Сопротивление материалов (примеры и задачи)

Р е ш е н и е

Проанализируем характер действия нагрузок. Продольная сила F создает центральное сжатие стойки, а поперечно-действующая распределенная q - изгиб. Значит стержень подвергается продольнопоперечному изгибу.

Геометрические характеристики сечения двутавра № 22: А = 30,6 см2, Wx = 232 см3, Jx = 2550 см4, Jy = 157 см4, ix = 9,13 см, iy = 2,27 см.

Проверим устойчивость стойки от действия сосредоточенной силы F. По условию закрепления концов стойки коэффициент длины р = 2.

Гибкость стойки относительно главных центральных осей

* hi 9,13 ' i, 2,27

Проверку устойчивости следует проводить в плоскости большей гибкости, т.е. относительно оси У.

Для max Ху = 194 по таблице ф = J(X) коэффициент продольного изгиба ф = 0,186.

Наибольшая допустимая нагрузка Fno условию устойчивости (8.9) Fadm = АфТ? = 30,610"4 • 0,186 • 210106 = 119,5 кН, что превышает

действующую нагрузку в 119,5/80 = 1,49 раза - устойчивость стойки обеспечена.

Для проведения расчета стойки на прочность необходимо рассмотреть ее деформированное состояние (рис. 8.11, б).

Прогиб от поперечной нагрузки q (консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой) происходит относительно оси X, в

Полный прогиб стойки определяется по формуле (8.12):

О = — г , в которой эйлерова сила

1-

Рэ

310

Заметим, что при вычислении эйлеровой силы момент инерции берется относительно главной центральной оси сечения перпендикулярной действию нагрузки q, т.е. относительно о с и Х

Полный прогиб конца стойки

В сечениях стойки возникает изгибающий момент как от поперечной нагрузки Мо, так и от продольной - MF (рис. 8.11, в).

В опасном сечении (защемлении) полный изгибающий момент

22

=40,5 + 0,49 = 40,99 кН • м.

Проверка прочности осуществляется по формуле (8.14):

= 26,1 МПа + 174 МПа = 203,1 МПа < R.

Следовательно, прочность и устойчивость стойки обеспечены.

П р и м е р 8.8 Стальная балка, шарнирно-опертая на концах нагружена попе-

речной и продольной нагрузками (рис. 8.12, а). Определить номер двутавра, если R = 210 МПа.

Р е ш е н и е Рассматриваемая балка подвергается продольно-поперечному

изгибу. Сначала надо учесть воздействие поперечной нагрузки, а затем дополнительное от продольной.

311

m a x ^ 0 = — = - J - = 50 КН-М.

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления сечения

Наметим, предварительно, двутавр № 22, для которого: А = 30,6 см , Wx = 232 см3, Jx = 2550 см4, Jy = 157 см4, ix = 5,13 см, iy = 2,27 см.

Прогиб в середине пролета балки ь0 от поперечной нагрузки F в плоскости действия ее определяется по формуле (см. справочник)

Проверим намеченный номер двутавра на воздействие продольной нагрузки Fi, создающей дополнительный прогиб и дополнительный изгибающий момент.

312

Вычислим полный прогиб и от поперечной и продольной сил по формуле (8.12) в плоскости действия поперечной силы, т.е. в верти- кальной плоскости:

»0 _ 0,0131 _ 0 0 1 3 5 ц

F3 3143

где эйлерова сила

Еще раз заметим, что при вычислении F3 использовалось значение момента инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки, т.е. значение Jx.

Максимальный изгибающий момент в опасном сечении балки: (по 8.13):

Мта*. = Л / 0 д п а х + / г З = 50 + 100-0,0135 = 51,31 кН-м.

Проверку прочности предварительно намеченного двутавра проведем по формуле (8.14):

= (32,7 + 221) МПа = 258,7 МПа > R.

Перенапряжение составляет 20,8 %.

Проверим прочность ближайшего номера двутавра с большими геометрическими характеристиками - это №24. Его характеристики:

А = 34,8 см2, Wx = 289 см3, Jx = 3460 см4, Jy = 198 см4, ix = 9,97 см, 'у = 2,37 см.

Повторим вычисления расчетных параметров в установленном ранее порядке.

313

Прогиб от поперечной нагрузки

50•103 -43 д0 = 48•200 10-3460•10 г = 0,00963 м.

Эйлерова сила

3J4'-20040> . 3 4 6 0 4 0 - ' = 4 2 6 4 k R (1-4)2

Полный прогиб балки

4264

Максимальный изгибающий момент

Условию прочности двутавр № 24 удовлетворяет.

Проверим устойчивость балки из двутавра № 24 в горизонтальной плоскости (плоскости наибольшей гибкости, т.к. Jy < Jx).

П р и м е р 8.9 Балка длиной / = 6 м с шарнирными опорами, выполненная из

двух швеллеров № 22, нагружена поперечной равномерно распределенной нагрузкой q = 5 кН/м и продольной силой F (рис. 8.13, а).

314

Определить наибольшую допустимую продольную нагрузку F,

расположив сечение швеллеров рационально (вариант 1, 2 или 3).

