Сопротивление материалов (примеры и задачи)

а,кн

5,4 ^lillillHw

г ^ Щ ] 2,7

Мх,кН-м

2,50

Рис. 5.10

Р е ш е н и е В защемлении (сечение А) возникает вертикально направленная

реакция Ау и момент МА, а в шарнирной опоре D - реакция Dy. Опорные реакции определяются из уравнения равновесия.

X М£р = -Dy • 2,7 + i ^ - • 1 • 2,7 = 0,

откуда Dy = 7,29 / 2,7 = 2,7 кН.

Примечание. При определении реакции распределенная нагрузка была заменена равнодействующей, которая равна площади этой нагрузки (треугольника) со = 1!г q • а и приложена в центре тяжести. Плечо равнодействующей относительно сечения С равно 73 а:

140

откуда Аг = 5,4 кН.

6*27

Проверка: £ 7 = 5,4 + 2 , 7 — ^ - = 8,1-8,1 = 0 - реакции найде-

ны верно.

Определяем внутренние силы (Q и М) в характерных сечениях

Для участка балки С Д где нагрузка носит сложный характер, составим подробные выражения для Q и М.

Ходсправа. Q = М = Dr •

Ординату распределенной нагрузки qz найдем из подобия треугольников (нагрузочного и отсеченного)

квадратной параболе, обращенной выпуклостью вниз.

141

Эпюры Q и Мпоказаны на рис. 5.10, б, в.

Для отыскания сечения, в котором Q = 0, нужно приравнять ее выражение нулю:

откуда z0- 1,56 м.

При z — Z{) — 1,56 м максимальный изгибающий момент на этом участке балки

-^шах =2,7-1,56-—^—- = 2,8 кН-м. 6-2,7

Из построенных эпюр внутренних сил следует, что Qm n = 5,4 кН,

142

О т в е т ы :

A. Qmm = 18 кН, Мтвх = 10 кНм. Б- бл,ах = 9 кН, Мтах = 9 кН-м.

в. 0т а х = 10 кН, М т х = 4,6 кН-м.

О т в е т ы :

A.£>тах = 5,09 кН, Мтах = 6,1 кНм.

Б.бшах = 11,5 кН, Л/тах = 8,46 кН м.

B. б т а х = 8,67 кН, Мтах = 9,54 кН-м.

З а д а ч а 5.3

Для двухопорной балки с консолью построить эпюры QviM.

О т в е т ы :

A. <2max = 8,57 KH, Mna, = 6,13 kH-M.

Б. Qmax = 11,2 кН, AJU = 5,98 кН м.

B. бшах = 6,8 кН, Mmax = 6,0 кН м.

З а д а ч а 5.4 Для двухпролетной балки с промежуточным шарниром постро-

ить эпюры Q и М.

143

^ 2,9м L ^ У ^j.

О т в е т ы :

А.бтах = 8,85 кН, Л/тах = 6,0 кН м.

Б.бтах = 10,0 кН, М ^ = 8,0 кН-м.

в. бшах = 9,7 кН, Mm x = 9,8 кНм.

З а д а ч а 5.5

Построить эпюры Q и М для составной балки, несущей распре-

6

[ 1,5и [ /,5 J' tfl jr /.0 у

О т в е т ы :

З а д а ч а 5.6

По эпюрам Q и M установить вид нагрузки, ее значение и направление, а также вид опор балки.

144

Af.KH-M

О т в е т ы :

Возможны четыре варианта опор. В одном из вариантов:

сечение А - М= 6 кНм (против часовой стрелки), участок ВС - q = 8 кН/м (вниз),

сечение D - F = 4 кН (вниз).

З а д а ч а 5.7 Для двухопорной балки с двумя консолями установить отноше-

ние l/а, при котором: 1) Мс = 0, 2) МА = Мв = -Мс .

З а д а ч а 5.8 Двухосная тележка подъемного крана перемещается по двум

подкрановым балкам. Найти положение тележки, при котором изгибающий момент в балке будет иметь наибольшее значение.

145

F-20 F-2QКН

5.2.Напряженна при изгибе. Условия прочности

Вобщем случае нагружения балки в ее поперечном сечении воз-

никают поперечная сила Qy и изгибающий момент Мх - такой изгиб называется поперечным. В частном случае нагружения - только из-

гибающий момент Мх. Такой изгиб называется чистым.

При чистом изгибе принято считать, что поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации (гипотеза плоских сечений). Предполагается, что отдельные волокна балки не давят друг на друга, но каждое из них претерпевает простое растяжение или сжатие.

