Сопротивление материалов (примеры и задачи)

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости»

СОПРОТИВЛЕНИЕ

МАТЕРИАЛОВ

( п р и м е р ы и з а д а ч и )

для студентов строительных специальностей

М и н с к 2 0 0 8

УДК 620.1 (076.1) ЦБК 30.121я7

С 64

Авторы:

М.К Бадыкин, В.А. Пенькевич, И.А. Голубев, П.В. Шшилаков, СИ. Зиневич, А.Е. Кончиц, М.В. Югова

Р е ц е н з е н т ы :

Я.Н. Ковалев, Л.Р. Мытько

Балыкин, М.К.

С 64 Сопротивление материалов (примеры и задачи): учебно-мето- дическое пособие для студентов строительных специальностей / М.К. Балыкин [и др:]. - Минск: БИТУ, 2008. - 365 с.

ISBN 978-985-479-857-8.

Учебно-методическое пособие состоит из разделов о простых и сложных видах сопротивлений, неразрезных балках, продольном изгибе и динамическом действии нагрузки.

По каждой теме (разделу) приведены краткие (справочные) сведения из теории курса, решения характерных задач и задачи для аудиторного и самостоятельного решения в нескольких вариантах.

Ко всем задачам даны ответы.

Пособие предназначено для студентов строительных специальностей дневного и заочного отделений.

УДК 620.1 (076.1) ББК 30.12Ш

ПРЕДИСЛОВИЕ

При изучении курса «Сопротивление материалов» важное значение имеет практическое применение выводов теории. В этой связи программой курса предусматривается определенное число часов практических занятий, на которых студенты знакомятся с приемами расчета элементов конструкций. Приобретенные при этом знания и навыки в значительной степени облегчат усвоение последующих специальных дисциплин.

У студентов, изучающих курс «Сопротивление материалов», наибольшие трудности возникают при решении задач. А число учебных часов, отведенных планами для практических занятий, часто недостаточно. К тому же число студентов заочной формы обучения еще достаточно велико.

Чтобы помочь студентам овладеть методикой и приобрести навыки в решении задач, коллектив кафедры «Сопротивление материалов и теория упругости» БНТУ, исходя из многолетнего опыта работы, считает целесообразным создание настоящего учебно-методического пособия в помощь к практическим занятиям.

Пособие предназначено для студентов строительных специальностей как дневной, так и заочной формы обучения и предусматривается в двух частях. В первой части рассматриваются простые виды сопротивлений, во второй - сложные, а так же устойчивость и динамические воздействия.

Предусматривается, что студенты, прежде чем приступить к решению задачи, должны восстановить в памяти теоретические выкладки. Поэтому по каждой теме курса помещены краткие (справочные) сведения из теории, приведены необходимые положения, формулы и расчетные условия, которые помогут лучше понять и осмыслить методику решения задач.

В издании по каждой теме курса приведены подробные решения 4-5 характерных задач, а так же условия и данные еще такого же количества задач, предназначенных для аудиторного или самостоятельного решения. К каждому условию задачи дается несколько схем конструкций с различными цифровыми данными, что увеличивает вариантность. По некоторым разделам курса включены задачи повышенной сложности. К каждой задаче приведены ответы (числовые значения искомых п а р а м е т р о в ) .

3

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Назначение курса

Инженерные конструкции любой сложности состоят из простых элементов (стержень, пластина, оболочка и др.), которые, воспринимая эксплуатационную нагрузку (внешние силы), д е ф о р м и р у ю т с я , вызывая у материала его с о п р о т и в л е н и е этой деформации.

В курсе «Сопротивление материалов» рассматривается расчет отдельных элементов конструкций. Расчет конструкций в целом изучается в специальных курсах (строительная механика, металлические и железобетонные конструкции).

Элементы конструкций рассчитываются на прочность, жесткость

сопротивление деформации, допуская ее в определенных пределах. У с т о й ч и в о с т ь - способность элемента конструкции сохра-

нять под нагрузкой первоначальную форму равновесия.

Конструкционные материалы

Реальные конструкционные материалы под воздействием нагрузки деформируются, т.е. изменяют свои размеры и форму. Деформации могут быть упругими и пластическими. Упругие деформации исчезают после снятия нагрузки, пластические сохраняются.

В инженерных конструкциях применяются в основном две группы материалов:

-пластичные, у которых разрушение происходит при значительной остаточной деформации (сталь, медь, дюралюминий):

-хрупкие, у которых разрушение происходит при очень незначительной деформации (чугун, бетон, кирпич).

Пластичные материалы сопротивляются растяжению и сжатию одинаково, а хрупкие - различно (лучше сжатию).

Гипотезы и допущения

В теории курса при выводе расчетных формул применяется ряд гипотез и допущений.

4

Основные из них:

-материал принимается сплошным, однородным и изотропным (свойства в любой точке и направлении считаются одинаковыми);

-материал принимается идеально упругим;

-материал до определенной степени нагружения деформируется линейно, т.е. следует закону Гука;

-деформации элемента конструкции весьма малы по сравнению с размерами самого элемента;

-до приложения внешних сил в материале отсутствуют напряжения;

-часто используется принцип независимости (сложения) действия сил.

Расчетная схема

Для проведения инженерного расчета реальная конструкция разделяется на ряд простых элементов, для которых путем схематизации геометрических, нагрузочных и взаимодействующих факторов составляются расчетные схемы - упрощенное изображение элемента конструкции.

При этом учитываются наиболее существенные факторы, влияющие на надежность этого элемента, а все менее существенные отбрасываются.

