Сопротивление материалов. В 2 ч. Ч 1 Краткая теория. Примеры

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости»

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Ч АСТЬ I

М и н с к Б Н Т У

2 0 1 5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости»

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей

В 2 частях

Ч а с т ь 1

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ПРИМЕРЫ

Рекомендовано учебно-методическим объединением высших учебных заведений Республики Беларусь по образованию в области строительства и архитектуры

Минск

БНТУ

2016

1

УДК 620.1 (076.1) ББК 30.121я7

С64

Авторы:

С. И. Зиневич, В. А. Пенькевич, М. В. Югова, Л. И. Шевчук, О. Л. Вербицкая, Е. А. Евсеева, В. Н. Рябцев

Рецензенты:

М. Т. Насковец, В. Н. Основин

Сопротивление материалов : учебно-методическое пособие для С64 студентов строительных специальностей : в 2 ч. / С. И. Зиневич [и др.]. – Минск : БНТУ, 2016. – Ч. 1 : Краткая теория. Примеры. –

346 с.

ISBN 978-985-550-373-7 (Ч. 1).

Содержатся сведения о простых и сложных видах сопротивлений, напряженном состоянии в точке элемента конструкции, продольном изгибе и динамическом действии нагрузки.

Приведены теоретический материал и примеры решения характерных задач. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов строительных спе-

циальностей дневного и заочного отделений.

УДК 620.1 (076.1) ББК 30.121я7

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

При изучении дисциплины «Сопротивление материалов» важное значение имеет практическое применение выводов теории. Чтобы помочь студентам овладеть методикой и приобрести навыки в решении задач, коллектив кафедры «Сопротивление материалов и теория упругости» БНТУ, исходя из многолетнего опыта работы, считает целесообразным создание краткого теоретического курса по сопротивлению материалов с решением задач.

Пособие предназначено для студентов строительных специальностей как дневной, так и заочной формы обучения. В нем рассматриваются простые и сложные виды сопротивлений, напряженное состояние в точке, вопросы устойчивости отдельных элементов конструкции, а также расчеты при динамическом действии нагрузок. По каждой теме приведены подробные решения трех-четырех характерных задач.

При написании данного учебно-методического пособия авторский коллектив использовал материалы ранее издаваемых кафедрой пособий и в этой связи выражает глубокую благодарность Алявдину П. В., Балыкину М. К., Винокурову Е. Ф., Голубеву И. А., Зайцу В. Н., Кончицу А. Е., Петровичу А. Г., Рудицину М. Н., Суходоеву В. Н. и многим другим преподавателям, работавшим на кафедре «Сопротивление материалов и теория упругости».

3

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Назначение дисциплины

«Сопротивление материалов» рассматривает расчет отдельных элементов конструкций.

Элементы конструкций рассчитываются на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность – способность элемента конструкции воспринимать нагрузку не разрушаясь.

Жесткость – способность элемента конструкции оказывать сопротивление деформации, допуская ее в определенных пределах.

Устойчивость – способность элемента конструкции сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия.

Гипотезы и допущения

В теории дисциплины при выводе расчетных формул применяется ряд гипотез и допущений.

Основные из них:

–материал принимается сплошным, однородным и изотропным (свойства в любой точке и направлении считаются одинаковыми);

–материал до определенной степени нагружения деформируется линейно;

–деформации элемента конструкции весьма малы по сравнению

сразмерами самого элемента;

–до приложения внешних сил в материале отсутствуют напряжения.

Геометрическая схематизация элементов строительных конструкций. Расчетная схема

Расчет строительной конструкции начинается с геометрической схематизации ее элементов. Все формы элементов строительных конструкций с достаточной степенью точности можно отнести к четырем основным формам: брус, пластина, массив и оболочка.

Расчет пластин, массивов и оболочек осуществляется с использованием теории упругости, а расчет бруса – с использованием сопротивления материалов.

4

После схематизации геометрических форм производят выбор расчетной схемы. Расчетная схема представляет собой упрощенную схему элемента, которая отражает наиболее существенные его особенности под действием нагрузки. При составлении расчетной схемы брус не вычерчивают полностью, а только его продольную ось, поскольку она является геометрическим местом центров тяжести поперечных сечений. Все действующие на элемент внешние силы приводятся к этой оси по правилу механики.

На расчетной схеме намечается система трех взаимно перпендикулярных осей координат: Z – вдоль продольной оси, X, Y – поперек продольной оси (рис. 1, а, б). Начало координатных осей обычно располагается в крайней левой точке расчетной схемы.

Рис. 1

Каждый элемент конструкции соединяется с другим элементом или основанием при помощи опорных устройств. Опоры подразделяются на шарнирно-подвижные, шарнирно-неподвижные, защемления (заделки), см. рис. 1, а, б.

В зависимости от конструктивного назначения брус могут называть стержнем, балкой, колоннойили валом.

Стержень – это брус, работающий на растяжение (сжатие). Балка – брус, работающий на изгиб.

