Сопротивление материалов (примеры и задачи)
.pdf7 |
е Г 5 |
|
те0=з |
и |
Те2-6 |
Гез-^кнм |
|
|
|
Zl |
zl |
=4= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
адсм |
|
|
|
|
lj-3QCMj, iz'Sach | |
t , МПй |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7, кНм |
^ |
92,8 |
|
ф IIII ! 1 III III !!
2
Ч\ рад
лзршппшщ-0,0064
0,0178
РИС. 4.6
Уравнение равновесия 2>/2 = - г , л + Ге О + Г,,2 - Те,3 = - 5 + Г(,0 + 6 - 4 = О,
откуда Ге>о= 3 кНм.
Определим крутящие моменты Т на участках стержня использовав ранее описанный способ.
1) участок 0 < Zj £ 30 см Ti = —Гед = - 5 кН-м;
2) участок 30<z2 <80 см Т2 |
= -ГеД + Tefi = - 5 + 3 = - 2 кНм; |
|
3) участок 80 <z3 |
<120 см Т3 |
= -ТеЛ + Tefi + ТеЛ - -5 + 3 + 6 = 4 кНм. |
Замечание. При |
сосредоточенной нагрузке значения крутящих |
|
моментов Т не зависят от ординаты Z и, следовательно, являются постоянными в пределах расчетных участков (77 = const).
По полученным значениям Т в выбранном масштабе строится эпюра крутящих моментов (рис. 4.6, б). Из эпюры максимальный крутящий момент Гтах = 5 кНм.
Определяем диаметр стержня из условия прочности по касатель-
ным напряжениям (4,2): |
|
|
|
W„ |
16-Г,max < |
о |
|
%-d |
— |
•> |
|
|
|
||
110
откуда
|
|
1 6 |
5 |
1Q3 |
1 |
|
|
1/1 .ПЛ. 1 |
.Л"= 0,596 • 10" м = 5,96 см. |
||
Диаметр стержня из условия жесткости (4.6): |
|||||
|
|
Тшах |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
max |
= 4 |
32-5-103 |
= 0,632 • 10 м = 6,32 см. |
||
'adm |
j| 80-109-3,14-0,04 |
||||
Из двух значений d выбираем большее и, с учетом стандарта, принимаем d - 6,5 см.
Деформации (углы закручивания ср) на участке стержня опреде-
ляются по формуле (4.5): |
|
|
|
|
|
|
|
х |
x |
_ |
32-5-10 |
3 |
|
,-22 |
|
32 • Т -l |
|
|
-ЗО-Ю" |
-0,0107 рад, |
|||
G-n-d4 |
|
|
80-Ю9 -3,14-6,54 |
-КГ18 |
|||
|
|
|
|||||
Ф2= 0,00714 рад, <рз= 0,0114 рад.
Полученные значения углов закручивания ф позволяют вычислить перемещения граничных сечений стержня и построить эпюру перемещений. Крайнее левое сечение О примем за относительно неподвижное - ф0 = 0. Перемещение последующих граничных сечений будет равно алгебраической сумме углов закручивания участков, расположенных с начала отсчета:
Фо = 0, ф„ = ф0 + ф , = 0 - 0,0107 рад.
Щ = Фо + ф! + ф2 или фв = (рА + ф2 = -0,0107 - 0,00714= -0,0178 рад. Фс= фв + фз = -0,0178 + 0,0114= -0,00640 рад.
Эпюра перемещений показана на рис. 4.6, в.
111
Наибольшее касательное напряжение будет на первом участке стержня, где Гтах.
|
Т1 |
г |
16.7L„ |
16-5-103 |
,9 |
|
"^тах |
шах _ |
max |
|
|
||
|
|
n-d3 |
3,14 • 6,53 |
-10 |
= 0,0928 • 10* Па = 92,8 МПа . |
|
|
|
|
|
|||
Эпюра распределения касательных напряжений по поперечному сечению и угол поворота приведены на рис. 4.6, г.
Анализ результатов вычислений.
На эпюре крутящих моментов в граничных сечениях имеются «скачки», равные значениям скручивающих моментов.
