Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник тестов по высшей математике для студентов 2 курса инженерно-технических специальностей вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

Для данной функции f (z)

проверить, вы-

1) условия Коши-Римана не выполняются;

полняются ли условия Коши-Римана, и,

i(2xy

2) ;

f (z)

если да, найти f (z) :

2xy 2 i( y

) ;

f (z)

f (z) x2 y 2x

2 i( y2 x 2y

f (z) x2 y2 i(2xy 2) ;

2xy 2 i( y

) .

f (z)

Найти угол поворота α и коэффициент

1) α , k 12;

растяжения k при отображении с помо-

щью аналитической функции

, k 12

w 3z4 4z3 5 в точке z i .

, k 12;

, k 12

5) среди ответов 1–4 верного нет.

10Найти аналитическую функцию f (z) по заданной мнимой части

Im f (z) 3x2 2x 1 3y2 и заданному значению f (0) i .

ТЕСТ «ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО № 2» Вариант 1

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1Для функции f (z) дать определение полюса m-го порядка.

2Сформулировать теорему Коши для односвязной области.

Вычислить

Re zdz , где L – отрезок,

2 i ;

2) 2 i ;

соединяющий начало координат и

3) 2 2i ;

точку 2 i .

2 2i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

dz .

8 i ;

4 z

3) 4 i ;

8 i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

0; 2)

; 3)

; 4)

;

Вычислить

dz .

z 2

2 (z

4)(z i)

среди ответов 1–4 верного нет.

6 Определить порядок нуля функции

1) 1;

f (z) ez2 (z2 1) .

2) 2;

7 Указать все конечные особые точки

z 0 – устранимая особая точка;

функции f (z)

cosz

и определить их

z 0 – существенно особая точка;

z 0 – простой полюс;

z 0 – полюс второго порядка;

характер.

z 0 – полюс третьего порядка.

Найти вычеты функции

1) Res f ( 2)

(3 i); Res f (2i)

(1 i);

z i

f (z)

в изолированных

(z 2)(z 2i)

Res f ( 2)

(3 i); Res f (2i)

(1 i);

особых точках.

Res f ( 2)

(3 i); Res

f (2i)

(1 i);

Res f ( 2)

(3 i); Res f

(2i)

(1 i);

среди ответов 1–4 верного нет.

9 С помощью вычетов вычислить

(1 i);

3) 0; 4)

z i

dz .

(z 2)(z 2i)

z i

5) среди ответов 1–4 верного нет.

Разложить функцию

f (z)

z(z 2)

вряд Лорана по степеням z 2

вкольце 0 z 2 1.

		Вариант 2

№	ЗАДАНИЯ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1Записать интегральную формулу Коши.

2Сформулировать связь между нулями и полюсами функции комплексного переменного.

3	Вычислить zdz , где L – дуга парабо-																			1)		1				i ;
	Вычислить zdz , где L – дуга парабо-																					1
						L															3
						L															3
	лы y x2 , соединяющая начало коор-																			2)	1							i	;
	динат и точку 1 i .																			2)	1						3		;
	динат и точку 1 i .																										3
																				3)			i	;
																				3)				;
																					3
																				4)						i		;
																				4)								;
																					3
																				5)	среди ответов 1–4 верного нет.
4	Вычислить											z2 1					dz .			1)	0;						2) 2 i ; 3)								i		1; 4)			1 i ;
												z2 1

									z2					1																	2
						z		1	1											5)	среди ответов 1–4 верного нет.
																				5)	среди ответов 1–4 верного нет.
5	Вычислить									sin zdz								.		1)	0; 2) 6 i ; 3)															1 i ; 4)				2 i ;
	Вычислить																	.		5)	среди ответов 1–4 верного нет.
						z	4 (z )									2				5)	среди ответов 1–4 верного нет.
						z	4 (z )

