Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения

2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

2.1. Определение главных осей инерции составного сечения

Задача 4

Для заданного сечения, состоящего из листа и прокатных профилей требуется вычислить главные центральные моменты инерции, определить их положение; вычертить сечение в масштабе 1 : 2, показать все оси и размеры.

Исходные данные к задаче 4 представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Исходные данные к задаче 4

40

Пример решения задачи 4

Заданное сечение (рис. 2.1) состоит из прямоугольного листа и прокатных профилей: лист 22 2 см, уголок неравнополочный

125 80 8, двутавр № 18.

Требуетcя вычислить главные центральные моменты инерции, начертить сечение и показать все оси и размеры.

Рис. 2.1. Схема сечения

Решение

Предварительно рассчитаем и выпишем из сортамента (прил. 1) геометрические характеристики профилей, составляющих сечение.

Геометрическиехарактеристикилиста22 2 см(фигура1, рис. 2.2): b = 22 см, h = 2 см;

Рис. 2.2. Фигура 1

Ix1y1 0.

Геометрические характеристики уголка 125 80 8 (фигура 2,

рис. 2.3):

43

B = 125 мм, b = 80 мм;

Рис. 2.3. Фигура 2

Уголок в составном сечении повернут на 90о, поэтому моменты инерции из сортамента меняются местами.

Геометрическиехарактеристикидвутавра№18 (фигура3, рис. 2.4):

h 180 мм, b 90 мм;

Рис. 2.4. Фигура 3

Определим положение центра тяжести сечения, предварительно выбрав вспомогательные оси x0 и y0. Проведем эти оси через центр тяжести листа и рассчитаем расстояние между осями x0 и y0 и центральными осями каждого из элементов сечения (рис. 2.5)

44

188,6283,38 2,26 см.

Рис. 2.5. Схема составного сечения с положением главных центральных осей (размеры даны в см)

45

Через найденный центр тяжести составного сечения проводим центральные оси xc и yc. Рассчитаем расстояния между осями xc и yc и центральными осями каждого из элементов сечения.

Расстояния между осями xi:

a1 10 7,74 2,26 см;

a2 2,26 2,84 5,1 см;

a3 10 2,26 7,74 см.

Расстояния между осями yi:

b1 1,33 см;

b2 2,55 1,33 3,88 см;

b3 6,5 1,33 5,17 см.

Определим осевые моменты инерции составного сечения относительно центральных осей:

Ixc Ixi ai2 Ai Ix1 A1a12 Ix2 A2a22 Ix3 A3a32

14,67 44 2,262 80,95 15,98 5,12 1290 23,4 ( 7,74)2

3427,83 см4 ;

I yc I yi bi2 Ai I y1 A1b12 I y2 A2b22 I y3 A3b32

1774,67 44 1,332 225 15,98 3,882 82,6

23,4 ( 5,17)2 3026,13 см4.

46

Определим центробежный момент инерции составного сечения:

Ixс yс (Ixi yi Aiaibi ) Ix1 y1 A1a1b1 Ix2 y2 A2a2b2

Ix3 y3 A3a3b3 44 2,26 1,33 84,1 15,98 5,1 3,88

23,4 ( 7,74) ( 5,17) 1300,73 см4.

Перед Ix3 y3 ставим знак «минус» в соответствии с правилом знаков при расположении уголка (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Схема определения знака центробежного момента инерции для уголка

Определим значения главных центральных моментов инерции:

Imin I2 3228,42 1316,15 1910,83 см4.

47

Проверим правильность вычисления:

Ixc I yc Imax Imin ;

3427,83 + 3026,13 = 4545,13 + 1910,83.

Определим положение главных центральных осей:

Угол 1 откладывается от оси xc по ходу часовой стрелки, так как онотрицателен, 2 – противнее, таккаконположителен (см. рис. 2.5).

48

3.КРУЧЕНИЕ

3.1.Расчет вала на кручение

Задача 5

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручивающими моментами. Расчетное сопротивление материала вала на сдвиг Rc = 130 МПа, модуль сдвига G = 80 ГПа.

Требуется построить эпюру крутящих моментов, подобрать диаметр вала, округлив его до большего размера с шагом 0,5 см, построить эпюру напряжений, эпюру углов закручивания, эпюру относительных углов закручивания.

Исходные данные к задаче 5 представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Исходные данные к задаче 5

49