Сопротивление материалов (примеры и задачи)

З а д а ч а 5.12 Подобрать номер прокатного профиля и провести полную про-

9=75кН/М

14тч

От в е т ы :

A.Двутавр № 12, хтт = 48,1 МПа, crdes = 198 МПа. Б. Швеллер № 16а, тюах = 52,6 МПа, ades =197 МПа.

B.Двутавр № 20, гтах = 81,5 МПа, ades =217 МПа (перенапряжение 3,3 %).

З а д а ч а 5.13 Определить главные напряжения в указанных точках балки и уста-

новить вид напряженного состояния. Сечение балки - двутавр № 24. Я=МкН

£

1н

2п гм

170

От в е т ы :

Вточке 1 Oj = 24,4 МПа, а2 = 0, о3 = -24,4 МПа, плоское н.с.

Вточке 2CTI= 201 МПа, а2 = а3 = 0 - линейное напряженное состояние.

В точке 3 CTI = 123,3 МПа, ст2 = 0, ст3 = -22,3 МПа, плоское н.с.

З а д а ч а 5.14 В балке 77-образного поперечного сечения изгибающие моменты

О т в е т : для пластичного материала оба положения равноценны; для хрупкого - положение 2.

З а д а ч а 5.15

Определить наибольшую допустимую длину балки I из швеллера № 30, уложенного плашмя, если R - 210 МПа.

9=5кН/м

ПНИ ниш У

т * т

О т в е т : / = 4,94 м.

З а д а ч а 5.16

Деревянная балка составлена из двух сосновых брусьев, соединенных поперечными дубовыми шпонками.

171

Определить число шпонок и ширину шпонки Ьш.

Расчетные сопротивления: для сосны Rs = 1,2 МПа, для дуба - скалывание поперек волокон Rs %= 1 МПа, смятие поперек волокон RCM go = 6 МПа.

5.3. Деформации при изгибе

Под действием нагрузки балка деформируется. Ось ее искривляется и, при плоском изгибе, представляет собой плавную плоскую кривую, называемую упругой линией (или осью изогнутой балки). При этом поперечные сечения балки претерпевают перемещения, преимущественно линейные о (прогиб перпендикулярно оси балки) и угловые 9 (угол поворота сечения относительно первоначального положения) (рис. 5.19). Перемещения вдоль оси Z незначительные и ими пренебрегают.

Для определения перемещений балки необходимы уравнения ее упругой линии: о =/(z), 9 =/(z).

172

Такие уравнения в дифференциальной форме составлены для случая чистого изгиба (Мх Ф 0, Qy = 0). Поскольку влияние поперечной силы QY на величину перемещений незначительно, уравнения считаются допустимыми и для случая поперечного изгиба, ко-

Для определения перемещений (в, о) в балке существуют несколько методов.

1. Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. Метод обоснован для простых балок с

1...2 участками нагружения:

2.Метод начальных параметров - используются универсальные уравнения упругой линии балки, пригодные для любых (по сложности нагрузок) балок и позволяющие определить перемещения в любых ее сечениях.

3.Метод Мора с непосредственным интегрированием формулы перемещений, а также с использованием правила Верещагина для решения интеграла Мора. Метод универсален, применим как для прямых, так

иломанных стержней, как при изгибе, так и других деформациях. Целесообразен для определения перемещений в конкретном сечении.

Внастоящее время для определения перемещений в балках наиболее часто используются универсальные уравнения упругой линии, а также формула Мора и правило Верещагина.

А. Метод начальных параметров

Началом координатных осей выбирается к р а й н е е л е в о е сечение балки, а положительные направления их - вправо (Z) и вверх (Y) (рис. 5.20).

Ч

г

Рис. 5.20

173

Универсальными уравнениями оси изогнутой балки (упругой линии) являются:

уравнение углов поворота сечений

где 0 - угол поворота исследуемого сечения балки, 0о - угол поворота сечения в начале координатных осей (на-

чальный параметр), о - прогиб в исследуемом сечении балки,

Оо - прогиб балки в начале координатных осей (начальный параметр),

z - абсцисса исследуемого сечения,

Zm, zp, zg - абсциссы точек приложения соответствующей внешней силы (М, F) и начала распределенной нагрузки q,

M,F,q- внешние силы (активные и реактивные), Е - модуль продольной упругости материала балки,

Jx- момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси. При составлении уравнений упругой линии балки для конкретного сечения следует включать в них только те силовые факторы, которые расположены л е в е е этого сечения и назначить знаки сла-

гаемых, принятые для изгибающих моментов (рис. 5.4).

Если распределенная нагрузка q не доходит до конца балки, то ее продлевают и прикладывают компенсирующую нагрузку q' = q (см. рис. 5.21, а).

Начальные параметры 0О и о0 определяются из условий закрепления опор балок: в защемлении 0О = 0, v0 - 0 (см. рис. 5.21, а), на шарнирной опоре 0О * 0, о0 = 0 (см. рис. 5.21, б).