5

Колонна – вертикально стоящий брус, предназначенный для восприятия сжимающей нагрузки.

Вал – брус, работающий на кручение.

Внешние силы

Элементы конструкций испытывают воздействие внешних сил, которые делятся на активные (нагрузки) и реактивные (реакции опор). Среди нагрузок различают сосредоточенные F, M, Т (считаются приложенными в точке элемента или конкретном сечении) и распределенные q (по длине или площади элемента), см. рис. 1, а, б.

Опорные реакции плоской системы определяются из трех условий равновесия (статики): ∑X = 0, ∑Y = 0, ∑M = 0, см. рис. 1, а, б.

Внутренние силы

В результате действия внешних сил в элементе конструкции возникают внутренние силы (усилия), которые сопротивляются действию внешних сил и обусловлены упругим взаимодействием частиц материала.

Внутренние силы (рис. 1, в) привязываются к системе координатных осей стержня и подразделяются:

–на продольные силы N, действующие по продольной оси Z;

–поперечные силы Qx и Qy, действующие в плоскости поперечного сечения и направленные по координатным осям Х и Y;

–изгибающие моменты Mx и My, действующие относительно координатных осей Х и Y;

–крутящие моменты Т, действующие относительно продольной оси Z.

Для определения внутренних сил используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна часть стержня отбрасывается, а действие отброшенной части на оставленную (рассматриваемую) заменяется неизвестными внутренними силами. Для оставшейся части составляются уравнения равновесия, из которых и определяются неизвестные внутренние силы.

6

Напряжения

Различают нормальные σ и касательные τ напряжения. Нормальные напряжения действуют перпендикулярно поперечному сечению и являются функцией

σ= f (N, M),

акасательные – в плоскости поперечного сечения и являются функцией

τ= f (Q, T) (рис. 1, г).

Виды напряженного состояния материала

В общем случае действия внешних сил на тело (элемент конструкции) по граням элементарно малого прямоугольного параллелепипеда, выделенного в любой точке, действует совокупность нормальных σ и касательных τ напряжений, определяющих напряженное состояние в этой точке (рис. 2, а). На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные.

Рис. 2

Нормальным напряжениям присваивают индекс, указывающий ось, параллельно которой они направлены. Для обозначения касательных напряжений используется двойной индекс. Первый указывает ось, параллельно которой направлено касательное напряжение, вто-

7

рой – ось, параллельно которой направлена нормаль к площадке, где действует касательное напряжение.

С поворотом параллелепипеда вокруг точки значение напряжений будет изменяться, и можно найти такое его положение, при котором касательные напряжения по его граням исчезнут, а нормальные сохранятся (рис. 2, б). Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а действующие на них нормальные напряжения – главными нормальными напряжениями. Они обозначаются σ1, σ2, σ3, причем σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

По совокупности главных напряжений различают три вида напряженного состояния материала:

объемное, когда все три главных напряжения отличны от нуля

(см. рис. 2, б);

плоское, когда два главных напряжения отличны от нуля

(рис. 2, в);

линейное, когда отлично от нуля лишь одно главное напряжение(рис. 2, г).

Деформации и перемещения

Под воздействием внешних нагрузок элементы конструкции деформируются, т. е. изменяют свои размеры и форму. Деформации могут быть упругими и пластическими. Упругие деформации исчезают после снятия нагрузки, а пластические сохраняются.

Взависимости от условий загружения внешними силами брус может испытывать такие виды деформаций, как растяжение (сжатие), сдвиг, кручение и изгиб. Эти четыре вида деформаций относят к простым. На практике брус часто подвергается одновременно нескольким простым деформациям, например, изгиб с растяжением, изгиб

скручением и растяжением и т. д. Такую деформацию называют сложной.

Вслучае когда длина бруса намного больше его поперечных размеров (например, чертежная линейка), сжимающие силы могут изогнуть его. Произойдет особый вид деформации – п родольный изгиб.

При деформациях точки элемента конструкции перемещаются в пространстве. Различают линейные перемещения δy, δz – для точек –

иугловые δzy – для линий (рис. 3, а).

8

Рис. 3

В конкретных видах деформаций перемещения приобретают определенные обозначения и названия. При растяжении-сжатии δz = l – продольная деформация (рис. 3, б); при кручении δхy = φ – угол закручивания (рис. 3, в); при изгибе δy = υ – прогиб, а δzy = θ – угол поворота сечения (рис. 3, г).

Методы расчета на прочность и жесткость

В расчетной практике используется несколько методов расчета на прочность. Наиболее распространены два из них.

Расчет деталей машин и механизмов ведется по методу допускаемых напряжений, а расчет элементов строительных конструкций – по методу предельных состояний.

По методу допускаемых напряжений условие прочности при линейном напряженном состоянии имеет вид

σmах ≤ σаdm или τmах ≤ τаdm ,

где σmах (τmах) – максимальные напряжения в элементе конструкции; σаdm (τаdm) – допускаемые напряжения для материала элемента.

9