Раздел 8. ПРОДОЛЬНЫЙ
ИПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБЫ
Впредыдущих разделах пособия рассматривался расчет элементов конструкций, для которых основным являлся вопрос о прочности или о жесткости. При этом напряжения и деформации линейно зависали от нагрузки, т.е. с ростом нагрузки они увеличивались постепенно без резких скачков.
Однако встречаются случаи, когда при постепенном увеличении нагрузки резко изменяется форма равновесия элемента конструкции, вследствие чего может произойти его внезапное разрушение.
Втаких случаях наряду с проблемой прочности существует проблема устойчивости, т.е. сохранения под действием нагрузки первоначальной формы равновесия.
Несущая способность элемента конструкции может быть исчерпана потерей устойчивости задолго до потери прочности. При этом утрачивается первоначальная форма равновесия.
Искривление стержня, вызванное только продольными сжимающими силами, называется продольным изгибом.
Продольно-поперечный изгиб стержня происходит в случае действия как продольных сжимающих, так и поперечных изгибающих сил.
8.1.Продольный изгиб (устойчивость сжатых стержней)
Вмеханике твердого тела различают три формы равновесия твердого тела: устойчивая, безразличная и неустойчивая. Эти формы равновесия присущи сжатым гибким (длинным, тонким) стержням (рис. 8.1).
Рис. 8.1
При незначительной сжимающей силе F, меньше некоторого к р и т и ч е с к о го значения Fcr, первоначальная прямолинейная форма с т е р ж ня является устойчивой (рис. 8.1, а).
При F = Fcr сжатый стержень находится в состоянии безразличного равновесия, когда возможны как первоначальная прямолинейная форма равновесия, так и несколько близких к ней криволинейных (рис- 8.1,6).
Если F > Fcn первоначальная форма стержня становится неус- т о й ч и в о й, происходит интенсивное нарастание деформации изгиба (прогиб) (рис. 8.1, в).
Устойчивость - способность стержня под действием сжимающей нагрузки находиться в состоянии упругого равновесия и сохранять первоначальную форму.
Критическая сила - значение осевой сжимающей нагрузки, при которой стержень будет в состоянии безразличного равновесия (критическое состояние), а малейшее превышение ее приведет к интенсивному росту прогибов (к потере устойчивости).
Критическая нагрузка является опасной и считается разрушающей. Разрушение происходит внезапно.
Допустимая (безопасная) сжимающая нагрузка на стержень со-
ставляет некоторую часть критической: |
|
Fadm = Fc r lns , |
(8.1) |
где Fadm - допустимая нагрузка; Fcr - критическая нагрузка;
п„ - коэффициент запаса устойчивости.
Критическая нагрузка для сжатого прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения определяется по формуле Эйлера:
(8.2)
где Е - модуль упругости материала стержня;
Лип - минимальный момент инерции сечения относительно главных центральных осей;
М- - коэффициент приведения действительной длины стержня к расчетной (зависит от способа закрепления концов стержня);
/ - длина стержня.
Непосредственно формула Эйлера была получена для случая стержня с шарнирными опорами. Влияние других видов опор Ф.С. Ясинский предложил учитывать коэффициентом р, значения которого приведены на рис. 8.2. Пунктиром показана ось стержня при потере устойчивости.
сг сг
/
Рис. 8.2
На практике стержни могут иметь различные способы закрепления концов стержня в направлении главных центральных осей сечения ХУ.
Если моменты инерции сечения относительно главных центральных осей не равны между собой, то продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т.е. стержень будет искривляться перпендикулярно оси, относительно которой момент инерции будет меньшим.
Напряжение, вызванное в стержне действием критической силы, так же называется критическим асг и определяется исходя их фор-
где X = — — гибкость стержня (введено Ясинским);
Jmin
гшт = |
— минимальный радиус инерции сечения. |
Г и б к о с т ь стержня - геометрическая характеристика - зависит от о с о б а з а к р е п л е н и я его концов, длины, формы и размеров сечения.
С П ф о р м у л а |
Эйлера (8.3) применима при условии, что критическое |
ж е н и е |
н е превышает предела пропорциональности материала |
<о т.е. при работе материала в упругой стадии. Обычно это
ус л о в и е выражается через гибкость стержня и записывается в виде
где Хи ~ предельная гибкость, ниже которой формула Эйлера не применима.
Предельная гибкость зависит от механических свойств материала. Для стали Хи = 100, для древесины Хи = 70.
