Сопротивление материалов (примеры и задачи)

Как видно по результатам вычислений, нормальные напряжения наибольшие в точке наиболее удаленной от нейтральной оси (точка Л).

Эпюра нормальных напряжений для третьего сечения показана на рис. 7.11, в.

Условие прочности полосы обеспечено, т.к. omaj = 182,3 МПа <R.

П р и м е р 7.5

Короткая бетонная колонна сжимается продольной силой F, приложенной в точке К (рис. 7.12, а).

Определить: наибольшее допустимое значение этой силы, если Rc = 24 МПа, Rt = 1,6 МПа, положение нейтральной оси, построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

Эпюра О^МПа

'"ясг)-®!^

Рис. 7.12

Р е ш е н и е

Внешняя сила F действует на колонну параллельно ее продольной оси Z, но с эксцентриситетом: xF = -20 см, yF = -15 см. Вследствие этого колонна подвергается внецентренному сжатию.

250

Она, пересекая главные центральные оси ХУ, делит сечение на две зоны: сжатую (нижнеправую) и растянутую (верхнелевую), и лежит по другую сторону от центра тяжести сечения, чем точка приложения силы F.

Для хрупких материалов наиболее опасными являются растягивающие напряжения. Максимальные растягивающие напряжения будут в т. В сечения, как наиболее удаленной от нейтральной оси в растянутой зоне.

Составим выражение для определения напряжения в т. В:

Внимание! Проследим знаки слагаемых в составленном выражении. Первое слагаемое со знаком «минус», т.к. действующая сила F сжимает колонну. Это относится к любой точке сечения. Второе и третье слагаемые имеют знак «плюс», т.к. в т. В оба изгибающих момента создают растягивающие напряжения (см. расчетную схему).

Условие прочности для т. В будет

Omax = ов - 12,6F < R, = 1,6- 10б, откуда наибольшая допустимая нагрузка на колонну, исходя из растягивающих напряжений, равна

Вычислим наибольшие сжимающие напряжения, которые будут в т. С, как наиболее удаленной от нейтральной оси в сжатой зоне:

252

Таким образом, наибольшая допустимая нагрузка на колонну со- 1аки^ ^ 227,0 кН, при которой будет обеспечена прочность как

СТапастягиваюхдим, так и по сжимающим напряжениям.

П° Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 7.12, а, из ко-

овидно, что при внеценгренной нагрузке нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно.

Заметим, что полюс нагрузки F (точка К) лежит в большей по площади зоне напряжений (сжатой). Это постоянная закономерность.

Координаты ядра сечения определим из (7.11), задавшись поло-

жениями нейтральной оси, совпадающими со сторонами сечения колонны (рис. 7.12, в)

Нейтральная ось в положении 1-1.

Отрезки, отсекаемые нейтральной осью в системе главных центральных осей, будут ^01 = 25 см, х01 = оо.

Ядро сечения показано на рис. 7.12, в.

Обратите внимание, что точка К (полюс силы F) лежит за пределами ядра сечения, отчего нейтральная ось проходит по сечению, разделяя его на две зоны: сжатую и растянутую.

Если т. К будет приближаться к центру тяжести сечения, то нейтральная ось будет удаляться от его. При положении т. К в пределах ядра сечения нейтральная ось уйдет за пределы сечения и напряжения по всему сечению будут одного знака.

253

П р и м е р 7.6

Определить на попере ч н о м сечении колонны (рис. 7.13, а) точку приложения сжимающей силы F, наиболее удаленной от центра тяжести по оси У, при которой в колонне не будет растягивающих напряжений.

Построить ядро сечения и эпюру напряжений (в долях от F).

Рис. 7.13

Р е ш е н и е

Поскольку сила F должна быть приложена к колонне вне ее центра тяжести сечения, колонна будет подвергаться внецентренному сжатию.

