Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

По значениям крутящих моментов, выраженных в долях от Те2, строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.9, в).

Из эпюры следует, что Тmах = 1,118Те2.

Из условия прочности (4.2) максимальный допустимый крутящий момент, который может воспринять стержень:

Нагрузочные (скручивающие) моменты на стержень и реактивный момент

Тmах = 636 Н·м = 1,118Те2,

откуда

Те2 = 569 Н·м, а Те1 = 2Те2 = 2·569 Н·м = 1138 Н·м;

ТА = 0,882Те2 = 0,882·569 = 502 Н·м.

На эпюре крутящих моментов (рис. 4.9, в) проставлены значения крутящих моментов на участках стержня.

Угол поворота среднего сечения (т. K) стержня определим, используя формулу (4.3):

32 502 60 10 2 32 636 20 10 2 0,0274 рад 80 109 3,14 34 10 8

или

к 0,0274 3,14180 1,57o.

Эпюра касательных напряжений и угол поворота сечения K показаны на рис. 4.9, г.

90

Пример 4.4

СтальнойстерженькольцевогосеченияскручиваетсямоментомТе. Определить наибольшее допустимое значение момента из условий

прочности ижесткости, если Rs = 90 МПа, G = 80 ГПа, θadm = 1,5 град/м (рис. 4.10).

б

а

Рис. 4.10

Решение

Вычислим геометрические характеристики заданного сечения.

Допустимый относительный угол закручивания

θadm = 1,5 3,14 / 180 = 0,0262 рад/м.

Из условия прочности (4.2) вычислим значение наибольшего скручивающего момента:

Тadm = RsWp = 90 · 106 · 68,7 · 10–6 = 6183 Н·м = 6,183 кН·м;

91

из условия жесткости (4.4)

Тadm = θadmGJp = 0,0262 · 80 · 109 · 275 · 10–8 = 5764 Н·м= 5,76 кН·м.

В качестве допустимого скручивающего момента принимаем его меньшее значение: Тadm = 5,76 кН·м.

Касательные напряжения на наружных и внутренних волокнах стержня вычислим по формуле (4.1):

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 4.10, б.

Пример 4.5

Стальной стержень прямоугольного поперечного сечения скручивается моментом Te = 2,5 кН·м.

Определить размер сторон прямоугольного сечения (h / b = 2, Rs = 100 МПа) и угол закручивания свободного конца стержня (G =

Рис. 4.11

92

Решение

Геометрические характеристики заданного сечения

Wk b2h 0,457b2 2b 0,914b3 , см3;

Jk b3h 0,493b3 2b 0,986b4 , см4.

Наибольшиекасательныенапряженияподлиннойсторонесечения

h,max = Rs = 100 МПа.

Из условия прочности (4.5)

или

Wk = 0,914b3 = 25,

откуда b = 3,013 см.

Принимаем b = 3,0 см, h = 2b = 2 · 3 = 6 см.

Вычислим наибольшие касательные напряжения по сторонам сечения.

По длинной стороне

Перенапряжение составляет 1 %, что допустимо. По короткой стороне

b,max h,max 0,795 101 80,3 МПа.

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 4.11, б.

93

Абсолютный угол закручивания свободного конца стержня (по формуле (4.6))

5. ПРЯМОЙ ИЗГИБ

Изгиб – это деформация, при которой происходит искривление оси бруса. Изгиббываетплоскийипространственный, прямойикосой.

В этом разделе рассматривается плоский прямой изгиб, при котором вся нагрузка, включая и реакции опор, лежит в одной плоскости, называемой силовой (Р), и эта плоскость проходит по линии симметрии поперечных сечений балки (рис. 5.1).

Рис. 5.1

При прямом изгибе деформированная ось балки также находится в плоскости действия нагрузки.

При изучении изгиба используется обычная система координатных осей: ось Z совпадает с продольной осью балки, а оси X и Y

94

располагаются в плоскостях поперечных сечений и совпадают с главными центральными осями инерции.

Плоский изгиб балки может происходить в плоскости YOZ (вертикальной) или XOZ (горизонтальной).