Проверить прочность и жесткость балки при принятом варианте,

если /2 = 210 МПа, \)adm = / / 300.

гг,5кн-н

йэпюра v

%

Рис. 8.13

Р е ш е н и е Балка подвергается продольно-поперечному изгибу.

Сначала надо выявить рациональное положение сечения балки по отношению к поперечной нагрузке, т.е. при изгибе. Затем определить наибольшую допустимую продольную нагрузку из условия устойчивости балки при различных вариантах расположения ее сечения. И только после этого проверить прочность и жесткость балки при принятом положении сечения.

Геометрические характеристики швеллера № 22: А = 26,7 см2, Wx = 192 см3, Wy = 25,1 см3, Jx = 2110 см4, Jy = 151 см4, h = 22 см,

b = 8,2 см, хс = 2,21 см.

Эпюра изгибающих моментов от поперечной силы показана на рис. 8.13, б. Максимальная ордината эпюры в середине пролета

Ма9 = 8 = 8 = 22,5 кНм.

Деформированная схема балки показана на рис. 8.13, в. Рассмотрим первый вариант расположения сечения (рис. 8.13, г).

315

Вычислим геометрические характеристики сечения относительно главных центральных осей.

Момент сопротивления Wx = 2-192 = 384 см4. Моменты инерции Jx = 2-2110 = 4220 см4.

Jy = 2 (151 + 26,7-2,212) = 562,8 см4.

Заметим, что по условию закрепления концов балки коэффициент |! = 1.

Анализируя значения гибкостей балки (можно также и моментов инерции сечения) видим, что гибкость относительно оси У больше, чем относительно оси X. Значит, потеря устойчивости возможна относительно оси У, в направлении оси X.

Для Хтоах= ку = 184,8 по таблице <р =/(Х) коэффициент продольного изгиба фу = 0,205.

Наибольшее допустимое значение сжимающей продольной силы из условия устойчивости (8.9) будет

Fadm = А ф Л = 53,4-10"4 -0,205 • 210-106 = 2299-102 Н = 229,9 кН.

Рассмотрим второй вариант расположения сечения (рис. 8.13, д). Геометрические характеристики сечения: А = 53,4 см2, Wx = 2 х

X 192 = 384 с м 3 , 4 2 2 0 см4, Jy = 2(151 + 26,7(8,2-2,21)2) = 2218 см4,

316

Для Али* = Яу = 93,2 коэффициент (р = 0,617.

Наибольшая допустимая продольная сила

Наибольшая допустимая продольная сила

Fadm = 53,4-Ю"4 • 0,617-210-Ю6 = 691,9 кН. Из результатов вычислений следует.

Для продольной сжимающей силы F рациональным будут варианты 2 и 3, т.к. допускаемая нагрузка большая, чем в варианте 1.

Для поперечной силы q рациональным будут варианты 1 и 2, поскольку момент сопротивления в этих случаях больший, чем в варианте 3.

Для дальнейшего расчета принимаем расположение сечения балки по варианту 2, при котором будет наибольшая сопротивляемость как поперечному, так и продольному изгибу.

Проверим жесткость балки в принятом варианте расположения

317

Так как полный прогиб 1,425 см меньше допустимого v>adm = = 600/300 = 2 см, жесткость балки обеспечена.

Проверим прочность балки от совместного действия поперечной и продольной нагрузок.

Максимальный изгибающий момент в балке

Mwwt = Mq + Fo = 22,5 + 692 • 1,425-Ю"2 = 22,5 + 9,81 = 32,36 кН-м. Максимальное нормальное напряжение в балке

Перенапряжение в балке составляет 1,86 %, что допустимо. Таким образом, положение сечения балки по варианту 2 удовле-

творяет требованиям по жесткости и прочности.

П р и м е р 8.10

Деревянная стойка длиной I = 2,8 м прямоугольного поперечного сечения (h = 18 см, b = 10 см) сжимается силой F = 25 кН, приложенной с эксцентриситетом е = 5 см по осиХ(рис. 8.14, а).

Проверить прочность и устойчивость стойки, если R = 17 МПа, Е = 10 ГПа.

гf

7? Т/

'lb

6,

Рис. 8.14

318

Р е ш е н и е

При составлении расчетной схемы стойки силу F необходимо перенести в центр тяжести сечения. Образуются центрально прило-

женная сила F — 25 кН и момент относительно оси У- Му = F • е~ = 25-103 - 5-10 2 = 1250 Н-м = 1,25 кН-м.

Анализируя расчетную схему стойки (рис. 8.14, б) видим, что она подвержена центральному сжатию силой F и поперечному изгибу моментом Му, т.е. продольно-поперечному изгибу.

Вычислим геометрические характеристики стойки. Площадь сечения А = 18-10 = 180 см2.

Главные центральные моменты инерции сечения

Наибольшая гибкость стойки, а это, значит, и наименьшая сопротивляемость потере устойчивости, выявлена относительно оси У. Расчет на устойчивость по формуле (8.9) ведется относительно оси У. При 1у = 194 коэффициент <р = 0,083.

319