Для отыскания точки приложения силы F воспользуемся формулами (7.12):

Л

ХГ = —

Уо

Для определения необходимых геометрических характеристик рассматриваемое сложное сечение разделим на четыре простые фигуры: два прямоугольника и два треугольника (см. рис. 7.13, а).

Площадь сеченияЛ = 30 • 70 + 16 • 60 + 2 • -•5' 6 ° = 3960 см2

2

254

Ордината центра тяжести сечения (относительно вспомогательной оси Хв)

Оси ХоУо являются главными центральными осями сечения, т.к.

Радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей

Точка приложения силы F связана с положением нейтральной оси. Поскольку сила F находиться на оси У0, нейтральная ось должна быть ей перпендикулярна.

Для выполнения условия задачи (в сечении не должно возникать растягивающих напряжений) нужно задаться двумя положениями нейтральной оси, совпадающими с верхней и нижней гранями сечения, и определить ординату точки приложения силы F.

Вположении нейтральной оси по верхней грани сечения (рис. 7.13, 6)

ееордината равна у0 = 60 - 3,86 = 56,14 см, а ордината точки приложения силы F будет

255

По условию задачи принимаем положение точки приложения силы F (точка К) выше центральной осиХ0 на расстоянии^ = 16,88 см

положений нейтральной оси, касающихся контуров сечения не пересекая его. Для каждого ее положения вычисляются координаты х0, уо, а затем соответствующие данному положению нейтральной оси координаты точки приложения силы F, которые являются координатами точек ядра сечения (xF = хя, yF = уя).

Для вычисления координат точек ядра сечения воспользуемся формулами (7.12).

256

Нейтральная ось в положении 2-2 отсекает на главных центральных осях ХоУо отрезки, координаты которых (х<>2, >'02) необходимо определить используя подобие образовавшихся треугольников: ДВЕ, ДИЛ, ДОП (см. рис. 7.13, б).

Положение нейтральной оси 5-5 симметрично положению 3-3, а положение 6-6 симметрично 2-2.

По полученным значениям хя, Уя построено ядро сечения (рис. 7.13, б).

Как видно, по ядру сечения наиболее удаленной от центра точкой является точка 4. Приложив силу F в этой точке, получим наиболее допустимый эксцентриситет ее (max yF = 16,88 см), при котором в сечении будут напряжения одного знака. Это подтверждает ранее сделанный расчет.

В заключение заметим, что прикладывая нагрузку F в пределах ядра сечения получим по всему сечению напряжения одного знака.

Задачи для аудиторного и самостоятельного решения

З а д а ч а 7.6

Стальная полоса, имеющая конструктивные элементы (отверстия, выточки, выступы) нагружена растягивающими силами F, направленными по продольной оси Z.

257

Определить наибольшее нормальное напряжение в полосе. Построить эпюру нормальных напряжений в отмеченных сечениях.

5

О т в е т ы :

A. В сечении I о = 150 МПа;

всечении II от ах =183,9 МПа, оП1т = 73,5 МПа. Б. В сечении I отах = 209 МПа; от ш = 24,0 МПа;

всечении II о = 160,3 МПа.

B.В сечении I отах = 200 МПа; omin = 50 МПа;

всечении II о = 171,3 МПа.

З а д а ч а 7.7 Определить наибольшее допустимое значение сжимающей силы

Fadm, приложенной в точке К поперечного сечения короткой бетонной колонны, если R, = 1,4 МПа, Rc = 20 МПа.

Построить эпюру напряжений и ядро сечения.

а

вУ

Щ= t ш

1Z 7/.

258

О т в е т ы :

Определить положение точки приложения сжимающей силы F, наиболее удаленной от центра тяжести сечения по оси У, при котором в сечении колонны не будет растягивающих напряжений.

Построить ядро сечения и эпюру напряжений (а = / ( F ) ) .

З а д а ч а 7.9

В точках А и В колонны прямоугольного поперечного сечения приложены одинаковые силы F.

Как изменится наибольшее сжимающее напряжение в колонне, если одну из них удалить.

259