеры нижеобозначенных форм сечений балки и сопоставить коэффициенты их экономичности. Для прямоугольного сечения принять h / b = 1,4.

128

Расчетные сопротивления материала балки R = 210 МПа, Rs = = 130 МПа (рис. 5.15).

а

б

определены верно.

129