Сопротивление материалов (примеры и задачи)

Площадки, по которым отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а действующие по ним нормальные напряжения - главными нормальными и обозначаются с ь 02, Оз, причем

0[ > 02 > Оз-

По совокупности главных напряжений различают три вида напряженного состояния материала: о б ъ е м н о е , когда все три главных напряжения отличны от нуля (см, рис. 3, б), п л о с к о е , когда два главных напряжения отличны от нуля (см. рис. 3, в), и л и н е й н о е, когда отлично от нуля лишь одно главное напряжение (см. рис. 3, г).

Принципы составления условия прочности элемента конструкции для линейного и сложного (плоского и объемного) напряженного состояния различны.

В случае линейного напряженного состояния максимальное нормальное напряжение огаах (ст£ или о3) сравнивается с соответствующим расчетным сопротивлением R, которое сравнительно легко устанавливается при испытании материала на растяжение (сжатие).

Условие прочности при линейном напряженном состоянии имеет вид Omax < R •

Для случаев сложного напряженного состояния критерии прочности экспериментально не установлены из-за очень большого объема и сложности испытаний.

В настоящее время задача составления условия прочности при сложном напряженном состоянии решается с помощью т е о р и й п р о ч н о с т и , каждая из которых основана на определенной гипотезе, объясняющей причину разрушения материала.

11

При оценке прочности материала в случае сложного напряженного состояния вводится понятие расчетного напряжения odes, которое определяется по принятой теории прочности, и сравнивается с расчетным сопротивлением материала R:

Odes < & •

Для пластичных материалов используется третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений) и четвертая энергетическая (теория удельной потенциальной энергии формоизменения).

В частном случае плоского напряженного состояния - ч и с т о м с д в и г е , когда в поперечном сечении стержня возникают только касательные напряжения, условие прочности используется в виде

^тах — Ду >

где Rs ~ расчетное сопротивление материала сдвигу.

12

Раздел 1. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Э л е м е н т конструкции (стержень) подвергается деформации рас- т я ж е н и я или сжатия, когда внешние силы (сосредоточенные F и р а с п р е д е л е н н ы е q) действуют на этот элемент по его центральной оси Z. (рис. 1.1, о). Такое растяжение-сжатие называется центральным (осевым).

Рис. 1.1

Действующая на элемент конструкции система сил должна находиться в равновесии 2 Z = 0.

При растяжении длина стержня (участка) в продольном направлении увеличивается (деформация обозначается знаком «плюс»), а при сжатии - уменьшается (знак «минус»),

Внутренние силы

При центральном растяжении-сжатии в поперечном сечении Стержня возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила N. Для определения ее на стержне, исходя из вида на- гРУзки и ее расположения, выделяются расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных сил F и в пределах распределенной нагрузки q. Изменение размеров поперечного сечения также является границей расчетных участков (см. рис. 1.1, а).

13

В пределах каждого участка намечаются сечения (I, II...;') и отмечаются их положения в системе координатных осей (Z7, Z2.. ,Z;).

Для определения продольной силы N используется метод се - ч е н и й . Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна из частей его «отбрасывается». Поскольку весь стержень находится в равновесии, то и рассматриваемая часть его см. рис. 1.1, б) под действием известных внешних сил (F, q) и неизвестной внутренней N также должна находиться в равновесии, т.е. удовлетворять условию XZ = 0.

Составить выражения для определения продольной силы N можно двумя приемами.

Первый прием. На рисунке для каждого участка показывается отсеченная часть стержня и составляется уравнение равновесия этой части с использованием правила знаков для сил, принятое в курсе теоретической механики.

Так для сечения III (см. рис. 1.1,6) уравнение равновесия имеет

вид I Z = Лгз + ql2 - Fx = 0, откуда N3 = -ql2 + Fh

Второй прием. На рисунке для всех участков отсеченная часть стержня не показывается. Выражения для определения продольной силы составляются по следующему правилу: продольная сила N в сечении стержня численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, - N = SF(. При определении /V можно рассматривать любую часть «рассеченного» стержня.

Правило знаков для сил связано с учетом характера вызываемой ими д е ф о р м а ц и и стержня (растяжение или сжатие).