6 Определить порядок нуля функции																				1) 1;
		f (z) z2 1 cos2 z .																		2) 2;
																				3)	3;
																				4)	4;
																				5)	5.
7 Указать все конечные особые точки																				1)			z 0 – устранимая особая точка;
	функции f (z)										z sin z								и определить	2)			z 0 – существенно особая точка;
	функции f (z)																		и определить	3)			z 0 – простой полюс;
													z		3					3)			z 0 – простой полюс;
													z							4)			z 0 – полюс второго порядка;
	их характер.																			4)			z 0 – полюс второго порядка;
	их характер.																						z 0 – полюс третьего порядка.
																				5)			z 0 – полюс третьего порядка.
8	Найти вычеты функции																			1) Res f (3)												1				; Res f ( 1)										1		;
						z														1) Res f (3)																; Res f ( 1)												;
		f (z)				z								в изолированных																	64												64
																															64												64
					(z 3)(z 1)															2)	Res f (3)												3	;		Res f ( 1)								1			;
	особых точках.																			2)	Res f (3)										4			;		Res f ( 1)							16				;
	особых точках.																														4												16
																				3)	Res f (3)									3			; Res f ( 1)									1	;
																				3)	Res f (3)												; Res f ( 1)										;
																													4											4
																				4)	Res f (3)										1					; Res f ( 1)									1		;
																				4)	Res f (3)															; Res f ( 1)											;
																															16												4
																				5)	среди ответов 1–4 верного нет.
9 С помощью вычетов вычислить																				1)			1		;			2) i ;					3)					i	; 4)	1	i;
					zdz															1)					;			2) i ;					3)						; 4)		i;
					zdz							.									4								4							2				2

				(z 3)(z
		z i	3						1)											5) среди ответов 1–4 верного нет.
		z i	3						1)											5) среди ответов 1–4 верного нет.

10Разложить функцию f (z) z2 cos 1z

в ряд Лорана по степеням z .

		Вариант 3

№	ЗАДАНИЯ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1Сформулировать основную теорему о вычетах.

2Описать поведение функции комплексного переменного в окрестности существенно особой точки.

3	Вычислить					Im zdz , где L – дуга па-											1)		1	i ;
	Вычислить					Im zdz , где L – дуга па-													1
						L												3
						L												3
	раболы y 2x2 , соединяющая начало																2)		2	i ;
	координат и точку 1 2i .																2)	3		i ;
	координат и точку 1 2i .																	3
																	3)		2	2i ;
																	3)	3		2i ;
																		3
																	4)	1			2i	;
																	4)					;
																		3		3
																	5)	среди ответов 1–4 верного нет.
4									e	zi		dz .					1) 0;			2) 1; 3)					i ; 4) 2 i ;
	Вычислить								e								5) среди ответов 1–4 верного нет.

								2 z
						z 3
						z 3

5	Вычислить										cos 2zdz				.		1) 0;			2) 1; 3) 2 i ;							4) 1 i ;
																	5) среди ответов 1–4 верного нет.

							(z2				1)(z2 9)
						z 1	1

6 Определить порядок нуля функции																	1) 1;			2) 2; 3) 3;					4) 4; 5) 5.
		f (z) 4z 1 .
7 Указать все конечные особые точки																	1)		z i			– устранимая особая точка;
	функции f (z) cos										1		и определить				2)		z i			– существенно особая точка;
																			z i
										z i							3)		z i			– простой полюс;
	их характер.																4)		z i			– полюс второго порядка;
																	5)		z i			– полюс третьего порядка.
8	Найти вычеты функции																1) Res f ( 2i)								1	; Res f (i)			2		;
						z											1) Res f ( 2i)									; Res f (i)					;
		f (z)				z					в изолированных														3		3
																									3		3
					(z 2i)(z i)												2)	Res f ( 2i)								1	; Res f (i)					1			;
	особых точках.																2)	Res f ( 2i)								3	; Res f (i)					3			;
	особых точках.																									3						3
																	3)	Res f ( 2i)							2	; Res f (i)				1		;
																	3)	Res f ( 2i)								; Res f (i)						;
																									3		3
																	4)	Res f ( 2i)							2	;	Res f (i)					1			;
																	4)	Res f ( 2i)							3	;	Res f (i)						3		;
																									3								3
																	5)	Res f ( 2i)								2	; Res f (i)							1	.
																	5)	Res f ( 2i)									; Res f (i)								.
																										3						3
9 С помощью вычетов вычислить																	1)	0;		2)			2 i	;	3)		2 i 4)	2 i					;
					zdz												1)	0;		2)				;	3)		2 i 4)						;
					zdz				.													3					3

				(z 2i)(z i)
		z 1	4														5) среди ответов 1–4 верного нет.
		z 1	4														5) среди ответов 1–4 верного нет.

10	Разложить функцию
		f (z)				1					в ряд Лорана

					(z 3)(z 2)
	по степеням z 3 в области													z 3		5 .
	по степеням z 3 в области													z 3		5 .

