Сопротивление материалов (примеры и задачи)
.pdfДля прямоугольного сечения Wx = —-—, дня круглого Wx - 71 .
Для прокатных профилей (двутавр, швеллер) значения W приведены в таблицах сортамента.
Отклонение максимального нормального напряжения от расчетного сопротивления не должно превышать ±5%. При подборе сечений балок из прокатных профилей допускаются и более значительные отклонения в сторону уменьшения отах.
Проверку прочности балок, изготовленных из хрупкого материала, ведут по растягивающим напряжениям, т.к. расчетное сопротив-
ление растяжению меньше, чем сжатию (R<RS). |
Однако следует |
|
проверять и сжимающие напряжения. |
|
|
Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид: |
||
б у.max ' ^х.тах „ „ |
,, |
|
*тах = — |
-Г- * Rs > |
(5-6) |
где £2у;1Пах - максимальная поперечная сила в балке;
£г,тах - статический момент относительно нейтральной оси части площади сечения, расположенной от нейтральной оси до края сечения;
b - ширина сечения у нейтрального слоя;
1Х - момент инерции сечения относительно нейтральной оси; Rs— расчетное сопротивление материала балки сдвигу. Касательные напряжения во всех точках прямоугольного попе-
речного сечения параллельны силе Qy. В некоторых других фортах сечения (круг, двутавр, швеллер) по контуру сечения и в крайних точках его направление т несколько изменяется.
Поскольку максимальные касательные напряжения (по которым ведется проверка прочности) расположены на нейтральной оси, где т параллельны Q, формула (5.6) применима практически для всех типов сечений.
Для отдельных форм сечения балок (двутавр, швеллер, тавр) и в отдельных случаях нагружения (короткая балка, большая нагрузка вблизи опор) возникает необходимость проверить прочность не в крайних точках сечения и не на нейтральной оси, а в некоторой промежуточной, например «К», где одновременно действуют и нормальные о и касательные х напряжения (см. рис. 5.13), т.е. произвести полную проверку прочности.
150
По граням прямоугольного элемента, выделенного вокруг т. К, действует система напряжений: по поперечным сечениям о и т, по продольным - только т (по закону парности касательных напряжений) (см. рис. 5.13, а).
При некотором положении прямоугольного элемента (под углом oto к нейтральной оси) по его граням касательные напряжения станут равными нулю (т = 0), а нормальные с достигнут экстремальных (максимальных или минимальных) значений (см. рис. 5.13, б), которые
называются главными напряжениями и определяются по формуле |
|
Ojrnn =| - ±|VCT 2 +4 - T 2 , |
(5.7) |
max |
|
где о и т - напряжения в поперечном сечении, определяемые по формулам (5.2) и (5.3).
Положение главных площадок (направление главных напряже-
ний) определяется по формуле |
|
|
tg2a 0 |
= — , |
(5.8) |
|
ст |
|
где угол ао отсчитывается от направления нейтральной оси. Положительные значения - по ходу часовой стрелки.
Главные напряжения обозначаются буквой ст с индексами 1, 2 и 3. Причем oi >ст2> ст3.
По площадкам, образующим с главными угол 45° (см. рис. 5.13, в) действуют максимальные касательные напряжения
т т а х = 1 > / с г 2 + 4 - Т 2 . |
(5.9) |
Для полной проверки прочности балки сначала по эпюрам Qx и Мх находится сечение, в котором оба их значения одновременно наибольшие. Это будет опасное сечение. Далее по высоте сечения выбирается точка, в которой одновременно значения стих также наибольшие. Это будет опасная точка сечения. Для прямоугольного сечения эта точка не явна. Для сечений типа двутавр, швеллер, тавр опасная точка - точка сопряжения стенки с полкой.
151
Полная проверка прочности балки проводится по гипотезам прочности.
Для пластического материала по четвертой (энергетической) теории условие прочности имеет вид, выраженный:
- через нормальные и касательные напряжения
(5.10)
- через главные напряжения
a des -
где «Jes - приведенное напряжение, 0|2,з - главные напряжения,
о, х- напряжение в проверяемой точке сечения.
