Сопротивление материалов (примеры и задачи)

Сечение I-I проведем через стержни АВ и АС (рис. 8.8, б). Уравнения равновесия:

E Z = NJC + NABcosa = NAC -288- 0,866=0, откуда NAC = 249,4 кН.

Второе сечение проводить нет надобности, т.к. вследствие симметрии фермы усилия в наклонных стержнях равны NBc~ N№ = -288 кН.

Таким образом, верхние стержни сжаты, а нижнего -растянуты. После определения усилий в стержнях фермы приступим к под-

бору сечений.

Так как стержень АС растянут, подбор его сечения ведется из условия прочности на растяжение: о = N/ A<R.

Требуемая площадь сечения

л А . М ^ О ' . ц М . и г у . ! ,,88cMi.

R 210106

На один уголок приходится А' = ~ = ~ ~ ~ = 5,94 м.

Принимаем для нижнего пояса сечение из двух уголков 63 * 63 х 5 мм с площадью сечения А = 6,13-2 = 12,26 см2

Подбор сечения для сжатых стержней верхнего пояса ведется из условия устойчивости: a = N IА <<р R.

Задаемся коэффициентом <р = 0,5. Требуемая площадь сечения

Наодин уголок приходится^ ' = А / 2 = 27,43 / 2 = 13,71 см2. Проверим уголок 100 х 100 * 7, для которого: А = 13,75 см2, Jx =

= Jy= 130,5 см4.

Для всего сечения^ = 13,75-2 см2 и, очевидно, что минимальный момент инерции ЛцП = Л = 2 - 130,5 = 261 см4.

Заметим, что Jy будет больше, чем Jx в связи с расстоянием 5.

300

Минимальный радиус инерции сечения

Гибкость стержня АВ

1-3,464-Ю2

'min 3,081

Напомним, что при шарнирном креплении концов стержня коэффициент ц = 1.

При гибкости X = 112,4 по таблице <р —JQC) коэффициент ср = 0,493.

Напряжение в стержне

Допускаемое напряжение в материале стержня фЛ = 0,493-210= 103,6 МПа.

Перенапряжение составляет 1,16 %, что допустимо.

Принимаем для верхнего пояса сечение из двух уголков номер 100 х Ю0 х 7 мм.

П р и м е р 8.6 Элемент конструкции Р, имеющий большую жесткость, укреп-

лен шарнирно в опоре А и поддерживается двумя стержнями длиной / = 2 м и диаметром d = 4 см (рис. 8.9, а).

Определить наибольшую допустимую нагрузку q из условия прочности и устойчивости стержней, если Я = 210 МПа.

Р е ш е н и е

Нагрузка q, приложенная к элементу Р, передается непосредственно на опору А и через стержни 1 и 2 на опоры К и L, где возникают в сумме четыре неизвестные реакции. Поскольку для плоской системы можно составить только три уравнения равновесия, система является один раз статически неопределимой ( 4 - 3 = 1).

301

Рис. 8.9

Для решения задачи нужно знать усилия в стержнях, выраженные через нагрузку q.

Мысленно рассекаем стержни и показываем продольные силы, направляя их с учетом характера деформации (рис. 8.9). Нетрудно понять, что стержень 1 растянут (N\ направлено от сечения), а

Поскольку стержень 2 подвергается сжатию, допускаемое усилие в нем должно быть определено из условия устойчивости (8.9).

302

Наибольшее допустимое усилие во втором стержне из условия устойчивости

N2-А • ц> • R = 12,56-Ю"4 • 0,176 - 210-Ю6 = 464,2-102Н = 46,4 кН. Из равенства (8.11) 2N] ~ 46,4 кН усилие в первом стержне -N\-

= 23,2 кН.

Из уравнения (8.10) наибольшая допустимая нагрузка на систему будет

23,2 • 1,5 + 46,4 • 3 = 4,5?, откуда д = 1744,5 = 38,67 кН/м.

Действующие напряжения в стержнях системы и сопоставление

Допускаемое напряжение во втором стержне < W = Ф R = 0,176 • 210 = 36,94 МПа.

При нагрузке q - 38,67 кНУм прочность и устойчивость стержней обеспечена.

Задачи для аудиторного и самостоятельного решения

З а д а ч а 8.1

Стальная стойка длиной I загружена сжимающей силой F. Условия закрепления стойки в главных плоскостях сечения одинаковы.

303

Подобрать номер прокатного профиля (размеры поперечного сечения) и определить коэффициент запаса устойчивости, если R = 210 МПа.

• У

W—-X

От в е т ы :

A. Швеллер № 22, п = 1,65.

Б. А = 12 см, Ь = 9,24 см, п = 1,39. B. Двутавр № 27, п = 1,48.

З а д а ч а 8.2

Стальная стойка центрально нагружена сжимающей силой F. Способы закрепления концов стойки в главных плоскостях сечения различны (см. рис.).

Расположив сечение стойки рационально по отношению к осям ХУ, определить наибольшую допустимую нагрузку F и коэффициент запаса устойчивости, если R = 210 МПа.

Иif

304

От в е т ы :

A.Положение 1, Fmax = 439 кН, п = 2,64. Б. Положение 1, ivax = 216,3 кН, п = 1,38.

