Сопротивление материалов (примеры и задачи)

EJXS = -9,33z +1,333z3\; - 0,5(z - l)4 j^.

Известно, что максимальный прогиб балки будет в том сечении, угол поворота которого равен нулю. Отыщем это сечение.

Уравнение углов поворота сечений: для первого участка

При z = 1 м (сечение С, 1-й участок)

Приг=1,5м (сечение D, 2-й участок, середина пролета)

E J § d - -9,33 -1,5 + 1,33 -1,53 — 0,5 • 0,54 = -5,32 кН • м

SD =-0,0140 м = 1,40 см .

При z — 1,555 м (сечение, где 0 = 0)

180

При z= 1,667 м (сечение И, где Мх тт) EJ&и = -9,48 кН • м 3 , = -1,39 см .

При z = 3 м (сечение В, 2-й участок) ЕЛИ =-9,33+4 • З3 - 2 • 23 = 10,67, 0В = 0,0124 рад.

EJ$B = - 9 , 3 3 - 3 + 1,333 -З3 - 0 , 5 -24 = -35,9 + 35,91 = 0,01 » 0 (контроль).

По полученным значениям и построена эпюра прогибов (см. рис. 5.23, г)

Выпуклость изогнутой оси балки (эпюра и) направлена в сторону ординат эпюры Мх.

Анализ полученных значений прогибов показывает, что абсолютный прогиб в середине пролета балки (о0) и максимальный (ипих)

тельно должно совпадать с сечением, где изгибающий момент наибольший (Мх, max)- Это возможно лишь в частных случаях.

П р и м е р 5.13 Для двухопорной балки с консолью, выполненной из двух сталь-

ных швеллеров, подобрать их номер и проверить жесткость, если

Построить эпюру прогибов.

Р е ш е н и е Начало координационных осей помещено в сечении А.

Значения опорных реакций приведены на рис. 5.24, а (нагрузку q, показанную пунктиром, при вычислении реакций можно не учитывать).

181

30 Q,KH

[ШТГГГг^

/,875М

30

Для сечения, в которром 6 = 0, ордината z0 = — = 1,875 м и

16

М Х т а х = 30 • 1,875 - 1 6 = 28,12 кН • м.

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления Wx = 28.12-10лЗ = 134 смз.

*2 1 0 - Ю 6

По таблицам сортамента принимаем два швеллера № 14 с

Wx = 70,2 • 2 = 140,4 см3 и Jx = 491 • 2 = 982 см4.

Рассматриваемая балка имеет два расчетных участка (участка нагружения).

Заметим, что распределенная нагрузка q не доходит до конца балки. Поэтому ее необходимо продлить по консоли до конца балки и включить на этом участке компенсирующую нагрузку q' = q.

182

Составим уравнения перемещений оси изогнутой балки:

Начальные параметры 0O и t>0 определим исходя из деформационных условий на опорах балки. При z = 0 (опора А) прогиб = а значит, и ио =0.

£ J x e 0 =-37,3 кН-м2.

Определим значение прогибов посредине пролета балки и на конце консоли.

При z = 2 м

EJXS = -37,3 • 2 + 5 • 23 - 0,667 • 24 = -45,3 кН • м3 , откуда 9 = -2,51см

Приz = 5 м EJXS- = 29,2 кН -м3 , ^ = 1,49 см.

Эпюра прогибов показана на рисунке г. При построении эпюры прогибов очертание ее согласуется с эпюрой изгибающих моментов.

Максимальный абсолютный прогиб в пролете балки достигает значения Эт а х = 2,51 см , относительный прогиб

^тах _ 2,51 _ 1 400 159

183

Условие жесткости по формуле (5.16)

П р и м е р 5.14 Подобрать номер прокатного швеллера для двухконсольной бал-

Q,KH

5,5

1

12

12

м^кн-и

^111Т1ТГШттттттт^—

I 0,635

1,51

Рис. 5.25

Р е ш е н и е Начало координат помещаем в крайнем левом сечении балки,

т.е. на конце консоли (сечение О).

184

Значение опорных реакций и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 5.25.

Рассмотриваемая балка имеет четыре расчетных участка. Уравнения прогибов оси балки по (5.13):

В данном случае, когда начало координат расположено на свободном конце балки, ни один из начальных параметров не равен нулю. Значения их определим исходя из деформативных условий на шарнирных опорах А и В, где вертикальные перемещения (прогибы) равны нулю: Vj = 0, о д = 0.

Запишем уравнения прогибов для названных сечений. Сечение A (z = 1м, участок 1) EJXS = EJX% +EJX% -1-213 = 0.

185

Для сечения из двух швеллеров

На один швеллер момент инерции составит

2

По таблицам сортамента принимаем 2 [№ 12, для которых W x = 50,6-2 = 101,2 см3

j x =304 - 2 = 608 см4

Вычисляем прогибы в характерных сечениях балки. При 2 = 0 (сечение О)

При z = 3 м (сечение С) д = 0,987 см. При 2 = 6 м (сечение D) $ = -0,635 см.

По полученным значениям прогибов строится соответствующая эпюра (см. рисунок к примеру).

Проследите соответствие эпюры прогибов эпюре изгибающих моментов.

Внимание! Правая консоль балки (участок BD) не нагружна и, следовательно, не деформируется. Ось его остается прямой, но все сечения п е р е м е щ а ю т с я за счет деформаций остальной части балки.

В завершение примера вычислим значения наибольшего нормального напряжения в балке:

М

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена, но материал ее недонапряжен на 22 %. Это обусловлено тем, что условие жесткости более «требовательно».

186

З а д а ч а 5.17 Для консольной балки определить углы поворота и прогибы се-

чений Б и С (в долях от жесткости сечения балки - EJX).

О т в е т ы :

Для двухопорной деревянной балки построить эпюру прогибов и определить наибольший относительный прогиб, если Е = 10 ГПа.

9~вкн/м

М-^КН-м

1 Ы |— j

О т в е т ы :

А. При z = 1 м, 9 = -1,44 см; при z = 2,5 м, -9 = Smax = -2,83см;

max _ _ J _

187

Б. При z = 3 м, S = $ т а х = -2,65 см; при z = 4,5 м, & = -1,81 см;

/228 '

&= 0,43 см; ^aaL = — .

/208

188

З а д а ч а 5.20 Для двухконсольной стальной балки подобрать из условия жестко-

сти номер прокатного профиля при заданном относительном прогибе. Построить эпюру прогибов.

B. Два швеллера №10; Э0 =2Д6см; З т а х =-0,899 см; 9С =3,26 см.

Б. Метод Мора и Верещагина

Формула (интеграл) Мора, позволяющая определить перемещения в любом отдельном сечении балки, имеет вид:

ОЫ X

где Д - перемещение (угловое, линейное) в исследуемом сечении,

МF - выражение изгибающих моментов от заданной нагрузки,

М- выражение изгибающих моментов от вспомогательной

единичной силы, соответствующей искомому перемещению, EJ% - жесткость сечения балки.

189