Рациональной формой сечения балки будет та, при которой обеспечена прочность при малом весе. В большинстве случаев потеря прочности связана с нормальными напряжениями. Исходя из эпюры о (см. рис. 5.12, 5.13) видно, что материал у нейтральной оси напряжен слабо. Поэтому часть материала можно «перенести» от нейтральной оси к краям сечения, где напряжения большие и где он (материал) будет использоваться полнее. Чем дальше от нейтральной оси расположены частицы сечения, тем больше будет момент сопротивления Wx.
Экономичность поперечного сечения балки можно оценить отноше-
W
нием wx = — — : чем больше это отношение, тем экономичнее сечение.
Для пластичных материалов (сталь) рациональной является форма двутавра.
Для хрупких материалов (чугун), у которых сопротивление сжатию больше, чем растяжению, рациональным является такой тип сечения, у которого нейтральная ось сдвинута в сторону растянутых волокон. Это тавровое сечение.
Практика показала, что в большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по нормальным напряжениям для крайних точек сечения по условию
152
о,. |
м *,max |
^R. |
|
По этому условию можно решить три типа задач:
-проверить прочность (0тах) при заданной форме и размерах сечения;
-подобрать размеры поперечного сечения (через Wx) при принятой форме сечения;
-определить наибольшую допустимую нагрузку (через Mrmix) при известной форме и размерах поперечного сечения.
Примеры и задачи порасчету на прочность
П р и м е р 5.6 Определить значения нормальных и касательных напряжений в
точке К деревянной балки. Проверить прочность балки по этим напряжениям и построить эпюры.
Расчетные сопротивления материала балки: R=\5 |
МПа, Rs = 2 МПа. |
|||||
|
|
|
|
1У . 5- |
0,МПа |
Г,МПй |
|
|
|
|
А ^ |
|
|
Л у - Й , 2 к Н |
f = j S K H |
Ву-б,8кН |
•XI |
7бк |
Хс |
|
A |
jc |
в |
М^КН-М |
|
||
Z |
|
|
¥"Wx |
|||
2м |
|
5м |
6-15 |
с» |
umttx |
|
|
|
|
|
|||
1Ф1 |
ук=6см |
т'—<3,25см |
|
|««о |
|
|
м1Ю-Щ0
РИС. 5.14
153
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Определяем опорные реакции: |
|
|
||
£МЛ = -ВУ |
• 5 + 15 -2 + 4 = 0, |
ВУ= |
6,8 кН, |
|
^Мв = Лу |
- 5 - 1 5 -3 + 4 = 0, |
Ау= |
8,2 кН, |
|
8,2 - |
15 + 6,8 = 0 (проверка). |
|
|
|
Вычислим значения Q и М для характерных сечений балки и по- |
||||
строим их эпюры (см. рис. 5.14, б и в). |
|
|||
Сечение A |
Q = Ay^ |
8,2 кН, |
М= 0. |
|
Сечение С |
= |
= 8,2 кН, |
М=АУ • 2 = 8,2 • 2= 16,4 кН м. |
|
|
Qu = Ay-F= 8,2 - 15 =-6,8 кН. |
|||
Сечение 5 |
Q = -By |
= -6,S кН, М=-^1кНм. |
||
Приступаем к определению напряжений в точке К. В сечении балки, где расположена т. К:
Q = 6,8 кН, М= 8,2-2,5 - 15-(2,5 - 2 ) = 13 кН-м.
Для определения нормального напряжения воспользуемся формулой (5.2).
По модулю: |
|
Мх |
13-Ю3 |
Ir Ук |
11576-Ю-8 • 6 • 10~2 = 0,00674 • 109 Па = 6,74 МПа. |
Для прямоугольного сечения балки момент инерции относитель-
но нейтральной оси: |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
= |
b-h3 |
= |
15-213 |
= 11576 см |
4 |
. |
7V |
12 |
12 |
|
||||
* |
|
|
|
|
|
Для установления знака вычисленного напряжения нужно обратиться к эпюре Мх. В сечении, где расположена точка К, ординаты эпюры лежат снизу от оси эпюры. Это значит, что волокна балки, лежащие ниже продольной оси, растянуты, а выше - сжатые. Так как точка К расположена в сжатой зоне сечения балки, напряжению в ней присваивается знак «минус» (ок = -6,74 МПа).
Значение касательного напряжения в заданной точке вычислим по формуле (5.3):
ТА |
6.8-103 |
- 5 5 7-10-6 |
Д 1 8 м ш |
I x - b |
11576-10 |
-15-10 |
|
154
Статический момент части площади сечения, расположенной выше точка К: S* = А' • т' = 15 • 4,5 • (6 + 11,5 / 2) = 557 см3. Касательному напряжению присваивается знак поперечной силы (тк = -0,218 МПа).