Вариант 4

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

Записать обобщенную формулу Коши.

Описать поведение функции ком-

плексного переменного в окрестности

устранимой особой точки.

Вычислить z

dz , где L – дуга окруж-

1) i ;

2) 1 i ;

0 arg z .

i ;

ности

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

sin z

dz .

1) 0;

z i

2 z 2i

2 i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

1) 0;

Вычислить

2 i ;

(z i)2

– i ;

4 i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Определить порядок нуля функции

1) 1;

f (z) sin 2z 2z

3) 3;

Указать все конечные особые точки

z 1 – устранимая особая точка;

функции f (z) (z 1)3 sin

и опре-

z 1 – существенно особая точка;

z 1

z 1 – простой полюс;

z 1 – полюс второго порядка;

делить их характер.

z 1 – полюс третьего порядка.

Найти вычеты функции f (z)

cosz

Res f ( ) 0;

Res f ( ) 1;

(z )2

в изолированных особых точках.

3) Res f ( ) 1;

Res f ( )

;

среди ответов 1–4 верного нет.

С помощью вычетов вычислить

1) 0;

coszdz

2 i

z 3 i

)

среди ответов 1–4 верного нет.

Разложить функцию

f (z) z sin

в ряд Лорана по степеням z .

		Вариант 5

№	ЗАДАНИЯ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1Сформулировать теорему Коши для многосвязной области.

2Описать поведение функции комплексного переменного в окрестности полюса.

Вычислить

Re zdz , где L – дуга пара-

4i ;

болы y x2 , соединяющая начало ко-

2 16i ;

ординат и точку 2 4i .

i ;

2i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

1) 0;

z 2i

2 (z i)(z

2 i ;

i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

z sin zdz

1) 0;

2) 4πi; 3) 6 i ; 4) 2 i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

z 3

2 (z

4)(z 1)

6 Определить порядок нуля функции

1) 2;

f (z) z2

sin(z

2 ) .

3) 6;

10.

7 Указать все конечные особые точки

z i, z 4i

– простые полюсы;

z i

функции f (z)

и опреде-

i, z

4i – простые полюсы;

z2 3iz 4

z i, z 4i

– простые полюсы;

лить их характер.

z i, z 4i

– простые полюсы;

среди ответов 1–4 верного нет.

Найти вычеты функции f (z)

sin z

Res f (1) sin1;

(z 1)3

2) Res f (1)

sin1

;

в изолированных особых точках.

Res f (1)

sin1

;

Res f (1) 2sin1;

среди ответов 1–4 верного нет.

9 С помощью вычетов вычислить

1) 0;

2) 2 i sin1;

3) i sin1; 4) 2 i sin1;

sin zdz

5) среди ответов 1–4 верного нет.

(z 1)3

z 1 i

Разложить функцию

f (z)

z2 1

в ряд Лорана по степеням z 2 в кольце

1 z i 2 .

		Вариант 6

№	ЗАДАНИЯ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1Дать определение вычета функции

комплексного переменного в конечной изолированной особой точке z a .

2Записать интегральную формулу Коши.

Вычислить z2

dz , где L – полу-

1) 27 ;

2) 18 ;

окружность

3 от точки –3 до точки

3) 54 ;

3, лежащая в верхней полуплоскости.

27 ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

cos zdz

1) 0;

2 i ;

i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

(z i)3

3) 2 i ;

i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

6 Определить порядок нуля функции

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4;

5) 5.

f (z) z2 sin2 z .

7 Указать все конечные особые точки

1) z i – устранимая особая точка,

f (z)

z2 2z

z 7i – полюс третьего порядка;

функции

z i

– полюс второго порядка,

(z i)2 (z 7i)3

z 7i

– полюс третьего порядка;

и определить их характер.

3) z i

– полюс пятого порядка,

z 7i

– полюс пятого порядка;

z i – полюс второго порядка,

z 7i – полюс третьего порядка;

среди ответов 1–4 верного нет.

Найти вычеты функции f (z)

Res f (0) 0; Res f (1)

; Res f ( 1)

;

z2 z4

в изолированных особых точках.

Res f (0) 0; Res f

(1)

; Res f ( 1)

;

Res f (0) 1; Res f

(1)

; Res f ( 1) 0;

Res f (0) 1; Res f

(1) 0; Res f ( 1)

;

среди ответов 1–4 верного нет.

