Сопротивление материалов (примеры и задачи)

равнополочных уголков принимаем два уголка 40 х 40 х 5 мм с площадью поперечного сечения Аъ = 3,79 • 2 = 7,58 см2.

П р и м е р 1.4 Конструкция, состоящая из двух стальных стержней, нагружена

расчетной нагрузкой F = 86 кН. Диаметры стержней: d\ = 1,8 см, d2 = 2,0 см (рис. 1.6, а).

Определить напряжения в стержнях и перемещения узла С. Для стали Е = 200 ГПа.

Рис. 1.6

30

р е ш е н и е Площади поперечных сечений стержней:

Нагрузка F, приложенная к узлу С, через стержни 1 и 2 передается на опоры, в которых возникают реакции А и В, направленные вдоль продольных осей стержней (рис. 1.6, а).

Двум неизвестным реакциям соответствуют два уравнения равновесия (IX = 0, 2 7 = 0) - значит, система является статически определимой.

В стержнях системы, соединенных между собой шарниром, могут возникнуть только продольные силы N, вызывающие растяжение их.

Для определения продольных сил N проведем сечение 1-1, выделив узел С, и составим уравнения равновесия его (рис. 1.6, б).

Л,г] = 44,5 кН, N2 = 62,9 кН - оба стержня растянуты.

Нормальные напряжения в стержнях

А2,543-1О"4

31

Абсолютные продольные деформации (удлинения) стержней.

М200 • 10 • 2,543 • 10

Для построения схемы перемещения стержни 1 и 2 в узле С следует мысленно разъединить и, отложив по их направлениям отрезки, изображающие деформации (Д/i и Д/2), получим точки Ci и С2.

Стержни системы в результате нагружения должны перемещаться совместно, не разъединяясь. Поэтому концы стержней (т. С\ и С2) нужно свести вместе.

В связи с тем, что деформации стержней малы по сравнению с их длиной, можно допустить, что концы стержней (т. С\ и С2) перемещаются относительно своих опор (т. А и В) не по дуге окружно-

направлению соответствующих стержней. Пересечение перпендикуляров дает точку С3 - новое положение узла С. Стержни системы повернутся вокруг своих шарнирных опор на некоторый угол (на рис. 1.6 не показан).

На рис. 1.6, в отмечены вертикальное 5V и горизонтальное 5„ перемещения узла С. Уравнения совместности перемещений получим, выразив названные перемещения через деформации стержней. Для этого спроектируем перемещения 5„ и 8и на направление стержней.

Решив уравнения, получим 8V = 2,232 мм, 8„ = 0,395 мм.

Полное перемещение узла С находим как геометрическую сумму составляющих перемещений

§с = / б 2 +Ь1 = Т ^ Ш Ч О ^ 2 =2,267 мм.

32

П р и м е р 1.5 Абсолютно жесткий (недеформирующийся) элемент Р укреплен

к шарнирно-неподвижной опоре А и поддерживается стержнем 1. Определить наибольшую допустимую нагрузку F и перемещение

т. С (рис. 1.7, а).

Стержень 1 - стальной, швеллер № 10. Для стали: R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Рис. 1.7

Р е ш е н и е

Нагрузка F через элемент Р и стержень передается на опоры, где возникают три реакции (Ах, Ау и В - направленная по продольной оси стержня), которые могут быть определены из уравнений равновесия (ИХ = 0, EF = 0, Т.М = 0). Следовательно, рассматриваемая система является статически определимой.

По таблице сортамента площадь сечения швеллера № 10 (стерЖень 1) составляет А\ = 10,9 см2. Длина стержня H ~ 3/0,707 = 4,24 м.

33

Так как стержень 1 соединяется с элементом Р при помощи шарнира, в нем возникает только продольная сила N, т.е. он п о д в е р г а е т - ся деформации растяжения-сжатия.

Для определения продольной силы N система «рассекается» по стержню 1 и составляются уравнения равновесия для рассматриваемой части системы (рис. 1.7, g) Опорные реакции Ах и Ау для условия задачи интереса не представляют. Рациональным уравнением равновесия будет

Максимально допустимая продольная сила в стержне 1 из формулы (1.2)

^i,adm = AR =10,9 • 1 (Г4 • 210 • 106 = 2289 • 102 Н = 228,9 кН.

Наибольшая допустимая нагрузка на конструкцию (из уравнения равновесия)

Абсолютная продольная деформация стержня 1 по формуле (1.3)

Абсолютно жесткий элемент Р под действием нагрузки F, вследствие деформации стержня 1, повернется вокруг шарнира А на некоторый угол.