Для одного и того же реального элемента может быть составлено несколько расчетных схем. Окончательно принимается та схема, которая обеспечит более полное приближение к реальному элементу и требуемую по техническим нормам, надежность.

Для составления расчетной схемы элемент конструкции изображается его осевой линией (продольной осью), проходящей через центры тяжести поперечных сечений. Все действующие на элемент внешние силы приводятся к этой оси по правилу механики.

На расчетной схеме намечается система трех взаимно перпендикулярных осей координат: Z - вдоль продольной оси, X, 7 - поперек продольной оси (рис. 1, а, 6). Начало координатных осей располагается обычно в крайней левой точке расчетной схемы.

Каждый элемент конструкции (стержень, балка, колонна) соединяется с другим элементом или грунтовым основанием при помощи опорных устройств. Опоры подразделяются на шарнирно-подвижные, шарнирно-неподвижные, защемления (заделки) (рис. 1, а, б).

5

Внешние силы

Элементы конструкций испытывают воздействие внешних сил, которые делятся на активные (нагрузки) и реактивные (реакции опор). Среди нагрузок различают: сосредоточенные F, М, Те (считаются приложенными в точке элемента или конкретном сечении) и распределенные q (по длине или площади элемента) (см. рис. 1, а, б).

Опорные реакции плоской системы определяются из трех условий равновесия (статики): О, V У= 0, £ М = 0 (см. рис. 1, а, 6).

Внутренние силы

В результате действия внешних сил в элементе конструкции возникают внутренние силы (усилия), которые с о п р о т и в л я ю т с я действию внешних сил и обусловлены упругим взаимодействием частиц материала.

Внутренние силы привязываются к системе координатных осей стержня и подразделяются:

на продольные N - действующие по продольной оси Z, т.е. перпендикулЯрНО к поперечному сечению;

6

_ поперечные Ох и Qy - действующие в плоскости поперечного с е Ч е н и я и направленные по соответствующим координатным осям; _ изгибающие моменты Мх и Му (моменты пар сил) - дейст- вуЮщие перпендикулярно плоскости поперечного сечения, относи-

те л ь н о соответствующих координатных осей;

-крутящие моменты Т (момент пары сил) - действующие в плоскости поперечного сечения, т.е. относительно продольной оси Z.

Все внутренние силовые факторы (усилия) показаны на рис. 1, в. для определения внутренних сил используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна часть стержня отбрасывается, а действие отброшенной части на оставленную (рассматриваемую) заменяется неизвестными внутренними силами.

Составляются уравнения равновесия между известными внешними силами, действующими по одну сторону от сечения, и неизвестными (искомыми) внутренними силами в этом сечении. Из этих уравнений (см. рис. 1, в) определяется значение внутренних сил.

Виды сопротивлений

В зависимости от того, какие внутренние силы возникают в поперечном сечении стержня, различают несколько видов сопротивлений.

Простые виды сопротивления стержня:

-растяжение-сжатие - когда в поперечном сечении возникает только продольная сила N;

-сдвиг - когда в поперечном сечении возникает только поперечная сила Qx или Qy,

-кручение - когда в поперечном сечении возникает только крутящий момент Т;

-чистый изгиб - когда в поперечном сечении возникает только изгибающий момент М;

-поперечный изгиб - когда возникает поперечная сила Q и изгибающий момент М.

При сложных видах сопротивлений в поперечном сечении стержня одновременно возникают несколько внутренних силовых факто-

ров. Различают: косой изгиб (Мх и Му), изгиб с кручением (Мх и 7), изгиб с растяжением-сжатием (N, Мх, Му) и др.

7

Напряжения

Величина внутренних сил, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения, называется н а п р я ж е н и е м .

Различают н о р м а л ь н ы е а и к а с а т е л ь н ы е т напряжения. Нормальные напряжения действуют перпендикулярно поперечному сечению и являются функцией о =f(N,M), а касательные - в плоскости поперечного сечения и являются функцией т =f(Q, Т) (см. рис. 1, г).

Деформации

Образование внутренних сил в теле (элементе конструкции) сопровождается появлением упругих деформаций. При этом изменяются размеры и форма тела, а точки его перемещаются в пространстве. Различают линейные перемещения (по прямой линии) 5Х, 5У, 5г - для точек и угловые - Для линий, сечений (рис. 2, а).

1 F

д а ,--AL

Рис. 2

В конкретных видах сопротивлений перемещения приобретают определенные обозначения и названия. При растяжении-сжатий

В упругой стадии деформации все перемещения в элементе конструкции происходят с о в м е с т н о , т.е. соседние точки сечения не перемещаются произвольно друг относительно друга.

Методы расчета на прочность и жесткость

В расчетной практике используется несколько методов расчета на п р о ч н о с т ь . Наиболее распространены два из них.

Расчет деталей машин и механизмов ведется по методу допус-

где omax(tmax) - максимальные напряжения в элементе конструкции;

Oadm(^adm) - допускаемые напряжения для материала элемента. Максимальные напряжения определяются от н о р м а т и в н о й

нагрузки, т.е. нагрузки установленной нормами проектирования. Допускаемые напряжения устанавливаются по результатам ис-

пытания материала с учетом общего коэффициента запаса прочности, учитывающего ряд факторов влияющих на его прочность.

По методу предельных состояний условие прочности имеет вид

OiTOX < R или ттах < Rs,

где /?(/?,) - расчетные сопротивления для материала элемента.

Максимальные напряжения определяются от р а с ч е т н о й нагрузки, учитывающей возможность отклонения ее от нормативной.

Расчетные сопротивления также устанавливаются по результатам испытания материала, но с использованием ряда частных коэффициентов, каждый из которых учитывает какой-либо один фактор, влияющий на его прочность.

9