В тех случаях, когда X < Хи - потеря устойчивости происходит за пределами упругости материала, - расчет на устойчивость ведется по зависимости (формуле) Ясинского:
где а и в - коэффициенты, полученные экспериментальным путем и зависящие от механических свойств материала. Так для стали а = 310 МПа, в = 1,14 МПа; для древесины а = 28,7 МПа, в = 0,19 МПа
Критическая нагрузка в этих случаях равна
Fcr = acr А. |
(8 . 6) |
Различают три категории гибкости стержня (для стали): |
|
1. Стержни большой гибкости X > 100, расчет которых |
ведется |
на устойчивость по формуле Эйлера. |
|
2.Стержни средней гибкости X = 50... 100, расчет которых ведется на устойчивость по формуле Ясинского.
3.Стержни малой гибкости X < 50, расчет ведется на прочность при сжатии (потеря устойчивости не происходит).
Условие прочности для стержня малой гибкости имеет вид
А
где Rc- расчетное сопротивление материала на сжатие.
Стержни средней и большой гибкости рассчитываются на устойчивость по формуле
ст = ^ ~ < R C , |
(8.8) |
ns |
|
где ns - коэффициент запаса на устойчивость.
Этот коэффициент учитывает кроме чистого изгиба еще ряд других факторов: возможный небольшой эксцентриситет нагрузки, небольшое начальное искривление стержня, неоднородность материала и др. Для данного материала коэффициент ns не является постоянной величиной, а зависит от гибкости стержня. Так для металлов ns= 1,5...3,0, для древесины ns = 2,5...3,2.
Для удобства проведения расчета сжатых стержней строитель-
ных конструкций принят общий вид условия устойчивости |
|
v = ?-<4>-Rc, |
(8.9) |
А |
|
где <р - коэффициент уменьшения расчетного сопротивления материала стержня (коэффициент продольного изгиба), зависящий от материала, гибкости стержня, принятого коэффициента запаса устойчивости.
Значения коэффициента ср изменяются от 0 до 1 и для различных материалов в зависимости от значения гибкости X приводятся в виде таблиц (табл. 8.1, 8.3) или графиков (рис. 8.3).
Таким образом, расчет на устойчивость сводится к недопущению потери первоначальной формы равновесия сжатого стержня. Достигается это уменьшением допустимых нормальных напряжений, против расчетных значений Rc. Причем для каждого значения гибкости стержень будет иметь свое допускаемое напряжение.
Подбор сечения из формулы (8.9) затруднителен тем, что при неизвестной площади сечения А невозможно вычислить гибкость X и получить значение <р. Поэтому рекомендуется предварительно задаться значением ф (для начала ф = 0,5 — середина интервала) и определить из (8.9) площадь сечения А, затем X и ф.
Если выбранный и вычисленный коэффициенты ф близки - проверяют условие (8.9).
284
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
8.1 |
|
|
ср = f(k) |
для ст. 3 |
|
|
|
X |
Ф |
X |
Ф |
X |
Ф |
|
0 |
1,000 |
80 |
0,710 |
160 |
0,267 |
|
10 |
0,987 |
90 |
0,638 |
170 |
0,238 |
|
20 |
0,964 |
100 |
0,570 |
180 |
0,214 |
|
30 |
0,935 |
110 |
0,507 |
190 |
0,193 |
|
40 |
0,901 |
120 |
0,449 |
200 |
0,176 |
|
50 |
0,860 |
130 |
0,395 |
210 |
0,160 |
|
60 |
0,816 |
140 |
0,345 |
220 |
0,147 |
|
70 |
0,768 |
150 |
0,302 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
8.2 |
|
|
Ф = /Р») для древесины |
|
|
|
X |
<Р |
X |
Ф |
X |
Ф |
|
0 |
1,000 |
80 |
0,469 |
160 |
0,117 |
|
10 |
0,992 |
90 |
0,370 |
170 |
0,104 |
|
20 |
0,968 |
100 |
0,300 |
180 |
0,093 |
|
30 |
0,927 |
110 |
0,248 |
190 |
0,083 |
|
40 |
0,872 |
120 |
0,208 |
200 |
0,075 |
|
50 |
0,800 |
130 |
0,178 |
210 |
0,068 |
|
60 |
0,712 |
140 |
0,153 |
220 |
0,062 |
|
70 |
0,608 |
150 |
0,133 |
|
|
|
Значительное их различие требует продолжение расчета (см. примеры).
Расхождение между о и (рR0 не должно превышать 3-5 %.