Чтобы построить схему Перемещений (рис. 1.7, б) следует стержень 1 мысленно отсоединить от элемента Р в т. D и по направлению его отложить отрезок, изображающий деформацию (удлинение) Д1и - получим т. D\.

34

Поскольку элементы системы должны перемещаться совместно, нужно свести конец продеформированного стерня 1 (т. Д ) с точкой D элемента Р.

Вследствие малых упругих деформаций можно допустить, что т. А перемещается по перпендикуляру к продольной оси стержня, т.е. по Dxm. Дочка D элемента Р по той же причине переместится по перпендикуляру к его продольной оси, т.е. по Dn.

Точка пересечения траекторий перемещений (Dxm и Dn) дает т.

- положение узла D в продеформированном состоянии системы. Из подобия треугольников ADD2 и АСС\ составляется зависи-

мость между перемещением 8С и деформацией Л/,.

откуда перемещение т. С (вниз, по вертикали) будет равно

о,с. = 5-4,45 = 10,5 мм. 0,707 • 3

35

О т в е т ы :

A. < w = 190 МПа <R = 210 МПа; еп 0,95-10 < eadm. Б. о„ = 200 МПа <R = 210 МПа; етах = 0,93-10"< eadm.

В. атах = 208 МПа < R = 210 МПа; етах = 0,278-10~"'< eadm.

З а д а ч а 1.2

Определить размеры квадратного поперечного сечения для каждого расчетного участка бетонной колонны и перемещения свободного сечения ее.

Для материала колонны Rc и Е указаны на рисунках.

О т в е т ы :

A. 60x60 см; 40 х 40 см; 25x25см, 5max = 0,215 мм. Б. 45x45 см; 30 х 30 см; 20x20 см, 5max = 0,126 мм. B. 55x55 см; 35 * 35 см; 20x20 см, 5max = 0,264 мм.

З а д а ч а 1.3 Определить размеры поперечных сечений стержневой системы.

36

О т в е т ы :

A. Сторона сечения ах = аг = 13 см, уголок 40 х 40 х 5 мм. Б. Сторона сечения ах = а2 = 16 см, уголок 50 х 50 х 5 мм. B. Сторона сечения ах=а2 = 14 см, уголок 50 х 50 х 3 мм.

З а д а ч а 1.4 Для конструкции, состоящей из двух стальных стержней кругло-

го поперечного сечения, определить напряжения в стержнях и полное перемещение узла С. Для стали Е - 200 ГПа.

F-50KH

dj-t,5см

тОг-3,0 СМ

F-90 КН

37

О т в е т ы :

A.Gi = 205 МПа, о2 = -52,2 МПа, 8С = 3,50 мм. Б. oi = 211 МПа, о2 = -160 МПа, 8С = 3,74 мм.

B.oj = 187 МПа, о2 = -184 МПа, Ьс = 5,79 мм.

3 ад а ч а 1.5

Определить наибольшую допустимую нагрузку (F или q) на конструкцию, считая элемент Р абсолютно жестким (не деформирующимся), и перемещения т. С.

Стержень 1 - стальной из прокатных элементов (вид и номер указан на рисунках).

О т в е т ы :

A.qmax = 655 кН/м, 6С = 0,242 мм.

Б.Fmax = 71,3 кН, 6С = 7,44 мм.

в. £7тах = 68,8 кН/м, 5С = 4,54 мм.

3 а д а ч а 1.6 Расчетная нагрузка Р = 200 кН передается на грунтовое основа-

ние через чугунную колонну диаметром d, квадратную подошву со стороной а и нижнее квадратное основание со стороной в. Определить размеры сечений элементов конструкций.

38

Расчетные сопротивления на сжатие: для чугуна R = 50 МПа, для кладки основания R ~ 1,0 МПа, для грунта R = 0,25 МПа.

F-200KH

б

О т в е т : d = 7,2 см, а ~ 45 См, в ~ 90 см.

З а д а ч а 1.7 Ступенчатый кирпичный столб поддерживает перекрытие двух

этажей. Определить наибольшее нормальное напряжение в столбе и укорочение его с учетом собственного веса.

Для кирпичной кладки р = 2000 кг/м3, Е - 4,0 ГПа.

Fj-тин

,1Ю,5и

|F2-t2DKH

-1*0,75м

-7Т77Т777ГГГ7777Г/

О т в е т : а ш х =1,08 МПа, А/= 1,78 мм.

З а д а ч а 1.8

Определить количество болтов диаметром d = 5 мм, необходи- мых для прикрепления днища к баку, заполненному жидкостью с плотностью р = 1000 кг/м3.

39