Сопротивление материалов (примеры и задачи)

<9adm-

Б.Tmax = 112 МПа < 120 МПа, 9шах = 0,0621 рад/м < eadm. B. гтах =118 МПа < 120 МПа, 0шах = 0,0621 рад/м < 0adm.

От в е т ы :

A. Тл = ГЙ = 369 Н-м, ф = 3,08 град.

Б. Tei = 307 Н-м, Тл = 614 Нм, q> = 2,29 град. B. Tei = 1500 Н-м, Та = 500 Н-м, <р = 2,83 град.

120

З а д а ч а 4.4 Стальной стержень прямоугольного поперечного сечения 6 х 4 см

скручивается по торцам моментами Те.

Определить значение наибольшего допустимого скручивающего момента из условий прочности и жесткости, если Rs = 90 МПа, 0adm= 1,5 Град/М.

Определить из условий прочности и жесткости допустимое значение мощности Р, передаваемой валом, если [т] = 35 МПа, [6] = 0,9 град/м.

Вал диаметром 60 мм передает мощность 1,5 кВт.

Определить предельное число оборотов вала я, если [т] = 60 МПа. О т в е т: я = 56,4 об/мин.

З а д а ч а 4.7 Определить диаметр вала машины мощностью 300 кВт, если

[т]= 100 МПа, п = 200 об/мин. 0 т в е т : с ? = 9 0 мм.

121

З а д а ч а 4.8 В процессе испытания двигателя установили, что вал диаметром

d = 60 мм и длиной 1 = 0,7 м при частоте вращения п - 2000 об/мин закручивается на угол <р = 0,03°.

Определить передаваемую валом мощность, если G = 80 ГПа. О т в е т : / > = 1 5 , 9 кВт.

З а д а ч а 4.9

Стальной стержень кольцевого сечения (d = 100 мм, d0 = 80 мм) длиной / = 3 м закручивается на угол (р = 3°.

Вычислить наибольшее касательное напряжение, возникающее в стержне.

О т в е т : ттах = 70 МПа.

122

Раздел 5. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ

Деформация изгиба возникает при действии на стержень (балк> системы внешних сил (F, q), перпендикулярных его продольной оси 2 или пары сил, с моментом М, плоскость действия которой перпен дикулярна этой оси. Изгиб будет плоским, если внешние силы лежат в одной плоскости Р, которая является плоскостью симметрии поперечного сечения балки (рис. 5.1).

У

Рис. 5.1

При плоском изгибе ось балки искривляется по всей длине в одной плоскости.

При изучении изгиба используется обычная система координатных осей: ось Z совпадает с продольной осью балки, а оси X и Y располагаются в плоскостях поперечных сечений и совпадают с главными центральными осями инерции.

Плоский изгиб балки может происходить в плоскости YOZ (вертикальной) или XOZ (горизонтальной).

5.1. Внутренние силы. Эпюры

Балка как элемент конструкции соединяется с другими элементами при помощи устройств, называемых опорами. Различают три типа опор: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную и защемление (заделка). Опорные устройства препятствуют произвольному

123

перемещению балок от воздействия нагрузки, накладывая на балку определенное число связей (ограничений). В наложенных на балку связях возникают реакции, называемые опорными. Число опорных реакций равно числу наложенных связей.

Так, шарнирно-неподвижная опора Л (рис. 5.2, а) имеет две связи - вертикальную и горизонтальную, дает две реакции Аг и Az. Шар- нирно-подвижная опора В имеет одну связь - дает одну реакцию ВУ. Защемление С имеет три связи - дает три реакции: Су, Cz, Мс (см. рис. 5.2, б).

Рис. 5.2

Наименьшее число связей, обеспечивающих неподвижность балки по отношению к другим элементам конструкции в плоской системе сил, равно трем. Эти связи должны быть расположены рационально: не быть параллельными друг другу или пересекаться в одной точке.

Балка, под действием нагрузки и опорных реакций, должна находиться в равновесии. Поэтому для определения опорных реакций можно воспользоваться тремя условиями равновесия (для плоской системы сил): YX = О, Z F = О, Ц М = 0. Сумма моментов берется относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.

Рекомендуется такой порядок определения опорных реакций:

ТМа = О->ВГ ; 1Mb = 0 —>• AF, XZ= 0—>AZ(приизгибе Az = 0). Е У = 0 -

используется для проверки правильности определения AY и BY. Балки, опорные реакции которых можно определить при помощи

трех уравнений равновесия, называются статически определимыми. Такие балки рассматриваются в настоящем разделе.

В результате действия внешних сил (нагрузки) в поперечных сечениях балки возникают внутренние силы (усилия) - поперечная сила QY и изгибающий момент МХ, которые определяются методом сечений.

