Сопротивление материалов (примеры и задачи)

тт ггт

бЭпюра М, н-м

гоч гоч

'о

гЭпюра М,н-м

139,7

Рис. 9.3

Напряжение в швеллере от статического действия собственного веса

СИ ^ 20,5-Ю'6

Динамический коэффициент

Динамическое напряжение в швеллере

оd = o „ - K d = 9,95 - 1,71 = 17,0 МПа.

Вес швеллера (Q = q • 1 = 181 • 6 = 1086 Н является нагрузкой на

тросы.

330

ций, особенно длинных и большого веса, а иногда в непроектном положении, важно, чтобы монтажные напряжения были возможно меньшими. Это достигается по крайней мере двумя методами: малым ускорением в начале и окончании подъема (определяется характеристикой двигателя подъемного устройства) и рациональным местом страповки (закрепление подъемных канатов).

Анализ эпюры М (рис. 9.3, в) показывает, что места страповки выбраны не достаточно рационально, т.к. в середине длины швеллера изгибающий момент равен нулю.

Не трудно понять, что изменение расстояния а приведет к появлению изгибающего момента в сечении 3 швеллера. Причем увеличение расстояния а приведет к повышению Мщ^, а уменьшение его - к уменьшению Мтах. Рациональным будет такое соотношение изгибающих моментов: М\=Мг = А/3 (рис. 9.3, г).

Определим оптимальное значение расстояния а. По расчетной схеме

Условие рациональности Мх = М3; 90,5<з2 = 814,5 - 543а или а1 - 9,0 + 6,0а = 0.

331

Решив квадратное уравнение получим а - 1,243 м При а = 1,243 м Мх = М2 = М3 = 90,5 • 1,2432 = 139,8 Н-м, что на

45,9 % меньше, чем при а = 1,5 м. На столько же процентов уменьшится и напряжение в швеллере.

Напряжение в тросе не изменится.

П р и м е р 9.3 На балке, состоящей из двух двутавров № 20, установлена ле-

бедка массой т\ = 0,4 т для подъема груза массой и2 = 5 т на тросе сечением А = 4 см2 (рис. 9.4, а).

Определить для конструкции максимально допустимое ускорение подъема, если расчетное сопротивление для двутавра R = 210 МПа для троса R = 150 МПа.

Собственный вес балки и троса не учитывать.

2м 2М ta

u_ <Qt + <b>-i

=52,97 КН-М

Рис. 9.4

Р е ш е н и е

Момент сопротивления двутавра № 20 - Wx = 184 см . Нагрузкой на трос являются вес поднимаемого груза Q2 = т2 • g: 5000 • 9,81 = 49050 Н = 49,05 кН.

Напряжение в тросе от статического действия веса Q2

а= & = 4 9 > 0 5 ' l f =12,26-107 Па = 122,6 МПа.

СЛ 4-Ю-4

332

Максимальное допускаемое напряжение в тросе c w = R = 150 МПа

Максимальный допускаемый коэффициент динамичности для троса

122,6

По формуле (9.2) Kd = 1 + — = 1,223 , откуда максимальное до-

Ч

пустимое ускорение подъема груза а = (1,223 - 1) 9,81 =2,19 м/с2. Нагрузкой для балки являются вес лебедки Q\ = т\ • g = 400 • 9,81 =

=3924 Н = 3,924 кН и вес поднимаемого груза Q2 = 49,05 кН. Расчетная схема балки и эпюра изгибающих моментов показаны

на рис. 9.4, б.

Напряжение в балке от статического действия нагрузки

Для балки максимальный допустимый коэффициент динамичности

ас т = 143,9 = 459.

Из формулы (9.2) максимальное допустимое ускорение подъема груза а = (1,459 - 1)9,81 = 4,50 м/с2.

Принимаем для конструкции наибольшее допустимое ускорение подъема груза а = 2,19 м/с2, исходя из прочности троса.

З а д а ч а 9.1 Груз массой т = 500 кг поднимается равноускоренно (а = 4 м/с2)

на тросе площадью сечения А = 1 см2, навернутом на шкив диаметром D = 60 см, который насажен на вал диаметром d = 6 см.

Определить наибольшие напряжения в тросе и вале, используя энергетическую теорию прочности.

Вес троса, вала и шкива не учитывать.

333

О т в е т :

Напряжение в тросе о = 69,1 МПа, в вале о = 117,5 МПа.

З а д а ч а 9.2

Противовес подъемника весит 4,2 т. При торможении подъемного механизма противовес испытывает ускорение а = 1,5 м/с2.

Определить диаметры болтов А и В, если расчетное сопротивление материала болта на растяжение R = 32 МПа, наАсрез Rs = 20 МПа.

9.2. Расчет ва ударную нагрузку

Ударной называется нагрузка, которая за короткий промежуток времени достигает значительной велечины.

Поскольку продолжительность удара измеряется долями секунды, образующиеся большие ускорения приводят к большой инерционной силе, воздействующей на элемент конструкции, воспринимающий удар.

