Сопротивление материалов (примеры и задачи)

Напряжения:

в стальном стержне

7,48-103 = 23,8 МПа (растяжение),

3,14-10"

в бетонной трубе

23,9-10 <*б = 100,5 -10" = 2,38 МПа (сжатие),

Задачи для аудиторного и самостоятельного решения

З а д а ч а 1.11 Система, состоящая из абсолютно жесткого элемента Р и трех

стальных стержней, нагружена расчетной нагрузкой F.

Стержни имеют одинаковые длины и площади поперечного сечения. Определить диаметр стержней, если R = 210 МПа.

а 5 Б

0,5

О т в е т ы :

A.По расчету d = 1,88 см; принимаем по сортаменту d = 2,0 см. Б. По расчету d= 1,69 см; принимаем по сортаменту d = 1,8 см.

B.По расчету d= 3,17 см; принимаем по сортаменту d = 3,2 см.

З а д а ч а 1.12 Определить наибольшую допустимую нагрузку на систему, со-

стоящую из абсолютно жесткого элемента Р и двух стальных стержней, выполненных из сдвоенных равнополочных уголков.

60

Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

О т в е т ы :

A. A U = М = 1,132 F; Fadm = 87,2 кН. Б. Л ^ = JV2 = 1,447 q- qadm =110 кН/м.

B. iV«ax = N3 = 0,678 F; £adm = 183,3 кН.

З а д а ч а 1.13 Система, состоящая из трех стальных стержней одинакового по-

перечного сечения и длины, нагружена расчетной нагрузкой F. Определить напряжения в стержнях и перемещения узла К. Для стали #-=210 МПа, Е = 200 ГПа.

61

О т в е т ы :

A.Напряжения: oj = 132 МПа, о2 = 187 МПа, а3 = 205 МПа. Перемещения: Sv = 2,57 мм, 6Ц = 0,24 мм, 5 = 2,58 мм.

Б. Напряжения: а, = 59,6 МПа, о2 = 69,6 МПа, о3 = 209 МПа. Перемещения: Sv = 3,13 мм, 8„ = 0,776 мм, 5 = 3,22 мм.

B.Напряжения: Oj = о2 = 145 МПа, <т3 = 205 МПа.

Перемещения: Sv = 2,43 мм, 8„ = 0, 5 = 2,43 мм.

З а д а ч а 1.14 Определить минимально необходимый диаметр стального

стержня, жестко защемленного обоими концами и нагруженного системой расчетных сил F.

Проверить прочность стержня, если между нижним концом его и опорой будет зазор А.

О т в е т ы :

A. По расчету: d = 3,49 см, принимаем с/ = 3,6 см, а,,ах = 197 МПа.

При наличии зазора амах = 264 МПа > R.

Б. По расчету: d - 2,94 см, принимаем d = 3,0 см, омах =201 МПа.

При наличии зазора амах = 214 МПа > R.

B. По расчету: d = 3,03 см, принимаем d = 3,0 см, омах = 214 МПа (перенапряжение < 5%).

При наличии зазора 0мах = 260 МПа > R.

62

F=60QkH

З а д а ч а 1.15 Короткая стальная труба, заполненная бето-

ном, находится под действием сжимающей силы F, которая передается трубе через абсолютно жесткую плиту.

Проверить прочность трубы и бетона. Для стали: R = 210 МПа, Е = 200 ГПа. Для бетона: Rc = 20 МПа, Е = 30 ГПа.

О т в е т : в трубе о 61,3 МПа < R, в бетоне = 9,2 МПа <ЯС.

63

1,0 MH

З а д а ч а 1.17 Короткая железобетонная стойка сечением

40 х 40 см, армированная восемью стальными стержнями диаметром d = 2,5 см, сжимается центрально приложенной силой F = 1,0 МН.

Определить напряжение в арматуре и бето-

не.

Для стали: R = 210 МПа, Е = 200 ГПа. Для бетона: Rc = 5,0 МПа, Е= 20 ГПа.

О т в е т : астали - 50,2 МПа, абет = 5,01 МПа.

З а д а ч а 1.18 Конструкция, состоящая из абсолютно жесткого элемента Р, ук-

репленного на опоре С, и двух стальных стержнях, выполненных из двух прокатных равнополочных уголков номер 50 х 50 х 5 мм.

Определить напряжения в стержнях вследствие осадки опоры С на 6 = 0,2 см.

р

у/

GO

2м - 4 — зм

О т в е т : а, = 55 МПа, о 2 = 18,3 МПа.

64

Раздел 2. СДВИГ

Деформация сдвига наблюдается в тех случаях, когда внешние с и л ы , действующие на стержень, пытаются сдвинуть одну часть его по отношению к другой (рис. 2.1).

F

Рис. 2.1

Происходит это, когда на стержень действуют перпендикулярно продольной оси Z две равные сосредоточенные силы F на очень близком расстоянии а друг от друга, направленные в противоположные стороны.

Деформации сдвига (среза) подвергаются в основном соединительные элементы конструкций: заклепки, болты, швы электросварки, врубки, шпонки. Деформация их носит сложный характер.

