Сопротивление материалов (примеры и задачи)

Заметим, что в пределах расчетных участков N = const. В сечении где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре N имеется «скачек» на величину этой силы. Из эпюры N следует, что наиболее нагруженным является третий участок -N3 = N,,as.

Нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях на расчетных участках элемента, определяются по формуле (1.1).

Сечение I.

щих мерах (Н, кН, МН, мм, см, м). В формулы напряжений и деформаций они должны подставляться в н ь ю т о н а х и м е т р а х .

По полученным значениям о строится эпюра нормальных напряжений (см. рис. 1.3, г). Правило построения такое же, как и для эпюры N. В пределах расчетных участков о = const, т.к. ЛГ = const и А = const. В сечении, где приложены сосредоточенные силы F, а также где изменяются размеры поперечного сечения, на эпюре а наблюдается «скачек». Из эпюры о следует, что наиболее напряженным является третий участок - сь = отах.

П р о в е р к а п р о ч н о с т и выполняется по условию (1.2). Наибольшее нормальное напряжение возникает на третьем расчетном участке.

Т а * как отах = 200 МПа < R = 210 МПа, прочность элемента пО, нормальным напряжениям обеспечена.

20

Значения о т н о с и т е л ь н о й продольной деформации на участках элемента вычисляются по формуле (1.6).

Условие жесткости элемента конструкции выполняется, т.к.

21

Рис. 1.4

Р е ш е н и е

Поскольку нагрузка действует по продольной оси Z колонны, последняя подвергается деформации сжатия.

На рассматриваемой колонне исходя из характера нагрузки выделяются три расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I...III.

Длинам участков I придается индекс номера участка.

Колонна в своем основании имеет опору, в которой возникает

0ТкУДа Bz = 984 кН.

23

р а с с м а т р и в а е м а я система является статически определимой.

Для определения продольной силы на участках колонны вос- п о л ь з у е м с я вторым приемом, без показа «отсеченных» частей, н о и с п о л ь з у я вышеизложенное правило: N=~LFi.

Контроль правильности вычислений N таков: при Z = 3,7 м по модулю У3 = RB = 984 кН.

Примечание. Для вычисления N можно было сечения назначать со стороны опоры.

По полученным значения N строится эпюра продольных сил - эп. N (рис. 1.4, б). Отрицательные значения N обычно откладываются влево от оси эпюры.

На участке колонны, где распределенная нагрузка q = 0, Л' = const,

ана участке, где q Ф 0, N Ф const (прямая наклонная).

Всечениях, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре N имеется «скачек» на величину этой силы.

Р а з м е р ы поперечных сечений на каждом участке колонны определим из условия прочности по нормальным напряжениям (1.2):

24

На рис. 1.4, б показана схема запроектированной колонны.

Для построения эпюры напряжений необходимо вычислить значения а в характерных сечениях колонны.

25

По полученным значениям о строится эпюра напряжений (эп. а), показанная на рис. 1,4, г.

Объясните «скачек» на эпюре напряжений в сечении D. Значения абсолютных п р о д о л ь н ы х деформаций на участках

колонны вычислим, используя формулы (1.3) и (1,4).

Обратите внимание, что на первом участке колонны продольная сила N складывается из сосредоточенной Fx и равномерно распре-

Распределенная нагрузка qi для второго участка колонны действует как сосредоточенная. Поэтому на втором участке

-0,0154-10'2 -0,00806 • 10~2 = -0,0235 • 10~2м = -0,235 мм.

26

Для определения деформации участков колонны можно использовать эпюру напряжений. Особенно это удобно на участках с распределенной нагрузкой.

Деформация

А/ - — - — -SL

~ ЕА~ Е~~Ё'

где ю - площадь эпюры напряжений.

Так, для участка 1 (где эпюра напряжений является трапецией)

исходя из значений деформаций А/ его участков.

Для проведения расчета на колонне выбирается сечение, перемещение которого известно - это опора, где перемещение равно

нулю (Ьв = 0).

Перемещения остальных граничных сечений вычисляются последовательным добавлением к начальному перемещению деформаций последующих участков колонны.

5В = 0.

SD = 5В + А/3 = 0 - 0,235 = -0,235 мм.

8С = + А/2 = -0,235 - 0,392 = -0,627 мм.

= 5с + А/, = -0,627 - 0,183 = -0,811 мм.

По вычисленным значениям 8 строится эпюра перемещений (эп. 5), приведенная на рис. 1.4, д.

Обратите внимание, что на участке колонны, где q Ф 0, перемещение наращивается по закону п а р а б о л ы .

Из эпюры перемещений следует, что перемещение свободного сечения составляет § = 0,811 мм. Это же число определяет и полную реформацию колонны.

27

П р и м е р 1.3 Определить размеры поперечных сечений стержней металло-

деревянной фермы. Стержни 1 и 2 - деревянные, квадратного поперечного сечения; стержень 3 - стальной, из двух равнополочных уголков (рис. 1.5, а).

Расчетные сопротивления: для стали R = 210 МПа, для древесины Rc = 13 МПа.

Р е ш е н и е

Нагрузка F через стержни 1 и 2 передается на опоры А я В, где возникают три реакции (Ах, Ау, Ву), которые могут быть определены из уравнений равновесия (LX - 0, £ 7 = 0, 2 Ж = 0).

Значит, эта система является статически определимой. Поскольку стержни фермы соединяются между собой при по-

мощи шарниров, действующая нагрузка может вызвать в них только продольные силы N, т.е. они подвергаются деформации растяже- ния-сжатия.

Рассматриваемая система относится к случаю, когда внутренние силы в стержнях ее можно определить без нахождения опорных реакций.

Для определения усилий в стержнях фермы используется метод П о которому ферма «рассекается» на две части, так чтобы

Ременно рассекалось не более трех стержней.

28

Первое сечение проведем, как показано на рис. 1.5, б, и составим уравнения равновесия для узла С.

Искомые усилия Nu N2 направим от сечения (считаем растягиваюшими).

ЕЯ> МсоэЗО0 - JV,cos45° + 24 = 0; i r = -N2cos60° -Mcos45 - 40 = 0.

Решив уравнения получим: Nj = -33,1 кН, М = -174.9 кН, стержни 1 и 2 сжаты.

Второе сечение проведем, как показано на рис. 1.5, в. Искомое усилие Лз направим от сечения, а найденное Ni к сечению, т.к. стерясень 2 сжат.

Уравнение равновесия узла В.

~Ni + N2COS30° - 0,

откуда ЛГз = 174,9 • 0,866 = 151,5 кН.

Стержень 3 испытывает деформацию растяжения.

Из условия прочности (1.2) определим значения площадей поперечных сечений стержней фермы.

Для первого стержня

У, _ 33,1-10,3 _3 2 2 Rc ~ 13-106 = 2,55 -10 M =25,5 см ,

сторона сечения a l - ^ / A = V25,5 = 5,05 см. Для второго стержня

сторона сечения аг = ^134~5 = 11,6 см. Конструктивно принимаем а; = а2 - 12 см.

29