9 С помощью вычетов вычислить

1) 0; 2) 2 i 3) i

4) 1;

5) среди ответов 1–4 верного нет.

2z 1

Разложить функцию

f (z)

ln(3 z)

в ряд Лорана по степеням z .

Вариант 7

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

Записать формулы для вычисления

вычета функции f (z) в простом по-

люсе z a .

Сформулировать теорему Абеля.

Вычислить Im zdz , где L – отрезок,

1 i ;

2) 2 2i ;

соединяющий точки z 1 и z 3 2i .

2 i ;

4) 1 2i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

1) 0;

i ;

z2 4

2 i ;

;

среди ответов 1–4 верного нет.

1) 0;

Вычислить

i ;

(z i)2

(z2

2 i ;

;

среди ответов 1–4 верного нет.

Определить порядок нуля функции

1) 1;

f (z) cos

3) 3;

Указать все конечные особые точки

1) z i

и z i

– полюсы третьего порядка;

функции f (z)

3z3 3z2

z i

– устранимая особая точка,

и опре-

z i

– существенно особая точка;

(z i)(z i)2

z i

– простой полюс,

делить их характер.

z i

– полюс второго порядка;

z i

и z i

– устранимые особые точки;

среди ответов 1–4 верного нет.

Найти вычеты функции

f (z)

cos z

Res f (1) ;

2) Res f (1) 0;

Res f (1)

;

4) Res f (1) 3 ;

(z 1)3

в изолированных особых точках.

среди ответов 1–4 верного нет.

С помощью вычетов вычислить

1) 0; 2) 2i; 3)

3i; 4) 6 2i;

cos zdz

5) среди ответов 1–4 верного нет.

(z 1)3

z i

Разложить функцию f (z)

z2 4

в ряд Лорана по степеням z 2

в кольце 2

z 2

4 .

Вариант 8

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

Дать определение ряда Тейлора функ-

ции f (z) в окрестности точки z a .

Дать определение нуля функции f (z)

порядка т.

Вычислить zdz , где L – отрезок, со-

1) 0 ;

2) 1;

единяющий начало координат и точку

3) 2 i ;

1 i .

1 i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

ze z dz

2) 1;

Вычислить

2 i ;

z2 5

i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

coszdz

1) 0;

2) 1;

(z )3

2 i ;

i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Определить порядок нуля функции

1) 1;

f (z)

(z 1) .

2) 2;

3) 3;

1 z

Указать все конечные особые точки

1) z i

– устранимая особая точка;

z i

– существенно особая точка;

функции

f (z) e z i и определить их

z i

– простой полюс;

характер.

4) z i

– полюс второго порядка;

z i

– полюс третьего порядка.

Найти вычеты функции f (z) z2 sin

Res f (0) 0;

2) Res f (0)

;

в изолированных особых точках.

Res f (0)

;

4) Res f (0)

;

среди ответов 1–4 верного нет.

С помощью вычетов вычислить

1) 0;

z2 sin

dz .

z i 1

3 i;

среди ответов 1–4 верного нет.

Разложить функцию f (z)

ln(4 z2 )

в ряд Лорана по степеням z .

		Вариант 9

№	ЗАДАНИЯ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1Дать определение ряда Лорана функции f (z) в окрестности точки z a .

2Записать интегральную формулу Коши.

Вычислить

dz , где L – дуга окруж-

1) 1;

4i ;

L z

8i ;

ности

2 от точки i

до точки i .

16i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

1) 0;

Вычислить

2) –1;

3) 2 i ;

i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

Вычислить

z coszdz

1) 0;

2) –1;

(z2

4)(z

2 i ;

4 i ;

среди ответов 1–4 верного нет.

6 Определить порядок нуля функции

1) 1;

f (z) z sin z .

2) 2;

7 Указать все конечные особые точки

1) z 1 – простой полюс;

функции f (z)

z i

– простой полюс;

и определить их

z i

– существенно особая точка;

z i

– устранимая особая точка;

характер.

z 1 – устранимая особая точка.

Res f (0) 0;

Найти вычеты функции

f (z) z3e z2

Res f (0) 1;

в изолированных особых точках.

Res f (0)

;

Res f (0)

;

среди ответов 1–4 верного нет.

9 С помощью вычетов вычислить

1) 0;

2 i

z3e z2 dz .

z 2i 1

3 i;

среди ответов 1–4 верного нет.

Разложить функцию

f (z) z cos

в ряд Лорана по степеням z .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]