B.Положение 2, Fmax = 462 кН, п = 1,45.

З а д а ч а 8.3 Жесткая балка поддерживается стальными стержнями круглого

поперечного сечения диаметром d.

Проверить прочность и устойчивость стержней, если R = 210 МПа.

двух стальных стержнях длиной / = 2,2 м, выполненных из равнополочного уголка 70 х 70 х 7 мм.

Определить расстояние «а», при котором в стержнях будут максимально допустимые внутренние силы, если R = 210 МПа. Какова при этом будет нагрузка q!

UtjU

9 Г12=2,2м

})hft

—у

1=бм

О т в е т :

max TV, = 197,8 кН, max N2 52,4 кН, q = 89,4 кН/м.

30:5

З а д а ч а 8.5 Какое из приведенных на рисунке сечений центрально сжатой стой-

ки, имеющих одинаковую площадь сечения А - 23,4 см2 (для равнополочного уголка Л = 22,8 см2), обладают наибольшей и наименьшей несущей способностью и каково соотношение допустимых нагрузок?

О т в е т :

Наибольшую несущую способность имеет квадратное коробчатое сечение (F = 446,7 кН), наименьшую - круглое сплошное сечение (F= 367,6 кН), т.е. на 17,7 % меньше.

З а д а ч а 8.6 Изменится ли напряжение в стальной стойке, центрально сжатой

силой F = 140 кН, если посередине высоты стойки установить дополнительную опору? Изменится ли запас устойчивости? Можно ли увеличить нагрузку F7

Для стали i? = 210 МПа.

а5

F-ткн . F-nom

ч к

d-7cn

От в е т ы :

1.Напряжение (а = 36,4 МПа) не изменится.

306

2. Коэффициент запаса устойчивости увеличится с п =1,35 до

п= 2,65 в верхней части и до п = 5,42 в нижней части стойки.

3.Нагрузку можно увеличить до F = 269 кН.

З а д а ч а 8.7

В каком варианте расположения стержней системы, имеющих одинаковую площадь сечения, допустимая нагрузка F будет наибольшей?

От в е т :

Вварианте 1, т.к. сжимаемый стержень (1) будет короче (гибкость меньше) и допускаемое усилие в нем, на систему, будет большим.

8.2. Продольно-поиеречиын изгиб

Изгиб прямого стержня называется продольно-поперечным, если к нему одновременно приложены продольная и поперечная нагрузки (рис. 8.10, а).

i^miп

Z

1/2 Ъ 1/2

Рис. 8.10

При расчете массивных элементов конструкций, обладающих большой жесткостью, можно использовать принцип независимости действия сил, суммируя отдельно напряжения от изгиба и от сжатия

(о = M/W 4- Ft А).

307

Для стержней, обладающих значительной гибкостью, принцип независимости действия сил не применим. Необходимо рассматривать деформированную схему стержня (см. рис. 8.17, а), у которого Do - прогиб от поперечной нагрузки, a uF - дополнительный прогиб от продольной сжимающей силы F.

Задача определения полного прогиба и и изгибающего момента М является довольно затруднительной (особенно при сложной нагрузке). В таких случаях используются приближенные более простые приемы расчета. Принимают, что прогибы v0 и v f являются независимыми и что форма упругой линии балки близка к синусоиде.

Исходя их этих допущений получена формула для определения полного прогиба при продольно-поперечном изгибе

(8.12)

J— момент инерции сечения балки, зависящий от ее положения по отношению к поперечной нагрузке.

Это может быть Jm i n (рис. 8.10, б) или ./тах(рис. 8.10, в).

Если используется Jmin -эйлерова сила равна критической F3 = Fcr.

В поперечных сечениях стержня, подвергающегося продольно - поперечному изгибу, возникают изгибающие моменты как от поперечных нагрузок М0, определяемых обычным способом, так и дополнительные от продольной - MF= F • и. Полный изгибающий момент М = М0 + MF.

В изгибаемых балках с шарнирными опорами максимальный изгибающий момент А/о_тах при симметричной нагрузке имеет место по середине пролета и вблизи середины - при несимметричной.

Вконсольной балке Мо)11Шх - в защемлении. Максимальный изгибающий момент в балке

308

Проверка прочности при продольно-поперечном изгибе осуще- ствляется по нормальным напряжениям, возникающих в крайних

точках сечения с наибольшим изгибающим моментом, по формуле

Следует заметить, что нормальные напряжения о нелинейно связаны с продольной силой F и при приближении ее величины к эйлеровой силе напряжения будут стремительно возрастать, достигая опасных значений. Поэтому продольная сжимающая нагрузка должна быть в пределах F < 0,8F3.

При большой продольно сжимающей силе F необходима проверка стержня на устойчивость в направлении, свободном от поперечных нагрузок по условию (8.9).

П р и м е р 8.7 Стальная стойка из двутавра №22 нагружена сосредоточенной

продольной силой F и равномерно распределенной q (рис.8.11, а). Проверить прочность и устойчивость стойки, если R = 210 МПа.

Эпюра М,кН-м

"о j, /+F-v

Рис. 8.11

309