При изгибе продольные волокна балки принимают криволинейное очертание. При этом они с выпуклой стороны удлиняются (растягиваются), а с вогнутой - укорачиваются (сжимаются) (см. рис. 5.4). Существует промежуточный слой волокон который не деформируется. Это нейтральный слой, совпадающий с центральной осью балки. В поперечном сечении он проходит через центр тяжести сечения, совпадает с главной центральной осью и называется нейтральной осью (Н.О.) или нулевой линией (Н.Л.). Нейтральная ось делит поперечное сечение балки на две части - растянутую и сжатую.

Поскольку волокна балки при чистом изгибе (Qy - О, Мх Ф 0) испытывают простое растяжение или сжатие, в них возникают нормальные напряжения о, действующие перпендикулярно поперечному сечению (рис. 5.11, а).

Нормальные напряжения а в любой точке поперечного сечения балки определяются по следующей формуле:

(5.2)

X

где Мх — изгибающий момент в сечении балки,

146

lx - момент инерции сечения относительно нейтральной оси, у - расстояние от рассматриваемой точки до нейтральной оси.

Напряжение о зависит от величины у линейно. Поэтому эпюра нормальных напряжений - прямолинейна (рис. 5.11, в). Максимальные нормальные напряжения наблюдаются в точках наиболее удаленных от нейтральной оси.

в

б, мпа

Рис. 5.11

Знак нормальных напряжений устанавливается по смыслу: «+ст» - если точка расположена в растянутой зоне сечения и «-а» - если в сжатой. Характер деформации зоны сечения устанавливается по эпюре Мх.

При поперечном изгибе (Qy Ф О, Мх Ф 0) характер деформации волокон балки несколько изменяется: отдельные волокна сдвигаются относительно друг друга, отчего сечения слегка искривляются (у Н.О. больше, к краю сечения меньше), т.е. гипотеза плоских сечений нарушается.

Поскольку влияние указанных изменений на величину нормальных напряжений невелико, формула (5.2), полученная для случая чистого изгиба, используется и при поперечном.

Так как при поперечном изгибе волокна балки претерпевают сдвиг, в сечении ее возникают касательные напряжения т, которые лежат в плоскости сечения (рис. 5.12, а) и в любой точке ее определяются по формуле Журавского:

где Qy~ поперечная сила в сечении балки,

147

Sx - статический момент части площади сечения, расположенной выше или ниже рассматриваемого слоя, относительно нейтральной оси,

Ъ - ширина сечения на уровне точки, в которой определяются напряжения,

1Х - момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси. Для произвольной точки К, расположенной на расстоянии^ от ней-

тральной оси, статический момент равен Sx = А' • т' или Sx = А" • т".

Г

Рис. 5.12

Считается, что касательные напряжения т распределяются по ширине сечения Ъ равномерно. По высоте сечения h г изменяются по закону параболы (рис. 5.12, е). Наибольшее касательное напряжение имеет место на нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения. В крайних точках сечения т = 0, т.к. для этих точек Sx = 0.

Следует обратить внимание, что напряжение т достигает максимума в тех точках сечения, где напряжение а = 0, а напряжение о достигает максимума в тех точках, где г = 0 (рис. 5.12).

Из теории курса известно, что материал балки в различных точках по высоте сечения находится в разных напряженных состояниях.

В крайних точках поперечного сечения t = 0, о = отах. Материал балки здесь находится в условиях линейного напряженного состояния (рис. 5.13, г) и условие прочности используется в виде: omax < R.

На нейтральной оси поперечного сечения а = 0, г = т1Ш11 - здесь чистый сдвиг (частный случай плоского напряженного состояния) и условие прочности используется в виде тшах < Rs.

Во всех остальных точках поперечного сечения изгибаемого стержня, где а Ф 0 и х Ф 0, имеет место общий случай плоского напряженного состояния (рис. 5.13, 6) и проверку прочности следует вести по теориям прочности.

148

Рис. 5.13

Для большинства форм поперечного сечения балок проверка прочности проводится отдельно по нормальным о и отдельно по касательным г напряжениям.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

- максимальный изгибающий момент в балке, 1Х - момент инерции сечения относительно нейтральной оси,

Утах ~ ордината точки сечения наиболее удаленной от нейтральной оси,

R - расчетное сопротивление материала балки растяжению (сжатию).

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси, условие прочности по нормальным напряжениям целесообразно использовать в виде

Wx

где Wx_т а х - момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Момент сопротивления сечения Wx характеризует сопротивляемость балки изгибу в зависимости от формы и размеров поперечного сечения.

149