124

Балка в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части (рис. 5.3, а). Одна из частей балки «отбрасывается». Поскольку вся балка находится в равновесии, то и оставленная ее часть (см. рис. 5.3, б) под действием известных внешних сил (активной F и реактивной Ау) и неизвестных внутренних (Qr и Мх) в исследуемом сечении также должна находиться в равновесии и удовлетворять условиям £ 7 = 0 , ТМх(о) - 0 (момент относительно центра тяжести рассматриваемого

а J

Рис. 5.3

Исходя из названных условий равновесия выработано правило определения поперечной силы Qr и изгибающего момента Мх в сечениях балки. При этом сами уравнения равновесия U - 0, ТМх ~ 0) не составляются, а сразу записываются выражения для Qy и Мх.

Правило таково - в рассматриваемом сечении балки:

п о п е р е ч н а я с и л а Qy численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил (активных и реактивных), расположенных по одну сторону от этого сечения - Q y - 2XF,);

и з г и б а ю щ и й м о м е н т Мх численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения -Мх- YiF„ z,).

125

вернуть рассматриваемую часть балки относительно центра тяжести исследуемого сечения по ч а с о в о й с т р е л к е , то в этом сечении поперечная сила считается положительной, а если против часовой стрелки - отрицательной;

- если внешняя сила (F, М., q) изгибает рассматриваемую часть балки относительно исследуемого сечения выпуклостью вниз, то в этом сечении изгибающий момент считается положительным, если выпуклостью вверх - отрицательным.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 5.4.

м>о

Ц>0 /

Растянутые

волокна

Для проведения расчетов балки на прочность необходимо знать максимальные значения Qy и Мх. Для этого нужно выявить закон изменения этих величин по длине балки: Qy=f (z), Мх = f ( z ) . Изменения Qy и Мх по длине балки удобно представлять графически в виде э п ю р (рис. 5.5).

Исходя из нагрузки, на балке выделяются расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных нагрузок (F, М) и в пределах распределенной (q).

В пределах каждого расчетного участка намечаются сечения (I, II, /) и отмечаются их положения в системе координатных осей

(Zi,Z2, ...,Z,).

126

Qy, KH

Q(N)

max

Рис. 5.5

Затем составляются выражения для определения Qy и Мх на каждом расчетном участке балки по ранее изложенным правилам. По составленным уравнениям вычисляются значения Qy и Мх в характерных сечениях каждого участка балки. По этим данным в выбранном масштабе строятся соответствующие эпюры (см. рис. 5.5).

Положительные ординаты Qy откладываются вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз. Эпюра изгибающих моментов в строительном проектировании строится со стороны растянутых волокон балки. Это значит, что положительные значения Мх откладываются вниз от оси эпюры, а отрицательные - вверх.

При построении эпюр Qy и Мх и для проверки их правильности могут быть использованы дифференциальные зависимости между

Qy,Mxnq:

127

цией абсциссы z балки.

Из названных дифференциальных зависимостей вытекает ряд важных следствий (см. рис. 5.5):

1. Если на участке балки q = О (АВ, ВС, DE), то поперечная сила QY = const, а изгибающий момент МХ изменяется по линейному закону.

2.Если на участке балки q Ф О (CD), то поперечная сила Qy изменяется по линейному закону, а изгибающий момент Мх - по закону параболы (выпуклостью в сторону направления нагрузки q).

3.Если на участке балки поперечная сила Qy = 0 (ЕК), то изгибающий момент Мх ~ const.

4.Если на участке балки поперечная сила Qy> О (АВ, ВС), то изгибающий момент Мх возрастает, и наоборот (уч. DE).

5.В сечении балки, где поперечная сила переходит через нуль (Q = 0), изгибающий момент имеет экстремальное значение (максимум или минимум) - сечение L.

6.В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила F (сечение В, Е), на эпюре Qy имеется «скачек» на величину этой си-

лы, а на эпюре Мх- излом.

7.В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М (сечение Е), на эпюре Мх имеется «скачек» на величину этого момента, а на эгпоре Qy изменений нет.

8.Поперечная сила в данном сечении балки может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюре М в точке соответствующей этому сечению (на рис. 5.5 точка N).

Из построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для расчета на прочность выбираются максимальные значения Qmax и Мтах.

Примеры и задачи на построение эпюр QuM

Примечание. В связи с тем, что во всех примерах и задачах на плоский изгиб, приведенных в пособии, нагрузка действует только в одной (вертикальной) плоскости, индексы Y и Z при поперечной силе Q и изгибающем моменте М опускаются.

128

П р и м е р 5.1 Для консольной балки построить эгпоры поперечных сил и изги-

бающих моментов (рис. 5.6).

го

ф

0 ю

D v

8

Рис. 5.6

Р е ш е н и е На расчетной схеме балки размещается система координатных

осей X,Y,Z с началом в крайнем левом сечении балки. Действующая на балку нагрузка F\ и F2 передается на опору (за-

щемление), где возникают три опорных реакции (А у, Az и МА), которые предварительно направляются произвольно.

Для определения трех опорных реакций используются три уравнения равновесия (£У = О, 2Ж= О, Т М = 0). Значит рассматриваемая система (балка) является статически определимой.

129