Сопротивление материалов (примеры и задачи)

О т в е т ы :

A.Ju = 35250 смА, Л = 12690 см4. Б. Л =Уу = 14550 см4.

B.Л = 10730 см4, Jv = 4299 см4.

З а д а ч а 3.2 Для заданного сечения определить положение центра тяжести и

значения главных центральных моментов инерции. Данные к вариантам задачи:

A. h - 24 см, b = 16 см. Б. h = 30 см, Ъ = 20 см. B.fc= 28 см, Ъ = 24 см.

О т в е т ы :

A.jo = 12,6 см, Л = 17310 см4, Л = 7990 см4.

Б.jo = 9,44 см, Ju = 25360 см4, Jv = 17500 см4.

B.уо = 12,95 см, Ju = 34420 см4, Jv = 31750 см4.

З а д а ч а 3.3 Для сечения, составленного из прокатного элемента и листа, оп-

ределить положение центра тяжести и значения главных центральных моментов инерции.

Данные к вариантам задачи:

A.Неравнополочный уголок № 12,5 * 8 х 0,8 см. Б. Двутавр № 20.

B.Швеллер № 18.

100

d

_tr 11 J— г S\SM

'" гГ

О т в е т ы :

A.уо = 3,32 см, Л = 1774 см4, Jv = 728 см4. Б. Vo = 15,1 см, Ju = 3317 см4, Jv = 499 см4.

B.уо = 5,49 см, Л = 5860 см4, Jv = 800 см4.

З а д а ч а 3.4 Для сечения, составленного из прокатного профиля и листа, оп-

ределить положение центра тяжести и главных центральных осей, а также значение главных центральных моментов инерции.

Данные к вариантам задачи: А - швеллер № 16.

Б- неравнополочный уголок № 10 * 6,3 х 1,0 см.

В- двутавр № 16.

4 I М А 4

О т в е т ы :

A. х0 = 4,30 см, уь = 12,8 см, Оо = -41,8°, Ju = 1666 см4, Jv = 422 см4. Б. хо = 2,67 см, уо = 4,5 см, а0 = 31,8°, Ju = 748 см4, Л = 194 см4. B. х0 = 9,90 см, уо = 4,68 см, о^ = -20°, 1, Л = 1890 см4, Л = 651 см4

101

З а д а ч а 3.5 Определить расстояние а между элементами пакета, состоящего

из досок размером 24 * 5 см, при условии равенства главных моментов инерции.

О т в е т ы : a = 3,3 см.

З а д а ч а 3.6 Будут ли равны между собой значения моментов инерции отно-

сительно центральной осиХдля всех приведенных сечений?

О т в е т : да, будут.

З а д а ч а 3.7 Будут ли равны между собой значения главных моментов инер-

ции сечений а а б при условии равенства площадей отверстий?

б)

102

Раздел 4. КРУЧЕНИЕ

Стержень подвергается деформации кручения при нагружении kro парой сил F, лежащих в плоскости перпендикулярной продольной оси Z. Пара сил приводится к моменту Те = F • а, который называется скручивающим (внешним) моментом (рис. 4.1, а).

а)

i I f

б)

5

Рис. 4.1

Прямой стержень, работающий на кручение, называется валом. Нагрузка вала (скручивающие моменты) образуется от приводных шкивов и зубчатых колес, насаженных на вал, а также от двигателя.

Если вал находится в состоянии покоя или равномерного вращения, условие равновесия выражается уравнением J^Te(z) = 0.

Внутренние силы при кручении

В поперечных сечениях скручиваемого стержня возникают внутренние силы сопротивления - крутящие моменты Т. Они определяются методом сечений, по которому стержень мысленно разделяется на две части и рассматривается равновесие любой из них (рис. 4.1, б).

Из условия равновесия вытекает, что крутящий момент Т в сечении вала равен алгебраической сумме всех скручивающих момен-

тов Те, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения (слева или справа): Т= £7;лев= £Тепрш.

Правило знаков для моментов таково: скручивающий момент Те образует в поперечном сечении п о л о ж и т е л ь н ы й крутящий момент (Г> 0), если он (Те) направлен по х о д у часовой стрелки при взгляде со стороны сечения, и наоборот.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 4.2.

103

т> о

Рис. 4.2

Поскольку сопротивление кручению материалов в iy или дру1ую сторону одинаково, можно применять и обратное правило знаков.

По вычисленным значениям Т на расчетных участках вала (между сечениями, где приложены моменты) строится эпюра крутящих моментов.

4.1. Кручение стержней круглого поперечного сечения

Напряжения при кручении

При кручении стержня круглого поперечного сечения применима гипотеза плоских сечений - смежные сечения поворачиваются одно относительно другого, оставаясь плоскими при неизменном расстоянии между ними. Радиусы, проведенные в сечении до деформации, остаются прямыми и после деформации.

Элементы материала скручиваемого стержня испытывают деформацию чистого сдвига и сопровождаются касательными напряжениями т.

Формула для определения касательного напряжения т в любой точке скручиваемого стержня круглого поперечного сечения имеет вид

где Т — крутящий момент в рассматриваемом сечении стержня; 1р - полярный момент инерции сечения стержня;

р - расстояние от рассматриваемой точки до центра тяжести сечения (радиус рассматриваемой точки сечения).