В зависимости от характера взаимодействия соударяющихся тел различают продольный (сжимающий или растягивающий), поперечный

334

(изгибающий) и скручивающий удары. Во всех этих случаях степень воздействия ударной нагрузки зависит от массы и скоростей (в момент удара) обоих соударяющих тел. Массой ударяемого элемента можно пренебречь, если она значительно меньше массы ударяющего тела.

В случае сжимающего или растягивающего удара (рис. 9.5), коэффициент динамичности определяется по формуле

<9.4)

где Н - высота падения груза; Д/сх - деформация стержня от статического действия ударяю-

ЕА

А - площадь поперечного сечения; Е - модуль продольной упругости материала стержня).

-d <J

"7177777777

Рис. 9.5

В случае изгибающего удара (рис. 9.6) динамический коэффициент определяется по формуле

335

где Н ~ высота падения груза;

t>CT - прогиб балки в ударяемом сечении от статического действия ударяющей силы.

-Фнj а

Рис. 9.6

Анализ формул для определения Kd показывает, что при внезапном приложении нагрузки (Я = 0) коэффициент динамичности Kd = 2. Если высота падения груза Н значительно больше Д/Ст (vCT), единицей под корнем, в названных формулах, можно пренебречь.

Если известна скорость падения груза Vb начале удара, то коэффициент динамичности можно определить по формуле

где 5СТ = Мст или г)ет в зависимости от вида удара (продольный или поперечный).

Условие прочности по методу предельных состояний при ударном действии нагрузки имеет вид

где Офпах - максимальное динамическое напряжение; аСГ ПИЛ - максимальное статическое напряжение;

Kd - динамический коэффициент, зависящий от вида динамического воздействия (9.4), (9.5).

336

где bd - деформация от динамического действия силы (Ald, vd), 5СТ - деформация от статического действия силы(А/ст, г>ст).

В теории курса доказывается, что величина динамических напряжений зависит от объема подвергающегося удару элемента конструкции (стержня, балки, вала) и качества его материала.

Чем больше объем и чем меньше модуль упругости, тем меньше динамические напряжения в элементе конструкции.

Для снижения динамических напряжений нужно увеличить податливость (деформативность) элемента путем увеличения, например, его длины или замены материала с более низким модулем упругости. Применимы и амартизирующие устройства (прокладки, пружины).

Изложенный выше способ расчета на действие ударной нагрузки не учитывает массы элемента конструкции, который подвергается удару. Вследствие этого формулы (9.4)-(9.8) дают несколько преувеличенное значение определяемых параметров, что идет в запас прочности и жесткости.

Приведем формулу для вычисления динамического коэффициента с учетом массы ударяемого элемента конструкции

Q

где а - коэффициент приведения массы ударяемого элемента к месту удара;

QCB - собственный вес ударяемого элемента; Q - вес ударяющего груза.

П р и м е р 9.4 На стальной стержень длиной / = 1 м квадратного поперечного

сечения (а = 5 см) (рис. 9.7) с высоты Я = 10 см падает груз массой т = 30,6 кг.

337

Проверить прочность стержня без и с учетом его массы, если допускаемое напряжение из расчета на устойчивость составляет R = = 74,1 МПа.

Для материала стержня: Е = 200 ГПа, плотность у = 8,0 т/м3.

СрQ

ш

тгггг?

Рис. 9.7

Р е ш е н и е

В системе СИ: у= 8,0 • 9,81 = 78,5 кН/м3, вес груза Q = 30,6 • 9,81 300 Н.

Решение без учета массы стержня.

Статическое напряжение в стержне от груза весом Q

338

Решение с учетом массы ударяемого стержня.

Собственный вес ударяемого стержня

Qct = j A l = 78,5-103 • 5 • 5-Ю"4 • 1 = 196,3 Н.

Динамический коэффициент (по выражению (9.9)):

Для призматического стержня коэффициент приведения массы к месту удара а = 1/3.

Динамическое напряжение

od = 1>а„ = 523,6-0,12 = 62,8 МПа < R. Динамическая деформация (укорочение)

Ald= А/с • ц = 0,06-10~3 • 523,6 = 31,42-10~3 см = 3,14 мм.

Анализ полученных значений напряжений позволяет сделать заключение, что при продольном ударе учет массы ударяемого элемента конструкции небольшой длины мало влияет на величину напряжения.

П р и м е р 9.5 На стальную балкусостоящую из двух двутавров № 22, длиной

I = 5 м с абсолютно жесткими опорами (рис. 9.8, а) посередине пролета падает с высоты Н = 1 см груз массой т = 510 кг.

Определить в опасном сечении балки максимальное нормальное напряжение и прогиб.

Как изменятся искомые величины, если одна из опор балки будет упругой (цилиндрическая пружина с податливостью Р = 1,6-104 см/Н) (рис. 9.8, б)?

Р е ш е н и е

Для двутавра № 22: Jx = 2550 см4, Wx = 232 см3. Нагрузка на балку Q = т • g = 510 • 9,81 = 5000 Н = 5 кН.

Расчет при жестких опорах (без учета массы балки).

Опасным будет сечение посредине пролета балки, поскольку здесь изгибающий момент наибольший

М т а х = — = 6,25 кН-м.

339