Проверка прочности производится по максимальным значениям
QY И МХ- В данном примере QR,M»X = 8,2 кН, МХ,ТАХ = 16,4 кН-м. Заметим, что оба значения внутренних сил относятся к одному и
тому же сечению. В иных случаях они могут быть в разных сечениях балки.
Проверку прочности по нормальным напряжениям проведем по формуле (5.4):
^ |
X,max |
16,4-lQ3 |
21 |
2 _ |
0MAX |
JX |
1 1 5 7 6 - 1 0 - » ' |
2 |
" |
= 0,0149 |
109 Па = 14,9 МПа |
<R. |
|
|
ЭТИ напряжения имеют место в крайних точках сечения. На нейтральной оси, где у = 0, и = 0.
Проверку прочности по касательным напряжениям проведем по
формуле (5.6): |
|
|
|
|
|
вх.пик-Ях.пих |
8,2-10 |
3 -827 -10'6 |
|||
b-Jx |
|
15-10"2 -11576-10- |
|||
= 0,0391 -107 Па = 0,39 МПа < |
Rs. |
||||
Статический момент на уровне нейтральной оси |
|||||
h , |
h |
2 1 , . |
21 |
„,._ |
з |
S х m a x = - - Z > - - = — - 1 , 5 - |
4 |
= 8 2 7 C M 3 . |
|||
2 |
4 |
2 |
|
|
|
Максимальные касательные напряжения имеют место на нейтральной оси сечения балки. В крайних точках сечения, где SX= 0, т = 0.
Таким образом, условия прочности балки по нормальным и касательным напряжениям выполняются.
Закономерность распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения, т.е. их эпюры, показана на рис. 5.14, г.
155
П р и м е р 5.7 Подобрать размеры нижеобозначенных форм сечений балки и
сопоставить коэффициенты экономичности их. Принять для прямо-
угольного сечения h/b = 1,4. |
|
|
|
|
Расчетные сопротивления |
материала балки: /? = 210 МПа, |
|||
R s = 130 МПа (рис. 5.15). |
|
|
|
|
ау=33, ?5кН |
Ц-10КНМ |
6у=Л,25кН |
|
|
I " |
|
|
|
|
rfv? JI |
|
|
|
|
1,5М |
1=3,ОМ |
|
|
|
16,75ПТТТты <3,кн |
У |
#,МПа |
Г, МПа |
|
|
|
|
гоо |
|
. |
5! |
1 |
Х(Н.О.)
г а
17,8
ЗЕ Р
200
|
|
Рис. 5.15 |
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
||
Определяем опорные реакции: |
3 + 1,5 |
|
||
X МА |
= -By-1 + ш • V = -By |
-1,5 = 0, |
||
• 3 +10(3 +1,5) |
|
|||
Вг = 11,25 кН. |
|
|
||
£ |
Мв |
= Ау - 3 - 1 0 - 4 , 5 ~ = 0, Л =33,75 кН. |
|
|
£ |
Y = 33,75 - 1 0 • 4,5 +11,25 = 0 |
реакции определены верно. |
||
156
Вычислим значения Q и М в характерных сечениях балки и построим их эпюры (рис. 5.15, а, б).
Сечение С |
Q = О, М= 0. |
||
Сечение А |
б" = -10 • 1,5 |
= -15 кН, |
|
|
е " = - 1 0 - |
1,5 |
+33,75 = 18,75 кН, |
|
М = - 1 0 - |
1,5- 1,5/2 = -11,25 кН- м. |
|
Сечение В |
Q* = 33,75 - 10 • 4,5 = -11,25 кН, М= 0. |
|
Абсцисса zQ, где Q = 0, будет равна |
||
|
z 0 = 1 , 5 + 6 1 = 1,5+ 1 |
^ = 3,375 м. |
|
q |
Ю |
При z = 3,375 м Мпах = -10 • 3,3752/2 + 33,75 (3,375 - 1,5) = 46,4 кНм. Подбор сечений ведется по формуле (5.5), исходя из = 46,4 кН-м. Требуемый момент сопротивления
> |
^ L |
= 4 |
6 ^ |
|
= |
ы о - 3 |
м3 |
=221 см3 . |
|
|
R |
210-Ю6 |
|
|
|
|
|||
Для круглого поперечного сечения |
|
|
|||||||
|
|
Wx |
= ^ |
- = 221 см3 , |
|
|
|||
|
|
Х |
|
32 |
|
|
|
|
|
/221-32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда d = л! |
у i4— = |
|
с м ' |
|
п Р и н и м а е м |
13 ем. |
|||
Для прямоугольного сечения |
|
|
|
|
|||||
|
WХу |
bh2 |
|
b(l, 46) |
2 |
з |
|
||
|
6 |
= |
|
|
6 |
= 221 см |
, |
||
откуда b = 8,77 см, /г = 12,6 см.