Если вешняя сила (F, q) направлена от р а с с м а т р и в а е м о г о сечения стержня (стремится растянуть рассматриваемую часть его), то в этом сечении возникает п о л о ж и т е л ь н а я продольная сила (+N), и если направлена к с е ч е н и ю (стремится сжать), то в сечении возникает о т р и ц а т е л ь н а я продольная сила (-N).

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 1.2.

Рис. 1.2

14

П о л у ч е н н ы й в результате вычислений знак при N укажет на характер деформации участка стержня от суммарного действия сил: « п л ю с » означает, что участок стержня растянут, «минус» - что участок сжат.

Так для сечения III (рис. 1.1,6) выражение для продольной силы

вычислений и является общим для всех видов сопротивлений.

По вычисленным на участках стержня значениям N строится эпюра продольных сил (см. примеры); из которой выбирается максимальное значение продольной силы (7Vmax) для проведения расчета стержня на прочность.

Напряжения. Условие прочности

Считается, что при центральном растяжении-сжатии все продольные волокна стержня деформируются одинаково и что поперечные сечения плоские и перпендикулярные продольной оси до деформации сохраняют свое состояние после деформации (гипотеза плоских сечений).

Продольная сила N связана с нормальным напряжением а, которое распределяется по поперечному сечению равномерно, и определяется по формуле

где /V - продольная сила в сечении стержня;

4 ~ площадь поперечного сечения стержня.

График, показывающий изменение напряжения по высоте сече- 1Ия стержня, называется эпюрой напряжений (эп. о) (см. рис. 1.1, в).

% и растяжении-сжатии стержня материал его в любой точке сходится в условии линейного напряженного состояния. Поэтому фоверка прочности ведется по максимальному нормальному нафяжению (стах) и условие прочности имеет вид

15

в ы ч и с л и в деформации на участках стержня, можно найти пере- мещения характерных сечений его и построить эпюру перемещений (смпримеры).

Относительная продольная деформация е стержня (или участка е Г 0 ) определяется по формуле

АI

(1.6)

где А/ - абсолютная продольная деформация стержня (участка); / - длина стержня (участка).

Условие жесткости при растяжении-сжатии имеет вид

_ А/

ешах ~ — £adm > (1-7)

где eadffl - предельно допустимая относительная продольная деформация.

Закон Гука при растяжении-сжатии (из формулы (1.3)), выражающий зависимость между напряжением и деформацией, имеет вид

Модуль продольной упругости Е характеризует способность материала сопротивляться деформациям растяжения-сжатия в зависимости от его свойств.

1,1. Статически определимые системы

Статически определимыми являются системы, усилия в элементах которых можно определить при помощи одних лишь уравнений Равновесия (статики).

Для плоской системы их три;

LX=0; £ 7 = 0 ; 1М=0,

П р и м е р 1 . 1 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения нагруже-

На Си°темой р а ^ ш т о х о ж ! А

17

Рис. 1.3

Проверить прочность и жесткость полосы.

Для стали: расчетное сопротивление R = 210 МПа, модуль проупругости Е = 200 ГПа,^ допустимая относительная продеформация eadm = 1,05-10" .

р е ш е н и е

Нагрузка F, действующая по продольной оси полосы, вызывает в ней деформацию растяжения-сжатия.

На рассматриваемой полосе выделяются три расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I...III. Длинам участков I придается индекс номера участка.

Проверим, выполняется ли условие равновесия элемента конструкции:

I Z = Fx - F2 + F3 = 50 - 215 + 165 = 0 - выполняется.

Для определения продольных сил N на участках элемента воспользуемся первым приемом. Для этого нужно составить расчетные схемы для всех «отсеченных» участков элемента, начиная, например, с левого конца (см. рис. 1.3, б) и записать для них условия равновесия.

Рекомендуется искомые продольные силы N направлять от р а с - с м а т р и в а е м о г о с е ч е н и я .

эпюра продольных сил - зп. N (см. рис. 1.3, в). Положительные значе- "И я ^ откладываются вверх от линии эпюры, а отрицательные - вниз.

19