Касательные напряжения распределяются по поперечному сечению стержня не равномерно, нарастая от продольной оси Z к поверхности по линейному закону: в центре тяжести сечения т = 0, на контуре сечения, где р = pmax = г достигают максимального значения т = ттах(рис. 4.3).

104

Рис. 4.3

Максимальные касательные напряжения в скручивающем стержне

тl —Тт а х Г

max ~ » ' >

Р

где г - радиус сечения стержня.

h

Отношение — ~ W называется полярным моментом сопротив-

г

ления, который характеризует сопротивляемость сечения деформации кручения в зависимости от размеров и его формы.

Поскольку в поперечном сечении скручиваемого стержня возникают только касательные напряжения, материал его находится в условиях чистого сдвиг а как частный случай плоского напряженного состояния.

Если кручение стержня происходит от нагрузки в состоянии покоя (статическое действие), то условие прочности для пластичного материала используется в виде т,гшх < Rs.

Расчет на прочность валов машин, где имеет место динамический характер нагрузки, необходимо вести по методу допускаемых напряжений: тшах < tadm, где Tadm - допускаемое касательное напряжение. Для стержня круглого (сплошного и кольцевого) сечения условие прочности при кручении принимает вид

(4-2)

Р

где Гтах - максимальный крутящий момент в стержне, Wp - полярный момент сопротивления сечения,

Rs - расчетное сопротивление материала стержня сдвигу.

105

Для круглого сплошного сечения

р16

Для кольцевого сечения

1 - Й ) , (4.4)

где d - диаметр сплошного (наружный диаметр кольцевого) сечения, с - отношение внутреннего диаметра (<з?0) к наружному d в

кольцевом сечении ( с = — ). d

Деформации при кручении

При кручении стержня круглого поперечного сечения его продольная ось остается прямой и не изменяет своей длины. Поперечные сечения, оставаясь плоскими и перпендикулярными к продольной оси, поворачиваются на некоторый угол <р. Продольные волокна приобретают винтообразное направление (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Абсолютный угол закручивания (поворота сечения) определяется по формуле

где ф - угол закручивания (в радианах); Г - крутящий момент на участке стержня;

106

I - длина участка стержня;

G - модуль сдвига материала стержня; 1Р - полярный момент инерции.

Для сплошного круглого сечения I р = •к-а , для кольцевого -

Вычислив значения <р на участках стержня, можно найти перемещения граничных сечений и построить эпюру перемещений (см. примеры).

Величина угла закручивания ограничивается определенными пределами, которые обычно задаются в относительных величинах.

Условие жесткости при кручении имеет вид

где 0 - относительный угол закручивания,

6adm - наибольший допустимый угол закручивания (радиан/метр).

180

Напомним, что <рфад = фрад

Из условий п р о ч н о с т и и ж е с т к о с т и можно решить три типа задач: проверить прочность и жесткость стержня (вала), определить диаметр его и наибольшую допустимую нагрузку.

При определении диаметра стержня (вала) по названным условиям из двух найденных значений его принимается большее.

Примечание.

Значение скручивающего момента Те, передаваемого двигателем

107

4.2. Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения

При кручении стержня прямоугольного поперечного сечения гипотеза плоских сечений на опыте не подтверждается - поперечные сечения искривляются (деатанируют), от чего касательные напряжения распределяются по сечению по более сложному закону (рис. 4.5).

Ь

Рис. 4.5

Наибольшие касательные напряжения возникают посредине

где J¥/t = a • b2 • h - момент сопротивления при кручении;

b a h - меньшая и большая стороны прямоугольного сечения,

а - коэффициент, зависящий от отношения сторон прямоугольника (h/b), принимаемый по табл. 4.1.

108

По середине короткой стороны касательные напряжения составот часть максимального по длинной стороне:

где у - коэффициент, зависящий от отношения h/b.

В угловых точках и в центре тяжести прямоугольного сечения касательные напряжения равны нулю.

Угол закручивания стержня прямоугольного сечения определяется по формуле

Т-1

Ф = — ( 4 - 1 0 ) G - 4

где h = Р • Ь3 • h — момент инерции при кручении прямоугольного стержня;

р - коэффициент, зависящий от сторон прямоугольника. Значения коэффициентов а, (3, и у для прямоугольного сечения

приведены в табл. 4.1

П р и м е р 4.1 Стальной стержень круглого поперечного сечения находится под

действием скручивающей нагрузки (моментов Те).

Определить диаметр стержня из условий прочности и жесткости. Для материала стержня: R.,, = 120 МПа, G = 80 ГПа, 0 ^ = 0,04 рад/м.

Р е ш е н и е Как следует из условия примера, стержень подвергается дефор-

мации кручением.

На расчетной схеме (рис. 4.6) выбирается начало координат (крайнее левое сечение) и положительное направление продольной оси Z; назначаются расчетные участки с границами в сечениях, где приложены скручивающие моменты Те. Длинам участков придается индекс номера участка. В пределах расчетных участков намечаются поперечные сечения (I...III) и отмечается их положение в системе координатной оси (z\.. .z3).

Исходя из характера нагрузки к стержню может быть применено только одно уравнение равновесия YMz = 0, из которого определится значение момента Tefi.

109