Сечение стержня, «работающего» на устойчивость, будет рациональным, если минимальный момент инерции Jmin будет возможно большим, при возможно меньшей площади сечения А. Этому требованию удовлетворяют трубчатые, коробчатые сечения, а также не- к о т о р ы е сечения, составленные из прокатных профилей (швеллеров, уголков).
Если у сечения главные моменты инерции равны (Jx = Jy) - стержень будет равноустойчивым.
П р и м е р 8.1 Стальная стойка квадратного поперечного сечения (а = 7см) дли-
ной / = 3 м центрально нагружена сжимающей силой F (рис. 8.4, а). Нижний конец стойки защемлен, а верхний: в направлении главной центральной оси Х-защемлен, в направлении оси У - свободен.
Определить наибольшее допустимое значение силы F, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа, а коэффициент запаса устойчивости ns = 2.
a z
Рис. 8.4
"Решение
Поскольку стойка находится под действием сжимающей силы, она должна быть рассчитана на устойчивость, т.е. определено такое значение силы F, при которой не произойдет потеря устойчивости
(искривление).
Вычислим необходимые геометрические характеристики сечения стойки: площадь А = 7-7 =49 см2, а моменты инерции относи-
|
- т г |
а ' а 3 |
7 , 4 |
4 |
тельно главных центральных осей JX = /у = |
|
= — |
= 20 0 см , ра- |
I «^w v) |
/ 200 |
|
|
|
диусы инерции /х = /у = J—-j— = J - ^ - = 2,02 см. |
|
|
По размерам сечения стойка равноустойчива (Л = 1у), но верхний конец стойки закреплен в направлении главных центральных осей сечения различными способами.
Гибкость стойки определяется по формуле
Относительно оси У (в направлении оси X) оба конца стойки защемлены. В соответствии с закреплением коэффициент приведения длины Цу = 0,5. Относительно осиХ(в направлении оси У) нижний конец стойки защемлен, верхний свободный - рх = 2.
На рис. 8.4, б и в пунктиром показаны положения оси стойки в случае потери устойчивости.
Гибкости стойки относительно главных центральных осей будут
, v |
|
0,5-300 |
ц х - 1 |
2-300 |
iy |
2,02 |
= /H.J, А _ = |
х |
= |
2,02 |
|
* |
г |
|
Определим критическую силу для стойки, используя формулы (8.2) и (8.5), (8.6) в зависимости от значений гибкостей. Для стальной стойки формула Эйлера (8.2) применима, когда предельная гибкость Ащ >100.
Поскольку для данного случая относительно оси X гибкость Х> 100, критическая сила определяется по формуле (8.2):
сКх) = |
%2EJX |
3,142-200-Ю9-200-Ю"8 |
т т |
|
|
= 1,0955• 10 Н = 109,6 кН. |
Относительно оси У гибкость X < 100 - |
используются формулы |
Ясинского (8.5), (8.6). |
|
|
|
|
|
Критическое напряжение осг = а-в'к |
= 310-1,14-74,3 = 225,3 МПа. |
Критическая сила Fcr = осгА |
= 218,5-Ю6 |
• 49-Ю"4 = 1,0707-Ю2 Н = |
= 1104 кН. |
|
|
|
|
|
Определим наибольшие допустимые значения сжимающей силы F, |
используя коэффициент запаса устойчивости. |
Относительно оси X Fx |
|
|
Fcr(x) |
Ю9 6 |
adm |
= —n—s |
= |
2— = 54,8 кН. |
Относительно оси У Fv |
adm |
= |
cr{y) |
-1121 = 552,5 кН. |
|
|
|
ns |
|
2 |
Принимаем в качестве наибольшей допустимой сжимающей силы ее наименьшее значение - Fadm = 54,8 кН.
В случае превышения допустимой нагрузки стойка потеряет устойчивость и искривится в плоскости ее наибольшей гибкости, т.е. относительно осиХ(в направлении оси У).
Действующее напряжение в стойке
v^Eadm.- 54,8-10 = 2,118• 10^Па = 11,18 МПа <R.
А49-10
Обратим внимание, что действующее напряжение <5 значительно меньше расчетного сопротивления R. Такое уменьшение о необходимо для достижения устойчивости стойки.
Примечание. В случае различных значений Jx, ,/у, и цу потеря устойчивости стойки произойдет в плоскости наибольшей гибкости.
П р и м е р 8.2 Стальная стойка длиной / = 5 м, составленная из двух швеллеров
№ 12, центрально нагружена сжимающей силой F = 190 кН (рис. 8.5). Определить, каким запасом на устойчивость обладает стойка при
условии равноустойчивости.
Схема закрепления концов стойки показана на рис. 8.5.