Наиболее нагружен первый участок стержня (Т^тлх). Здесь и наибольшие касательные напряжения 1 Ш = 92,8 МПа <RS = 120 МПа.
Материал стержня значительно недонапряжен, т.к. диаметр стержня принят не по условию прочности, а по условию жесткости, которое оказалось более требовательным.
Наибольший относительный угол закручивания будет на третьем
участке: |
|
|
|
e adm = — |
= M i l l |
= 0,0285 рад/м. |
|
adra |
/3 |
0,40 |
F |
Из эпюры перемещений видно, что наибольшее перемещение претерпевает сечение В, в котором £ср = 0,0178 рад.
П р и м е р 4.2 Проверить прочность и жесткость стального стержня круглого
поперечного сечения защемленного левым концом (рис. 4.7).
Диаметры участков: d\ = 5,2 см, d2 = 4,5 см. |
|
Для материала стержня: Rs = 120 МПа, G = 80 ГПа, |
= 0,07 рад/м. |
Р е ш е н и е Действующие на стержень скручивающие моменты вызывают в
опоре реактивный момент TAj для определения которого имеется одно уравнение равновесия YMz= 0 (система статически определима). Искомый момент ТА направляется произвольно.
YMz= ~тА - |
+ те1 = о, |
откуда ТА = -5,3 + 2 = -3,3 кН-м. |
|
112
у I |
2 см |
dz=%5cn |
7^=3,3KHM |
J Г Е / « 5 , З К Н М Д |
|
С |
Ш е й |
h r |
|
)т„о=;Г О 2 2 К Н М |
|||
I |
1;=-50СМ | L2~30 |
|
\ |
3,3 |
Т, кнм |
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
0 |
1 |
|
г,о
Рис. 4.7
Полученный знак «минус» при ТА означает, что действительное направление момента противоположное.
Стержень имеет два расчетных участках.
Крутящие моменты на участках стержня (рассматриваются сечения слева).
Ti = ТА = 3,3 кНм, Т2 = ТА - ТеЛ =3,3 - 5,3 = -2,0 кНм. Касательные напряжения на участках стержня (по формуле (4.2)):
т, = |
Ti _ 16 -Гц |
16-3,3-103 |
= 120 МПа = R., |
||
|
тс -di3 |
3,14• |
5,23 -Ю- 6 |
||
|
WP |
||||
|
Т2 |
_ 16 - Т 2 |
16 |
-2,0-Ю3 |
= 112МПа<Л,. |
|
WP |
it-d23 |
3,14-4,53 10""6 |
||
Относительные деформации на участках стержня (по формуле (4.6)):
Тх |
32- п . |
32 • 3,3 103 |
= 0,0575 рад/м<0а(1т, |
G-Ipi |
G-TcА4 |
80-Ю9 -3,14-5,24 •Ю- 8 |
|
Тг . |
32 •т2 |
32-2,0-Ю3 |
= 0,0621рад/м<еа41т. |
G-Ip 2 |
G-к •dS |
80-109 -3,14-4,54 •Ю-8 |
Прочность и жесткость стержня при данных диаметрах обеспечены.
113
П р и м е р 4.3 Стержень круглого поперечного сечения с защемленными кон-
цами подвергается действию двух скручивающих моментов, соотношение которых равно ТеЛ / Ге>2 = 2.
Определить наибольшие допустимые значения скручивающих моментов и угол поворота сечения (т. К) стержня, если = 120 МПа, G = 80 ГПа (рис. 4.8).
а у |I d-зсм
I |
l j - б а |
j, |
12-чо |
j. |
i3-70 |
1 |
П1ПМ
г,тте2
Рис. 4.8
Р е ш е н и е Исходя из характера нагрузки на стержень в опорах его возник-
нет по одной реакции - реактивному моменту Т (предварительно направляются произвольно) (см. рис. 4.8, а).
Уравнение равновесия можно составить только одно:
YMi -ТА - Тед + Тео+ Г0 = 0 (1), у которого две неизвестные величины. Значит, рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым ( 2 - 1 = 1).
Для раскрытия статической неопределимости необходимо составить дополнительное уравнение исходя из принципа совместности перемещений.