При сдвиге в поперечном сечении стержня возникает поперечная сила Q и часто изгибающий момент М. В большинстве случаев определяющее значение имеет поперечная сила, а изгибающим моментом можно пренебречь, т.е. считать сдвиг чистым. Определяется поперечная сила Q методом сечений.

Поперечная сила приводит к образованию касательных напряжений х, которые, принято считать, распределяются по площади

где Q - поперечная сила в сечении сдвига,

А- площадь поперечного сечения в зоне сдвига.

Взоне чистого сдвига материал элемента находится в условии плоского напряженного состояния. Но поскольку в зоне сдвига возникают только касательные напряжения, условие прочности используется в виде

65

(2.2)

где Rs - расчетное сопротивление материалов сдвигу.

В зоне сдвига наблюдаются следующие деформации: AS - абсо-

лютный сдвиг и у = AS/'a - относительный сдвиг (см. рис. 2.1). Закон Гука при сдвиге выражается формулой

где G - модуль упругости материала при сдвиге (модуль второго рода).

2.1.Расчет заклепочных соединений

Вреальных условиях соединений заклепки рассчитываются на срез по касательным напряжениям, а контактирующиеся элементы (заклепки, соединяемые части) еще и на смятие по нормальным напряжениям (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Принято считать, что при статической нагрузке заклепки вдоль линии действия внешних сил нагружены одинаково.

Различают заклепочные соединения одно- и многосрезные (см. примеры).

Условие прочности на срез имеет вид

где Q - поперечная (срезывающая) сила в заклепочном соединении

(Q=f(F)),

As - площадь поперечного сечения одной заклепки,

66

п - число заклепок в соединении, ns - число срезов в одной заклепке,

Rs - расчетное сопротивление материала заклепки срезу.

В местах контакта заклепки с соединительными элементами возникают усилия смятия, приводящие к образованию по площади контакта нормальных напряжений ар. Считается, что эти напряжения распределяются по условной площади сечения (с! • t) равномерно.

сминающихся в одном направлении,

Rp - расчетное сопротивление материала сжатию.

Количество заклепок в соединении определяется из условий прочности на срез (2.4) и смятие (2.5). В расчет принимается большее их количество.

При соединении элементов внахлестку, принятое количество заклепок размещается в зоне накладки одного элемента на другой. В случае соединения элементов встык с накладкой (накладками) - размещаются на половине накладки (см. примеры).

Поскольку площадь поперечного сечения соединяемых элементов конструкции уменьшена (ослаблена) отверстиями под заклепки, требуется проверка прочности их на растяжение по нормальным

где N - продольная сила в соединяемых элементах, Ант - площадь ослабленного сечения (нетто),

R - расчетное сопротивление материала соединяемых элементов на растяжение.

67

Ослабление сечения отверстиями под заклепки у прокатных

профилей составляет - 1 5 % (Ант ~ 0,85 Абруг10).

Болтовые соединения рассчитываются аналогично заклепочным.

П р и м е р 2.1 Стальная полоса (1) сечением 120 х

х80 мм, с расчетной нагрузкой F =

=160 кН, прикрепляется к фасонному листу (2) толщиной 10 мм заклепками диаметром d = 16 мм.

Проверить прочность заклепочного соединения.

Расчетные сопротивления: для соединяемых элементов - на растяжение

R = 210 МПа, на смятие Rp = 420 МПа, для заклепок - на срез Rs =200 МПа.

Р е ш е н и е

Нагрузка F, приложенная к присоединяемой полосе, через заклепки передается на фасонный лист. Полоса и лист подвергаются растяжению, а заклепки - срезу. В местах сопри-

косновения заклепок с соединяемыми элементами возникает деформация смятия.

Проверка прочности соединение выполняется по трем условиям: на срез, смятие и разрыв полосы по ослабленному сечению.

Проверка прочности на срез проводится по формуле (2.4):

= 0,1995 -10 9 Па =199,5 МПа < Rs = 200 МПа,

т.е. условие прочности на срез выполняется.

Заметим, что заклепок в соединении п = 4, число срезов в одной заклепке ns = 1 и что нагрузка F передается на все четыре заклепки поровну (Q = Fin).

68

Проверка прочности на смятие проводится по формуле (2.5):

т.е. условие прочности на смятие выполняется.

Заметим, что в расчет принимается наименьшая толщина соединительных элементов, т.е. полосы (ta = 8 мм).

Проверка прочности присоединяемой полосы проводится по формуле (2.6) в ослабленном сечении

то (без отверстий), a d- t n - площадь сечения полосы под заклепкой. Фасонный лист, к которому приклепана полоса, также рассчитывается на растяжение по ослабленному сечению. В данном примере прочность его обеспечена вследствие больших размеров поперечно-

го сечения.

Таким образом, рассматриваемое заклепочное соединение отвечает всем требованиям прочности.

П р и м е р 2.2 Нижний пояс фермы, выполненный из неравнополочных уголков,

соединяется при помощи накладки и заклепок диаметром ^=14 мм. Расчетная продольная сила (выявленная в процессе расчета

фермы) составляет 7V" = 500 кН. Подобрать номер уголков и размеры поперечного сечения накладки, а также определить необходимое количество заклепок, если R = 210 МПа, RP = 350 МПа, Rs = 190 МПа.

69