5.1. Внутренние силы. Эпюры

Балка как элемент конструкции соединяется с другими элементами при помощи устройств, называемых опорами. Различают три типа опор: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную и защемление (заделка). Опорные устройства препятствуют произвольному перемещению балок от воздействия нагрузки, накладывая на балку определенное число связей (ограничений). В наложенных на балку связях возникают реакции, называемые опорными. Число опорных реакций равно числу наложенных связей.

Так, шарнирно-неподвижная опора А (рис. 5.2, а) имеет две связи – вертикальную и горизонтальную, дает две реакции Ay и Az. Шар- нирно-подвижная опора В имеет одну связь – дает одну реакцию Вy. Защемление С имеет три связи – дает три реакции: Сy, Сz, МС

(рис. 5.2, б).

Рис. 5.2

Наименьшее число связей, обеспечивающих неподвижность балки по отношению к другим элементам конструкции в плоской системе сил, равно трем. Эти связи должны быть расположены рационально: не быть параллельными друг другу или пересекаться в одной точке.

Под действием нагрузки и опорных реакций балка должна находиться в равновесии. Поэтому для определения опорных реакций

95

можно воспользоваться тремя условиями равновесия (для плоской системы сил):

Сумма моментов берется относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.

Рекомендуется такой порядок определения опорных реакций:

Балки, опорные реакции которых можно определить при помощи трех уравнений равновесия, называются статически определимыми. Такие балки рассматриваются в настоящем разделе.

В результате действия внешних сил (нагрузки) в поперечных сечениях балки возникают внутренние силы (усилия): поперечная сила Qy и изгибающий момент Мх. Такой изгиб называют поперечным. В частном случае в поперечных сечениях балки может возникать только один изгибающий момент Мх. В этом случае изгиб называют чистым. Внутренние силы, как и при других, изученных выше деформациях, определяются методом сечений.

Балка в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части (рис. 5.3, а). Одна из частей балки мысленно отбрасывается. Поскольку вся балка находится в равновесии, то и оставшаяся ее часть (рис. 5.3, б) под действием известных внешних сил (активных q, M и реактивной Ay) и неизвестных внутренних (Qy и Мх) в исследуемом сечении также должна находиться в равновесии и удовлетво-

рять условиям Y = 0, М0 = 0 (момент относительно центра тяжести рассматриваемого сечения):

Y = Аy – qa – Qy = 0,

откуда

Qy = Аy – qa;

М0 = Аyz – qa (z – a/2) + M – Мх = 0,

откуда

Мх = Аyz – qa (z – a/2) + M.

96

а

б

Рис. 5.3

Исходя из названных условий равновесия выработано правило определения поперечной силы Qy и изгибающего момента Мх в се-

чениях балки. При этом сами уравнения равновесия ( Y = 0, М = 0) не составляются, а сразу записываются выражения для Qy и Мх.

Правило таково – в рассматриваемом сечении балки: поперечная сила Qy численно равна алгебраической сумме

проекций на плоскость сечения всех внешних сил (активных и реактивных), расположенных по одну сторону от этого сечения:

Qy = (Fi);

изгибающий момент Мх численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, расположенныхпоодну сторонуотэтого сечения:

Мх = (Fi zi).

Для определения Qy и Мх можно рассматривать любую часть «рассеченной» балки.

97

При вычислении Qy и Мх принято следующее правило знаков:

– если внешняя сила (активная или реактивная) стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно центра тяжести исследуемого сечения по часовой стрелке, то возникающая в этом сечении поперечная сила считается положительной,

аесли против часовой стрелки – отрицательной;

–если внешняя сила (F, M, q) изгибает рассматриваемую часть балки относительно исследуемого сечения выпуклостью вниз, то возникающий в этом сечении изгибающий момент считается положительным, если выпуклостью вверх – отрицательным.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 5.4.

Рис. 5.4

Для проведения расчетов балки на прочность необходимо знать максимальные значения Qy и Мх. Для этого нужно выявить закон изменения этих величин по длине балки:

Qy = f (z), Мх = f (z).

Изменения Qy и Мх по длине балки удобно представлять графически в виде эпюр (рис. 5.5).

Исходя из нагрузки, на балке выделяют расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных нагрузок (F, М) и в пределах распределенной (q).

В пределах каждого расчетного участка намечаются сечения (I, II, i) и отмечаются их положения в системе координатных осей

(z1, z2, …, zi).

98