Конструктивно принимаем h = 13 см, & = 9 см.
Для прокатного двутавра из сортамента по Wx = 221 см3 принимаем № 22 с Wx = 232 см3.
157
Вычислим коэффициенты экономичности для принятых разме-
ров сечении балки по выражению со = |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
лМ3 |
|
|
|
Для круглого сечения |
|
|
|
|
|
||
|
314-133 |
э |
314-132 |
= 132,7 см |
? |
, о = 0,141. |
|
W = |
32 |
=216 см3, |
Л = ' |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Для прямоугольного сечения |
|
|
|
|
|||
Wx |
|
= 253,4 |
С М 3 , J = 9-13 = 117CM2, Ш = 0,200. |
||||
Для двутавра Wx=232 см3, J = 30,6 см2, со = 1,37.
Из рассмотренных форм сечений балки наиболее экономичным является двутавр.
Вычислим максимальные значения нормальных и касательных напряжений для принятых размеров сечений балки.
Нормальные напряжения (максимальны в крайних точках сечений): а) круглое сечение
a = Ml*!EL= 46,4-103 = 2 15МПа>Л = 210МПа. Wx 216-10
215-210 Перенапряжение составляет — ^ ^ 100 = 2,38%, что допустимо;
б) прямоугольное сечение
< W = |
4 6 , 4 1 0 . =183МПа<j?; |
max |
253,4-Ю"6 |
в) для двутавра
< W = 4 6 ' 4 1 0 |
= 200МПа < R. |
|
т |
232-Ю'6 |
|
158
Касательные напряжения (максимальны на уровне нейтральной оси): а) круглое сечение
= Qy,max |
- ^ , m a x = Qy,тгх |
6 4 |
nd2 |
-0,212 |
d |
|
|
b-Jx |
d-Ttd4 |
|
' |
8 |
|
|
|
18,75 -103 |
• 64 |
3,14 -132 - Ю - 4 |
Л |
^ |
Л _2 |
= |
|
13 -10~2 -3,14 -134 |
10- 8 -8 |
|
0,212 -13 -10 |
||||
|
|
|
|
|
|||
= 0,188 107 Па = 1,88 МПа |
< |
Rs. |
|
|
|||
Напомним, что для круглого сечения £дтах = А' • т', где половина
площади сечения А = 7id2 , а расстояние от центра тяжести до ее 8
нейтральной оси т' = 0,212 d; б) прямоугольное сечение
ттах |
Qr,mах"12 |
ъ h |
h= |
18,75-103-12 |
9 1 0 _ 2 ; ; |
b-b-l73 |
2 4 9• 10-2 -9-Ю- 2 -133 -Ю-6 |
|
|||
|
|
||||
|
—2 |
—2 |
|
|
|
х |
— |
1 3 - 1 0 |
= 0,240- Ю7 Па = 2,40 МПа < Rс; |
||
|
2 |
4 |
|
|
5 |
в) для двутавра № 22 Jx = 2550 см3, 6л>ах -131 см3, d = 5,4 мм (толщина стенки)
т |
|
I M ^ l H i O l |
= од 78 • 108 Па = 17,8 МПа < Rs. |
|
max |
5,4-Ю-3-2550-Ю-8 |
S |
По полученным значениям стих построены соответствующие эпюры (см. рис. 5.15, в, г, д), принимая во внимание, что на нейтральной оси сечения а = 0, а в крайних точках сечения х = 0.
Примечание. Проанализировав значения ттах для рассмотренных форм сечений (а это наиболее распространенные), заметим - если размеры сечений определены из условия прочности по нормальным напряжениям, то максимальные касательные напряжения далеко не достигают предельно допустимых значений.
159