Выбираем за основную (статически определимую) систему стержень с удаленной, например, левой опорой (см. рис. 4.7, 6) загруженный заданными моментами ТеЛ и Те2 и неизвестным реактивным опорным Тл.
114
На опоре А (заделке) угол поворота в заданной системе (см. рис. 4.8, а) <рА = 0. Чтобы основная система (см. рис. 4.8, б) была эквивалентна заданной, необходимо выдержать это условие и в основной системе - <рА = 0. Это и есть дополнительное уравнение, выраженное в общем виде.
Применив метод независимости (сложения) действия сил и, исходя из принципа совместности деформации (углов поворота) участков стержня, раскроем дополнительное уравнение, используя формулу (4.5), и соотношение скручивающих моментов:
J A - ( h + h + h ) |
ТеХ • (1г + /3 ) |
Г е 2 - / 3 ) р |
|
|
G-Ip |
G-Ip |
G-I р |
или |
1,7 - Т а - |
1,1 • Тед + 0,7 • ТеЛ = 0, |
|
откуда
сj-lp
Направление ТА было выбрано правильно (значение Тл положительное). Определением момента ТА статическая неопределимость раскрыта. Аналогичным образцом можно определить реактивный
момент TD.
Определяем значения крутящих моментов на трех расчетных
участках стержня: |
|
|
|
тх = тА = |
о,ш-теЛ, |
|
|
Т2 = Та- |
ТеЛ = ТА- 2-Те,2 = 0,882 • ТеЛ - 2 • ТеЛ |
= -1,118 • ТеЛ, |
|
Т3 = ТА-2- |
Тел + Теа = 0,882 • ТеЛ-2-Тел |
+ ТеЛ |
= -0,118 • ТеЛ. |
По значениям крутящих моментов, выраженных в долях от - ТеЛ, строим эпюру крутящих моментов (см. рис. 4.8, в).
Из эпюры следует, что Гтзх = ТеЛ = 1,118 • ТеЛ.
Из условия прочности (4.2) максимальный допустимый крутящий момент, который может воспринять стержень, будет равен
115
Нагрузочные (скручивающие) моменты на стержень и реактивный будут равны:
Гтах = 636 Н м = 1,118Те>2, откуда Тег = 569 Н-м, а ТеЛ = 2-ТеЛ = 2-569 Н м = 1138 Н-м. ТА = 0,082-569 Н-м = 502 Н-м.
На эпюре крутящих моментов (см. рис. 4.8, в) проставлены цифровые значения крутящих моментов на участках стержня.
Угол поворота среднего сечения (т. К) стержня определим, ис-
пользуя формулу (4.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7W, |
Г |
А |
_ 3 2 - r |
|
/ i |
и |
||
|
|
|
Т г 2 |
|||||||
|
|
|
2 |
r |
||||||
<Рк = 9(7-1 ) + Ф ( Г 2 |
) |
|
|
|
2 _ |
|||||
G-Ip |
|
GIp |
|
G-iz-d |
G-n-d |
|||||
|
|
|
|
|||||||
502•60•10~2•32 - |
636-20•10~ |
2•32 |
|
: -0,0274 рад |
||||||
80-109 3,14-34-10" |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
или |
фк =-0,0274- |
180 |
|
-1,57 град. |
|
|||||
|
|
|
|
|
3,14 |
|
|
|
|
|
Эпюра касательных напряжений и угол поворота сечения К показаны на рис. 4.8, г.
П р и м е р 4.4 Стальной стержень кольцевого сечения скручивается моментом Те.
Определить наибольшие допустимое значение момента из условий прочности и жесткости, если Rs = 90 МПа, G = 80 ГПа, 9adm = 1,5 рад/м (рис. 4.9).
f,Mria
вз,е
Рис. 4.9
116
Р е ш е н и е Вычислим геометрические характеристики заданного сечения.
„ - 4 Л . ™
10 16
Допустимый относительный угол закручивания 0adm = 1,5 • 3,14 / 1180 = 0,0262 рад/м.