Если начало отсчета координатных осей находится на свободном конце балки (см. рис. 5.21, в), начальные параметры 0о и v0 определяются из условий закрепления на опорах: оа - 0, Vs - 0.

174

6 - 0

Рис. 5.21

По вычисленным значениям 8 и о в характерных сечениях балки (обычно на границе расчетных участков) можно построить графики - эпюры углов поворота сечений 0 и прогибов о.

В сечениях балки, где в = 0, на эпюре о имеется перегиб, а сам прогиб достигает максимального значения (рис. 5.21, г).

Примечание. При решении задач следует иметь ввиду, что положительный прогиб о направлен вверх (в сторону положительного направления оси У), а положительный угол поворота сечения б - против хода часовой стрелки (от первоначального положения сечения).

Примеры и задачи по определению деформации.

П р и м е р 5.11 Для консольной балки определить углы поворота и прогибы се-

чений В и С (в долях от жесткости сечения балки - EJX) (рис. 5.22).

а'яшжшишшь

175

Р е ш е н и е Начало координатных осей помещаем в крайнем левом сечении

балки (защемлении).

Опорные реакции определяются из условий равновесия

AY = 2(0,8+ 1,0) = 3,6 кН, Ма=2(0,8 + *,0) =3,24КНМ.

Балка имеет один расчетный участок.

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.22, а). Составим уравнения оси изогнутой балки по формулам (5.12) и (5.13). Уравнение углов поворота сечений

Напомним, что слагаемыми уравнений являются выражения изгибающих моментов (с их знаками) от соответствующих силовых факторов (например, Ay-z), проинтегрированные в уравнении углов поворота сече-

Начальные параметры (80 и о0) в составленных уравнениях определяются исходя из деформативных условий в начале координат. Поскольку начало координат помещено на опоре А - защемлении, где невозможны ни линейные, ни угловые перемещения, начальные параметры 9о = 0, ио = 0.

Уравнения перемещений оси балки примут вид:

EJjfi = -3,24 z + 1,8 z2 - 0,333 z3,

176

EJxO = -1,62 г2 + 0,6 z3 - 0,0833 z\

Определяем перемещения в названных сечениях. При г = 0,8 м (сечение В)

EJxQg = -3,24 • 0,8 + 1,8 • 0,82 - 0,333 • 0,83 = -1,61 кН-м2, откуда угол поворота сечения

9В = — ( н а п р а в л е н по ходу часовой стрелки).

EJX

EJ&b = -1,62 • 0,82 + 0,6 • 0,83 - 0,0833 • 0,84 = -0,764 кН-м3, откуда прогиб

По вычисленным значениям можно построить эпюры углов поворота сечений 9 и прогибов и. Эпюра S показана на рис. 5.22, б, где отмечены также углы 9. Полностью эпюра 9 строится редко.

Результаты вычислений показывают, что наибольшие перемещения претерпевает концевое сечение балки (сечение С).

Внимание! Эпюра изгибающих моментов Мх и эпюра прогибов и связаны между собой следующей зависимостью: ординаты эпюры Мх должны лежать с выпуклой стороны изогнутой балки, где волокна ее растянуты. Вспомним, что в строительном проектировании принято эпюру Мх строить со стороны растянутых волокон.

П р и м е р 5.12 Для двухопорной деревянной балки прямоугольного поперечного

сечения (h = 18 см, b = 12 см) построить эпюру прогибов и определить наибольший относительный прогиб, если модуль продольной упругости материала Е = 10 ГПа (рис. 5.23).

177

йQ,KH3,0

М^кН-м

а - а

Рис. 5.23

Р е ш е н и е Начало координатных осей помещаем в сечении А - шарнирной

опоре балки.

Значения опорных реакций приведены на рис. 5.23, а, а эпюры Q и МХ показаны на рис. 5.23, б и в).

Момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси

Балка имеет два расчетных участка. Составим уравнения оси изогнутой балки:

178

Вертикальными линиями отмечены границы уравнений для участков балки и область применения их.

Обратите внимание, что в уравнения для первого участка вошли только те силовые факторы, которые лежат л е в е е конца этого участка, т.е. только Ау. На втором участке добавилась нагрузка q. Реакция BY в уравнения не вошла, т.к. для сечения В z = zb И слагаемое равно нулю.

Для определения начальных параметров в составленных уравнениях нужно рассмотреть условия перемещений в начале координат, т.е. на шарнирной опоре А. В шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т.е. о^ =0, следовательно, Оо= 0. Угловое же перемещение на шарнирной опоре возможно, т.е. 9^ Ф 0, значит и 9о Ф 0.

Для определения параметра 90 нужно составить уравнение прогибов для сечения В, где на шарнирной опоре вертикальное перемещение отсутствует, т.е. ий=0.

При z =3 м (сечение В)

EJX$B = EJX90 • 3 + 1,333 • З 3 - 0,5(3 - 1 ) 4 = 0 ,

откуда EJХ9о = -9,33 кНм2 .

После определения всех начальных параметров уравнения оси изогнутой балки примут вид:

179