Вычислим значение наибольшего скручивающего момента. Из
условия прочности (4.2): |
|
|
|
|
|||||
тпdm = Rs • wp |
= 90 • 106 • 68,8 |
• 10-* = 6192 Н м = 6,192 кН-м - из |
|||||||
условия жесткости (4.6). |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 ^ |
• G • 4 = 0,0262 • 80 • 109 • 275 • 10^ = 5760 Н-м = 5,76 кН-м. |
||||||
В качестве допустимого скручивающего момента принимаем его |
|||||||||
|
|
|
|
a |
= |
5,76 кН-м. |
|
||
меньшее значение - Тdm |
|
||||||||
Касательные напряжения на наружных и внутренних волокнах |
|||||||||
стержня вычислим по формуле (4.1): |
|
||||||||
t |
|
Л й ш . . £ |
= 5 ' 7 6 1 0 |
- 8 |
х 1 0 " |
= 0,0838• 109 |
Па = 83,8МПа, |
||
|
Р |
ID |
2 |
|
275-Ю'8 -2 |
|
|
||
|
|
T.adm |
d() |
_ 5,76-10 |
-6-10-г |
Па = 62,8 МПа . |
|||
|
|
I p |
2 |
275-10 |
-2 |
= 0,0628 • 109 |
|||
|
|
|
|
||||||
Эгаора касательных напряжений показана на рис. 4.9, б.
П р и м е р 4.5
Стальной стержень прямоугольного поперечного сечения скручивается моментом Т = 2,5 кН-м.
117
Определить размер сторон прямоугольного сечения (h / Ъ = 2, Rs - = 100 МПа) и угол закручивания свободного конца стержня (G = 80 ГПа) (рис. 4.10).
а)
Рис. 4.10
Р е ш е н и е
Вычислим геометрические характеристики заданного сечения.
Wk -a-b2 |
-h-0,457-b2 |
-2b= 0,914• Ъг |
см3, |
I k |
. ^ = 0,493 - й 3 - 2 Ь = 0,Ш-ЬА |
с м 4 . |
|
Наибольшие касательные напряжения по длинной стороне сечения:
|
|
m a x ~ ^ |
- |
100 МПа. |
Из условия прочности (4.8): |
|
|
||
W |
= |
2 ^ |
1 ^ = 0,025-10""3 м3 |
|
R. R. 100-Ю6 |
||||
или |
Wk = 0,025 |
- Ю~3 = 0,914 • b\ |
||
откуда Ъ = 3,015-Ю'2мм = 3,015 |
см. |
|||
Принимаем: Ъ = 3,0 см, h = 2 |
- b = 2 • 3 =6 см. |
|||
Вычислим наибольшие касательные напряжения по сторонам сечения.
118
По длинной стороне:
|
Т |
2 5 10 |
Па = 101 МПа > Д.. |
|
Ч max ~ — = |
—3 |
т- = 101-109 |
||
A'm |
Wk |
0,914-З3 |
-Ю-6 |
|
Перенапряжение составляет 1%, что допустимо. По короткой стороне:
Чтах = У * Чтах = °>7 5 3 '1 0 1 = 7 5 ' 3 М П а -
Эпюра касательных напряжений показана на рис. 4.10, б. Абсолютный угол закручивания свободного конца стержня (по
формуле (4.10)):
Ф: |
Т-1 |
2,5-103-0,7 |
|
G-IK |
80-Ю9 -0,986-34 -10" |
||
|
= 0,000274 -102 рад = 0,0271 рад = 1,55 град.
Задачи для аудиторного и самостоятельного решения
З а д а ч а 4.1 Стальной стержень круглого поперечного сечения нагружен
скручивающими моментами Те.
Определить диаметр стержня из условия прочности и жесткости, если стали: Rs= 120 МПа, G = 80 ГПа, 0adm = 0,04 град/м.
a |
|
|
|
|
|
S |
|
Тео |
|
Te1-1 Te2-0,5Te5-t,5 |
ТвГч теГб |
Теа |
|||
с |
60 |
с |
с |
с- |
g |
|
е |
|
|
|
50СМ |
30 |
|
50 ЗОСМI |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
О т в е т ы :
A.d = 5,0 см; тшах = 81,5 МПа.
Б.d = 6,0 см; ттах = 94,4 МПа.
B.d = 5,8 см; ттах = 78,3 МПа.
6
Твз-1 Ter3 Tez-f Tei-3 re0
70 40 60см 30
119